Задачник Часть 1_
.pdf3.14. а) В линейном пространстве симметричных матриц 2х2 найдите
координаты элемента |
3 |
2 |
в базисе e1 |
|
4 |
|
3 |
|
= |
3 |
2 |
|
||||||
A = |
|
= |
|
4 |
, e2 |
|
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
e3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
б) В линейном пространстве симметричных матриц 2х2 найдите |
||||||||||||||||
координаты элемента |
9 |
10 |
e1 |
3 |
|
2 |
, |
e2 |
1 1 |
, |
||||||||
A = |
4 |
в базисе |
= |
2 |
|
|
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
3 |
|
|
1 1 |
|
|||
e3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.15. Вычислите определитель
3 4 а) −1 2
б) −2 7 3 5
|
2 |
3 |
4 |
в) |
5 |
−2 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
4 |
6 |
г) |
5 |
12 |
19 |
|
3 |
9 |
17 |
|
2 |
0 |
5 |
д) |
1 |
3 |
16 |
|
0 |
−1 |
10 |
21
|
|
2 |
−3 |
1 |
|
|
|
||||
е) |
|
6 |
−6 |
2 |
|
|
|
2 |
−1 |
2 |
|
3.16. Вычислите определитель матрицы путем разложения его по элементам второй строки
3 0 −1 −1
а)
a b c d
1 1 1 1
−1 −3 −2 −4
3 3 2 2
б)
x y z t
2 3 3 2 −2 −2 0 −1
3.17. Вычислите определитель матрицы путем разложения его по элементам третьего столбца
|
5 |
1 |
x |
8 |
|
||
а) |
|
|
−4 |
−1 |
y |
−5 |
|
|
8 |
−1 |
z |
12 |
|
||
|
4 |
−1 |
t |
7 |
|
||
|
|
|
1 |
−1 |
a |
−1 |
|
|
|
|
|||||
б) |
|
|
−1 |
−2 |
b |
−1 |
|
|
|
|
−2 |
0 |
c |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
d |
0 |
|
3.18. Вычислите определитель
22
|
0 |
3 |
0 |
1 |
|
|
|||||||
а) |
7 |
1 |
2 |
−2 |
|
||||||||
|
5 |
−5 |
0 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
−4 |
−6 |
0 |
−2 |
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
−1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
|
|
|
|
3 |
0 |
8 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
−2 |
−5 |
3 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
0 |
7 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
7 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) |
|
|
3 |
3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
10 |
−2 |
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
6 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
г) |
|
|
|
−3 |
5 |
0 |
4 |
|
|
|
|||
|
0 |
3 |
0 |
3 |
|
|
|
||||||
|
2 |
−4 |
2 |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
3 |
2 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||
д) |
|
|
0 |
1 |
−4 |
7 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−2 |
−5 |
7 |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
−2 |
−5 |
2 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
е) |
|
|
|
|
|
−5 |
8 |
2 |
7 |
|
|
||
|
4 |
−5 |
3 |
−2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
−7 |
8 |
4 |
5 |
|
|
23
|
|
|
|
1 |
|
5 |
7 |
|
2 |
|
||
ж) |
|
|
|
0 |
|
6 |
3 |
|
7 |
|
||
|
|
|
|
−2 |
|
−8 |
−7 |
−3 |
|
|||
|
|
|
|
−1 |
|
−6 |
−5 |
−4 |
|
|||
|
2 |
0 |
3 |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
з) |
−1 |
−3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
3 |
0 |
4 |
1 |
|
|
|
|
||||
|
3 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
и) |
|
0 |
0 |
4 |
0 |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
5 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
6 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
3.19. При каких значениях параметра a система векторов |
||||||||||||
xr1 =(3; 7; 4) , |
x2 =(3; |
8; 6) , x3 =(3; a +5; 8) линейно зависима. |
3.20. При каких значениях параметра a система векторов
xr1 =(1; 2; 6) , x2 =(a −4; −2; −2) , x3 =(3; 1; 1) линейно зависима.
