Задачник Часть 1_

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5.6. При каком значении параметра a матрица

собственный вектор vr

=(1; 3; a −2) , соответствующий собственному

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

300.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

x1 +3x2 + x3 +6x4 =82x1 +9x2 +5x3 +3x4 =7

2x1 − x2 +3x3 −2x4 =14x1 −2x2 +5x3 + x4 =1

x1 + 2x2 +4x3 − x4 =3

2x1 +4x2 +11x3 − x4 =7

2x1 +3x2 + x3 +5x4 =6

4x1 +6x2 + x3 +12x4 =10

5x1 + x2 +3x3 +5x4 =5

4x1 + x2 + 2x3 +3x4 = 4x1 − x2 + x3 + x4 =3

	x − x −3x − x =1
		1	2	3 4
	3x1 −4x2 −11x3 −7x4 = 2

3x1 −5x2 −13x3 −11x4 =1
2x − x +3x −2x =3
	1	2	3	4
4x1 −2x2 +5x3 + x4 =8
2x − x + x +8x =7
	1	2	3	4

2x1 +7x2 +3x3 + x4 =63x1 +5x2 +2x3 +2x4 = 49x1 +4x2 + x3 +7x4 = 2

4.4. При каких значениях параметра a однородная система линейных

−3		2	4
	1	6	1	, имеет ненулевое
уравнений, заданных матрицей
	−2	a +6	5

решение?

4.5. При каких значениях параметра a однородная система линейных

	3	2 +a	−2
	1	1	1	, имеет ненулевое
уравнений, заданных матрицей
	2	−3	−3

решение?

4.6. При каких значениях параметра a однородная система линейных

	1	2 +a	2
	2	9	2	, имеет ненулевое
уравнений, заданных матрицей
	1	3	−2

решение?

4.7. Найдите базис линейного пространства векторов, ортогональных векторам (1;−2; 0; 34) и (3;−5; 0; 79) . Запишите ответ в векторном

виде.

4.8. Найдите базис линейного пространства векторов, ортогональных векторам (1; 2; 0; 42) и (3; 7; 0;109) . Запишите ответ в векторном виде.

4.9.Найдите базис линейного пространства векторов, ортогональных векторам (1;−3; 0;−31) и (2;−5; 0;−107) . Запишите ответ в векторном

виде.

4.10. Предприятие выпускает 3 вида изделий с использованием 2-х видов сырья. Для продукции ценовой вектор p =(6, 20, 100) ,

вектор наличного сырья	s =(38,	96) , нормы расходов сырья даны
элементами матрицы	1	1	7	. Требуется определить
элементами матрицы	A =	3	18	. Требуется определить
	2	3	18

максимальную стоимость продукции P и оптимальный вектор-план выпуска продукции q =(q1, q2 , q3) при полном использовании

всего сырья, т.е. надо найти максимум P =p qT , если q – решение системы A qT =sT . При решении следует учесть, что все величины q1, q2, q3 – неотрицательны.

4.11. Предприятие выпускает 3 вида изделий с использованием 2-х видов сырья. Для продукции ценовой вектор p =(7, 20, 100) ,

вектор наличного сырья	s =(38,	96) , нормы расходов сырья даны
элементами матрицы	1	1	7	. Требуется определить
элементами матрицы	A =	3	18	. Требуется определить
	2	3	18

4.12. Предприятие выпускает 3 вида изделий с использованием 2-х

видов сырья. Для продукции ценовой вектор p =(8,								30,	100) , вектор
наличного	сырья	s =(28,	65) ,		нормы		расходов		сырья даны
элементами			1	2	8		Требуется		определить
	матрицы A =			5	19	.
			2
максимальную стоимость продукции P и оптимальный вектор-план
выпуска продукции		q =(q1,	q2 ,	q3) при полном использовании
всего сырья, т.е. надо найти максимум P =p qT ,								если q – решение
системы A qT =sT .		При решении следует учесть, что все величины
q1, q2, q3 – неотрицательны.

