Успенский

Семь размышлений на темы философии математики: 4

1)N является моделью этой системы;

2)всякая модель этой системы изоморфна N.

Однако здесь возникают неожиданные, но совершенно фундаментальные трудности семантического (можно даже сказать | гносеологического) характера. Дело в том, что уже для языка 2 го порядка (не говоря уже о более сложных неэлементарных языках) само понятие модели теряет необходимую ясность. Это положение иллюстрируется следующим примером, связанным с так называемой проблемой континуума.

Как известно, количество элементов какого либо множества называется кардинальным числом, или мощностью, этого множества. Понятие кардинального числа, или мощности, является обобщением понятия натурального числа, поскольку натуральные числа | это мощности конечных множеств. Среди бесконечных мощностей выделяются следующие две: мощность множества всех натуральных чисел и мощность множества всех действительных

чисел (или всех точек какой либо прямой). Первая обозначается 0 (читается «алеф ноль») и называется счётно бесконечной (или бесконечной счётной) мощностью; вторая обозначается c (строчное готическое «це») и называется

континуальной мощностью. Очевидно, 0 < c. Знаменитая проблема континуума состоит в выяснении того, существует или нет промежуточная мощность, т. е. мощность m, удовлетворяющая неравенству

0 < m < c:

Знаменитая континуум гипотеза состоит в том, что такой мощности нет. Философский смысл континуум гипотезы очевиден: не существует количества, промежуточного между количеством всех натуральных чисел и количеством всех точек прямой линии (или равным ему количеством всех действительных чисел)! Эквивалентная формулировка континуум гипотезы: всякая бесконечная часть континуального (т. е. имеющего континуальную мощность) множества либо сама имеет мощность континуума, либо же имеет счётно бесконечную мощность.

Историческая справка. Континуум гипотезу высказал ещё в XIX веке Георг Кантор (1843{1918) | великий немецкий (впрочем, родившийся в Санкт Петербурге и проведший там первые одиннадцать лет жизни) философ и математик, создатель теории множеств. Он высказал эту гипотезу не как гипотезу, а как положительное утверждение. Именно, в написанной в 1877 г. статье «К учению о многообразиях» [26], на с. 257 (в [28] | с. 132), Кантор заявил, что всякое бесконечное множество точек на прямой имеет либо континуальную, либо счётно бесконечную мощность и что это утверждение устанавливается «с помощью индуктивного рассуждения, которое мы не будем здесь приводить». «Строгое исследование этого вопроса, | завершалась

83

Философия

статья, | мы откладываем до другого раза». И действительно, с 1879 г. Кантор начал отдельными порциями публиковать трактат под названием «О бесконечных линейных точечных многообразиях»; эта серия публикаций должна была увенчаться доказательством заявленного утверждения. В шестой публикации [27] названной серии это утверждение действительно было доказано | но лишь для узкого класса множеств (а именно, для так называемых замкнутых множеств). Соответствующая теорема была сформулирована в самом конце статьи [27], и её формулировка сопровождалась утверждением, что «эта замечательная теорема (dieser merkwurdigeSatz)» остаётся справедливой и для произвольных множеств и что это будет доказано в последующих параграфах трактата. Таким образом, Кантор, во первых, доказал, что не существует такого количества, промежуточного между счётно бесконечным и континуальным, которое служило бы количеством элементов какого либо

замкнутого множества на прямой линии, а также, во вторых, обещал предъявить доказательство более сильного утверждения, а именно, что ни для какого (а не только замкнутого) множества точек на прямой линии невозможно, чтобы количество этих точек оказалось промежуточным. Статья [27] была завершена 15 ноября 1883 г., и ей суждено было стать последней в серии. Кантор обнаружил, что не в состоянии выполнить своё обещание, поскольку не располагает доказательством для общего случая. Это осознание имело драматические последствия. В мае 1884 г. Кантора постиг первый приступ нервной болезни. Через месяц приступ прошёл, но болезнь уже не отпускает свою жертву, а с 1899 г. приступы учащаются. После 1897 г. Кантор уже ничего не публикует, а в 1918 г. умирает в нервной клинике.

Ныне известно (в силу результатов К. Гёделя и П. Коэна), что н и д о - к а з а т ь, н и о п р о в е р г н у т ь к о н т и н у у м г и п о т е з у н е в о з - м о ж н о. Говоря «доказать» и «опровергнуть», мы имеем в виду все мыслимые средства, допускаемые современной математикой. Тем самым повисает в воздухе вопрос о самом смысле континуум гипотезы. В самом деле, воспринимается как туманный смысл такого утверждения, истинность или ложность которого заведомо нельзя установить никакими средствами. Эта чрезвычайная ситуация радикально отличается от такой часто встречающейся ситуации, когда мы просто чего то не знаем (но хотя бы ясно понимаем сам вопрос 15).