3.21. При каких значениях параметра a произвольный вектор в пространстве R3 можно разложить по векторам a1 =(1,4,3) ,
ar2 =(2, 1−a, 1) , a3 =(5,4,1) ?
3.22. При каких значениях параметра a произвольный вектор в пространстве R3 можно разложить по векторам a1 =(−3,1,4) ,
ar2 =(a +2, −2, −5) , ar3 =(5,1,9) ?
24
3.23. При каком значении параметра a точки A(1;1;1) , B(2;1; 0) ,
C(−1; 0;1) и D(a +1; 2; 0) лежат в одной плоскости? (Исследуйте uur uuur uuur
линейную зависимость или независимость векторов AB , AC и AD )
3.24. При каком значении параметра a точки A(0; 3;1) , B(2; 8; 9) ,
C(1; 0; 2a −2) и D(0; 8;11) лежат в одной плоскости? (Исследуйте uur uuur uuur
линейную зависимость или независимость векторов AB , AC и AD )
3.25. Найдите матрицу, обратную матрице A
|
3 |
6 |
|
а) A = |
4 |
9 |
|
|
|
7 б) A = 4
4 в) A = 6
3 г) A = 5
2 д) A = 0
−1
1 е) A = 2
3
3
2
3
5
−4 −8
−1 |
0 |
|
2 |
|
|
−1 |
||
−1 |
1 |
|
|
2 3
23
34
25
|
4 |
2 |
|
3 |
|
||
|
1 |
−1 |
|
0 |
|
||
ж) A = |
|
|
|||||
|
−1 |
2 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|||||
|
4 |
−1 |
2 |
|
|||
|
1 |
1 |
−2 |
|
|||
з) A = |
|
||||||
|
0 |
−1 |
3 |
|
|||
|
|
||||||
|
1 |
4 |
1 |
|
|
||
|
3 |
2 |
|
|
|
||
и) A = |
1 |
|
|
||||
|
6 |
−2 |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
||||
|
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
5 |
−2 |
2 |
|
|
|
|
к) A = |
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.26. Найдите значения параметров a, b и c, при которых матрицы A и B являются обратными
a −1 |
−2 |
3 |
|
1 |
0 1 |
|
|
||||
|
0 |
−1 c −2 |
|
|
−8 |
3 −6 |
|
|
|
||
а) A = |
, B = |
|
|
|
|||||||
|
4 |
b |
−3 |
|
|
−4 |
2 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a −3 |
3 |
5 |
|
|
|
1 |
−2 −1 |
||||
|
0 |
c |
3 |
|
|
|
−15 |
29 12 |
|
||
б) A = |
|
, B = |
|
|
|||||||
|
−5 |
|
|
|
|
|
10 |
−19 −8 |
|
||
|
−1 b −4 |
|
|
|
|||||||
a −2 |
0 |
1 |
−3 |
−2 3 |
|
||||||
|
−8 |
b + |
|
|
|
0 |
−1 2 |
|
|
||
в) A = |
4 −6 |
, B = |
|
|
|||||||
|
−4 |
2 |
c |
|
|
4 |
2 −3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
26
|
a |
−2 −1 |
−4 3 |
5 |
||||
|
−15 |
b + 20 12 |
|
|
0 |
2 |
3 |
|
г) A = |
|
, B = |
|
|||||
|
10 |
−19 2c |
|
|
−5 |
−1 |
|
|
|
|
|
−1 |
3.27. Решите матричное уравнение
а) |
1 |
|
−6 |
|
|
−8 1 |
−2 |
|||||
|
−2 |
3 |
X |
= |
4 |
−1 5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
−2 |
1 |
|
|
4 |
−8 1 |
||||||
|
3 |
|
−6 |
X |
= |
−1 5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|||||
в) |
3 |
|
−2 |
|
|
−1 |
4 −8 |
|||||
|
−6 |
1 |
X |
= |
5 |
−2 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
−3 |
|
−1 |
4 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
г) X |
−1 |
|
1 |
|
= |
−1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
||
|
|
|
1 |
−2 |
|
−2 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||
д) X |
−3 |
5 |
|
|
= |
−1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−5 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