5.Собственные значения и собственные векторы матриц

5.1.Найдите собственные векторы и собственные значения матрицы

	2	−1
а)	−1		2
	−1		2
	4		−1
б)	−1		4
	−1		4
	2	3
в)	4	1
	4	1
	1	2
г)	4	3
	4	3

5.2. Найдите cosϕ , где ϕ - угол между собственными векторами, соответствующими различным собственным значениям

	3	1
а)	2	2

	1	6
б)	2	2

	3	6
в)	3
		10
	8	5
г)	2	5

5.3. Найдите собственные векторы и собственные значения матрицы

	4	−2	0
	1	1	0
а)
	0	0	3

	2	1	−1
	0	3
б)			−1
	0	−1	3

	2	0	−1
	3	5
в)			−1
	−1	0	2

	4	0	−1
	2	2	1
г)
	−1	0	4

			4	1	−2
			1	4	2	имеет
5.4. При каком значении параметра a матрица
			−2	2	1
собственный вектор vr
	=(−3; 1;	a −1) , соответствующий собственному
значению λ =5 ?
			2	1	−1
			0	3		имеет
5.5. При каком значении параметра a матрица					−1
			0	−1	3
собственный вектор vr
	=(2; 3;	a −1) , соответствующий собственному

значению λ = 2 ?

значению λ =3 ?

5.7. Проверьте, что вектор X является собственным вектором матрицы A и найдите соответствующее ему собственное значение λ.

−15		−5	23	4			1
	−33	−13	49	14			2
A =	−33	−13	49	14	,	X =	2	.
	−13	−5	21	4			1
	−13	−5	21	4			1
	−18	−5	23	7			1

5.8. Проверьте, что вектор X является собственным вектором матрицы A и найдите соответствующее ему собственное значение λ.

15		20	23	−52		2
	7 16		39	−56		1
A =	7 16		39	−56	, X =	1	.
	11	20	27	−52		2
	11	20	27	−52		2
	11	20	33	−58		2

5.9. Проверьте, что вектор X является собственным вектором матрицы A и найдите соответствующее ему собственное значение λ.

20		−4	28	−24		1
	40	2	54	−64		1
A =	40	2	54	−64	, X =	1	.
	16 2		6 −16
	16 2		6 −16			−1
	26	−3	23	−28		0

5.10. Матрица А имеет три собственных вектора v1, v2 , v3 с соответствующими собственными значениями λ1 = 2, λ2 =1, λ3 =3. Для матрицы f ( A) = A2 + A найти собственные векторы и собственные значения.

5.11. Матрица А имеет три собственных вектора v1, v2 , v3 с соответствующими собственными значениями λ1 = 4, λ2 = 2, λ3 =3. Для матрицы f ( A) = A2 − A найти собственные векторы и собственные значения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике. М.: Наука, 1986.

2.Зимина О.В., и др. Высшая математика. Решебник. М.: Физико-математическая литература, 2001.

3.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. СПб.:

Лань, 2007.

4.Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2005.

5.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.

Ответы

	1.1. 9. 1.2. ±3 .					1.3. ar =(1;−1;±					2) .	1.4. ar = ±(2i +2 rj + 2kr) .
1.5. D(9;−5; 6) .				1.6. 7.			1.7. 3,			21 .	1.8.	17 . 1.9.	34 / 2 и	42 / 2 .
1.10. а) 161. 1.10. б) 9.							1.10. в) -184.				1.11. а) 2 +		3 . 1.11. б) 40.
1.12. 22.			1.13.	97 и 7.			1.14. cosϕ = 43/(25 13) . 1.15. 1200 .
1.16. 600 .			1.17.	8		.	1.18. 4.			1.19. -6.		1.20. -2.
				18
1.21. xr = −er1-er2 +2er3 .					1.22. (1;-3;2) . 1.23. xr = ar + 2b −cr.
1.24. xr = 2ar +2b −cr.						1.25. а) в качестве базиса можно взять
е	= х2 , е	2	= х. В этом базисе Т(х) =(1;−3) , 1.26. б) в качестве базиса
1		2
можно взять е =(х −					1)2		, е	2	= х −	1. В этом базисе Т(х) =(1;−1) ,				1.27.
			1					2

(2;-1;-2) . 1.28. (-1;-3;5) .

2.1.3x −2 y −2z −18 = 0 . 2.2. 2 y −3z +7 =0. 2.3. x + y −4 = 0 .