Оказывается, что можно выписать формулу 2 го порядка, которая тогда

итолько тогда имеет модель (т. е. такую структуру, для которой она становится верной), когда континуум гипотеза справедлива. Можно выписать

итакую формулу 2 го порядка, наличие у которой модели равносильно, напротив, наличию промежуточной мощности, т. е. справедливости отрицания

15А залог ясности понимания вопроса состоит в ясности понимания возможных ответов на этот вопрос.

84

Семь размышлений на темы философии математики: 5

континуум гипотезы 16. Таким образом, для формул 2 го порядка вопрос о наличии у них модели может оказаться столь же туманным, как сама континуум гипотеза.

Кажется сомнительным, чтобы язык со столь неясной семантикой мог служить удовлетворительным средством для аксиоматического определения чего нибудь | в частности, натурального ряда.

И действительно, если мы проанализируем использование аксиомы индукции в процессе доказательства того, что любая модель аксиом I{III изо-

морфна N, мы увидим, что здесь, по существу, используется то самое поня-

тие натурального числа, которое мы ещё только собираемся аксиоматически определить. Наше свойство P0 означает «иметь вид 000::: 0». Многоточие в вы-

ражении «000::: 0» как раз и пытается заменить собою общее представление

онатуральном числе. А выразить свойство P , без априорного представления

онатуральном числе или без заменяющих его многоточия или слов «и т. д.» невозможно.

5. Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?

Именно так было озаглавлено пятое размышление в опубликованном в 1987 г. первоначальном тексте. В то время убеждение в справедливости Великой теоремы Ферма основывалось на некой иррациональной вере: доказательство теоремы отсутствовало, отсутствовало и опровержение. Напомним, что опровержение какого либо утверждения состоит в доказательстве его ложности; опровергнуть утверждение значит доказать, что оно является ложным, | иначе говоря, доказать его отрицание.

Однако с тех пор в мировой науке произошло важное событие: через более чем 350 лет после того, как была сформулирована Великая теорема Ферма, она обрела, наконец, доказательство! Автором доказательства стал сорокалетний англичанин Эндрю Уайлз (A. Wiles) | выпускник аспирантуры Кембриджа, переехавший в 80 е годы в Америку и сделавшийся там профессором Принстонского университета.

Доказательство Уайлза рождалось с драматизмом, достойным Великой теоремы. После многих лет упорной работы, к маю 1993 г. Уайлз был убеждён, что обладает доказательством, которое он изложил в общих чертах в трёх лекциях, прочитанных в его родном Кембридже 21{23 июня 1993 г. В номере от 5 июля 1993 г. известный американский журнал «Тайм» посвятил

16 Примечание для специалистов. Известные автору примеры подобных формул содержат предикатные символы валентности 2. Однако и аксиома индукции, если заменить в ней функциональный символ штрих на предикатный, будет содержать предикатный символ валентности 2.

85

Философия

этому событию статью с подзаголовком: «Решена самая знаменитая математическая проблема в истории». В январе 1994 г. популярный математический журнал опубликовал статью [30] о многовековой осаде Великой теоремы Ферма | осаде, завершившейся предпринятым Уайлзом семилетним штурмом; впрочем, в конце статьи содержалась следующая приписка мелким шрифтом:

Примечание, добавленное при корректуре. На декабрь 1993 г. рукопись Уайлза не была ещё обнародована. Кен Райбет (Ken Ribet) отмечает, что в применении к длинным рукописям подобная задержка является сравнительно нормальной. Большинство экспертов продолжает верить в то, что в существенном доказательство правильно.

Однако когда Уайлз записал своё доказательство, в нём обнаружился пробел (то есть недоказанный логический переход). Над доказательством нависла угроза провала. (Здесь уместно вспомнить судьбу Георга Кантора.) К счастью, в сентябре 1994 г. с помощью своего ученика Ричарда Тэйлора (R. Taylor) Уайлзу удалось пробел устранить. Уточнённое доказательство Уайлза теперь уже не подвергается сомнению в мире математиков. Подробнее обо всём этом можно прочесть в замечательной книге Саймона Сингха [31].

Итак, теорема Ферма доказана. Поэтому вопрос заголовка «Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?» потерял свой смысл; сегодня ответом на него должно служить уверенное «Нельзя». Попробуем, однако, перенестись в прошлое, когда теорема Ферма ещё не имела ни доказательства, ни опровержения. Будем рассуждать в рамках того прошедшего времени, когда ещё не было известно, возникнет ли когда либо доказательство или опровержение Великой теоремы. Наше пятое размышление как раз и следует погрузить в указанное прошедшее время. С современной точки зрения это размышление, вероятно, следовало бы озаглавить так: «Можно ли когда либо было ожидать (опасаться, надеяться) получить доказательство того, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?». Мы увидим, что ожидать этого было никак нельзя.