−2 |
|
−2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
е) X |
−5 |
4 |
|
|
= |
−3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
−3 1 |
2 |
|
|
|
−2 1 |
|
|
|||||
|
1 0 |
|
X |
= |
|
1 |
−1 |
|
|
|||
ж) |
−1 |
|
|
|
||||||||
|
−4 3 |
|
|
|
|
|
−10 −2 |
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−1 |
−2 |
2 |
|
|
−1 |
1 |
1 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
з) X |
1 −1 |
= |
0 |
3 |
|
|
||||||
|
|
0 |
−3 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
−2 |
2 |
|
3 |
−2 |
|
1 |
|||||
и) |
|
|
X |
|
5 |
|
= |
1 −2 |
|
|||
2 |
−1 |
3 |
|
|
|
|
||||||
3 |
4 |
−5 |
|
2 |
−2 |
|
4 |
|||||
к) |
|
|
X |
3 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
−1 |
3 |
|
−1 |
4. Системы линейных уравнений
4.1. Решите систему уравнений
|
x +2x |
− x =3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
а) |
2x1 +5x2 −6x3 =1 |
||
|
|
|
|
3x1 +8x2 −10x3 =1 |
|||
|
x − x |
+3x =7 |
|
|
1 2 |
|
3 |
б) 2x1 + x2 −4x3 = −3 |
|||
|
3x + x |
2 |
−3x =1 |
|
1 |
3 |
28
4x1 + 2x2 − x3 =1
в) 5x1 +3x2 −2x3 = 2
3x1 + 2x2 −3x3 =0
5x1 +2x2 +5x3 = 4 г) 3x1 +5x2 −3x3 = −1−2x1 −4x2 +3x3 =1
4.2. Решите систему линейных уравнений. Найдите фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений. Запишите ответ в векторном виде.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
x1 −2x2 + 4x3 =0
3x1 −5x2 +10x3 =0
x1 +3x2 − x3 =0
2x1 +12x2 −4x3 =0
x1 −2x2 +34x3 =0
3x1 −5x2 +79x3 =0
x1 + 2x2 + 42x3 =03x1 +7x2 +109x3 =0
x1 −22x2 + x3 + 250x4 =02x1 −44x2 +3x3 +180x4 =0
x1 +33x2 + x3 −150x4 =03x1 +99x2 + 4x3 + 270x4 =0
29
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
|
x −40x − x |
+120x |
|
= 0 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
||
4x1 −160x2 −3x3 +640x4 =0 |
|||||||
|
x −35x |
− x |
+130x |
=0 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
3x1 −105x2 −2x3 +150x4 =0 |
|||||||
2x + x +4x −2x =0 |
|
|
|||||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
2x1 − x2 −4x3 +4x4 =0 |
|
|
|||||
6x |
− x − |
4x + |
6x =0 |
|
|
||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
x1 + x2 + x3 + x4 =03x1 + 2x2 + x3 + x4 =03x1 + x2 − x3 − x4 =0
|
3x + x − x + x =0 |
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
x1 +3x2 + x3 − x4 =0 |
|
|
||||||||||
−x |
+ x |
|
+ |
3x |
+ x |
|
= 0 |
|
|
|||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
||
x − x |
+ x |
+ |
3x |
|
=0 |
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
3x + 2x −5x + 4x =0 |
|||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
||
|
3x1 − x2 +3x3 −3x4 =0 |
|||||||||||
|
3x |
|
+5x |
−13x +11x |
=0 |
|||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
−3x |
+ |
4x |
|
−11x |
+10x |
|
=0 |
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
4.3. Представьте общее решение системы уравнений в виде суммы частного решения и общего решения соответствующей однородной системы
|
x + 2x −2x +5x =3 |
|||
а) |
1 |
2 |
3 |
4 |
−3x1 −2x2 +12x3 −7x4 = −5
30