2.4.2x + y =0 . 2.5. 6 y −5z =0 . 2.6. x + y + z −12 =0 .

2.7.2x + y + z −4 =0 . 2.8.5x −3y +2z +1 = 0 . 2.9. x −2 y −3z −4 = 0 .

2.10. ϕ =π						4		.		2.11. ϕ =π					3	.		2.12. 2x +3y + 4z −3 = 0 .
						4									3
2.13. 2x + y −2z −15 = 0 .															2.14.					x −2	=	y −6	=	z +2			.
2.13. 2x + y −2z −15 = 0 .															2.14.				3		=		=				.
																			3		4				−5
2.15.			x −3			=			y +1			=	z	. 2.16. а) Нет.							б) Да, в точке (1;-2; 2).							2.17.
2.15.			0			=						=		. 2.16. а) Нет.							б) Да, в точке (1;-2; 2).							2.17.
			0							1	1
	x −3	=		y	=			z		.	2.18. а) ϕ =						π	3	. 2.18. б) ϕ =π						6	. 2.19. а) 2			.
		=			=					.	2.18. а) ϕ =						π		. 2.18. б) ϕ =π							. 2.19. а) 2		154	.
0			5				−																					154
0			5					2
																			39

2.19. б) −5

. 2.20. а) 6,

2.20. б) 13.

2.21. а) a = 4 . 2.21. б) a =3 .

2.22. (2;−1;3) .

2.23. (1;1;2) .

2.24. (1,−1,−3).

2.25. При a ≠ −1

пересекаются,

при a = −1 параллельны. 2.26. y + z +1 =0. 2.27.

x −2 y + z = 0 .

2.28. (1;-0,5; -0,5) .

2.29. (1,5; -0,5; 0) .

2.30.

30 . 2.31. (3;3;3) .

2.32. (2;0;-1) .

2.33.

x −1

z +1

2.34. (-5;6;1) . 2.35. (3;1;1) .

−4

−1

2.36. x+3y+6z-23=0 . 2.37. 2x+y+2z-9=0 . 2.38. (4;1;-1) .

2.39. (6;-1;1) .

	−7 2					4					7 −4 −17 6
				−1		−7		3.2.					−9		−4
3.1. С = −12				−1		−7		3.2.	С =		4		−9		−4	−1
		5		2		−8							−1 −10 0
		5		2		−8					1		−1 −10 0
	1			8 14							−	30 −6 −2					−25
		−7		1	8		3.4. X		= 1					13	−22		16
3.3. X =		−7		1	8		3.4. X		= 1		−13			13	−22		16
		8 6			5				3					−5		−3	−1
		8 6			5						−9			−5		−3	−1
		2		8							22		11
						3.6.a)
3.5. f (A) =						3.6.a)		A B =		−19
		4		6						−19			−1
			9		−5		−9								14	22
	A B =		9		−5		−9
3.6. б)	A B =								3.6. в)			A B =			17	−9
			25		15		−12									8
			25		15		−12								16	8

			−6		−2								−1	15
3.6. г)	A B =			13	−4								−1	15
3.6. г)	A B =			13	−4		3.6.д) A B =						17
						1							17	13
			21			1
			11		−14		10							6		7	3
3.6. е)			11		−14		10		3.6.							−8	6
3.6. е)	A B =				−6				3.6.	ж) A B = 0						−8	6
			7		−6		7									−6	6
														0		−6	6

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.08.2019293.38 Кб4задачи по зое.doc
#
02.06.201514.03 Mб5092задачи по микре Акимов.pdf
#
26.03.201652.22 Кб23Задачи_подведомственность, подсудность.doc
#
26.03.2016353.17 Кб10задачиМСФО2013_сем1 часть.pdf
#
26.03.20162.14 Mб48Задачник ОРР.doc
#
02.06.2015300.83 Кб26Задачник Часть 1_.pdf
#
26.03.20161.99 Mб9законы ману.doc
#
02.06.2015658.43 Кб19законы Хаммурапи.doc
#
26.03.2016343.55 Кб23законы хаммурапи.doc
#
26.03.2016147.13 Кб30Законы Хаммурапи.docx
#
02.06.2015297.78 Кб13Замараев Тимур 1106 Реферат по СЭС.docx