Проблема континуума, упомянутая в конце нашего предыдущего размышления, относится к числу главных проблем, волновавших умы математиков. В знаменитом докладе «Математические проблемы», с которым великий Гильберт выступил в 1900 г. на Международном конгрессе в Париже, она была названа первой. Как было отмечено, проблема континуума оказалась неразрешимой: континуум гипотезу невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Перечисляя 23 основные проблемы математики, Гильберт не упомянул проблему доказательства (или опровержения) Великой теоремы Ферма. По видимому, Гильберт не считал эту проблему достаточно важной. Тем не менее нет сомнения, что это самая знаменитая из нерешённых математических проблем. И притом единственная из нерешённых проблем, извест-

86

Семь размышлений на темы философии математики: 5

ных, к сожалению, широкой массе нематематиков. Мы написали «к сожалению», ибо ощутимый процент времени математиков профессионалов тратится на изучение и опровержение сочинений ферматистов | так называются люди, не имеющие должной математической подготовки, но считающие, что именно они доказали теорему Ферма.

Строго говоря, теорему Ферма нельзя назвать теоремой. «Математическая энциклопедия» [22] определяет теорему как «математическое утверждение, истинность которого устанавливается путём доказательства».

А ведь доказательство для «теоремы» Ферма пока ещё не найдено 17. Тем не менее та же «Математическая энциклопедия» в том же 5 м томе даёт статью «Ферма теорема», и мы будем пользоваться этим же общепринятым, хотя и неточным термином | признавая, что правильнее было бы говорить о гипотезе Ферма.

Много факторов способствовало популярности теоремы Ферма в среде непрофессионалов. Среди них: 1) авторитетность автора: её высказал один из создателей теории чисел | знаменитый французский математик Пьер де Ферма; 2) почтенность возраста: она была высказана около 1630 г.; 3) романтические обстоятельства, при которых она была сформулирована: Ферма записал её на полях латинского перевода «Арифметики» Диофанта издания 1621 г. Восьмая задача второй книги «Арифметики» Диофанта гласит: «Заданный квадрат разложить на два квадрата». Ферма сделал к этой задаче следующее замечание (также на латыни): «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». В бумагах Ферма доказательства найдено не было; 4) учреждение в 1908 г. премии Вольфскеля в сто тысяч германских марок за доказательство теоремы Ферма («приятный» факт учреждения большой премии, естественно, получил гораздо большую известность, чем «неприятный» факт её полного обесценивания вследствие наступившей после первой мировой войны инфляции); 5) простота формулировки.

Конечно, первые четыре фактора не смогли бы сработать, не будь теорема Ферма столь общедоступна по своей формулировке. Вот в чем она состоит: К а к о в о б ы н и б ы л о ц е л о е ч и с л о n, б о л ь ш е е, ч е м 2,

17Впрочем, не все придерживаются этой точки зрения. Так, Виктолий Иванович Будкин на с. 45 своей книги «Методика познания "истины\. Доказательство Великой теоремы Ферма» (Ярославль: Верх. Волж. кн. изд во, 1975, 48 с.) указывает: «Итак, сменилось 13 поколений людей, а Великая теорема Ферма осталась ещё не доказанной. Только в настоящей работе впервые приводится полное доказательство теоремы в общем виде». Следует отметить, что подавляющему большинству ферматистов всё же не удаётся опубликовать свои псевдодоказательства.

87

Философия

у р а в н е н и е xn + yn = zn н е и м е е т ц е л ы х п о л о ж и т е л ь н ы х р е ш е н и й.

Как видим, участвующее в формулировке теоремы Ферма уравнение рассматривают как уравнение с тремя неизвестными | x, y, z. Поскольку n может принимать значения 3, 4, 5, 6 и т. д., то на самом деле здесь бесконечная серия уравнений, и утверждается, что ни одно из них не имеет решения в таких целых x, y, z, что x > 0, y > 0, z > 0. С логической точки зрения более естественно рассматривать уравнение xn + yn = zn как о д н о уравнение с четырьмя неизвестными n, x, y, z. Теорема Ферма, стало быть, утверждает, что это уравнение не имеет целых решений, таких, что n > 2, x > 0, y > 0, z > 0.

Современные эксперты сходятся во мнении, что Ферма на самом деле не обладал доказательством своей теоремы, хотя, возможно, действительно умел её доказывать для двух частных случаев, а именно для случая, когда показатель степени n равен 3, и для случая, когда этот показатель равен 4. Впервые доказательства для этих двух случаев были опубликованы великим немецким и российским математиком Эйлером в XVIII в. Заметим, что из доказательства теоремы Ферма для какого либо показателя n немедленно вытекает её доказательство для всех показателей, делящихся на n. Таким образом, ещё в XVIII в. теорема оказалась установленной для всех показателей, делящихся на 3 или на 4. Далее теорема Ферма была доказана последовательно для случаев показателей, делящихся на 5 (1825 г.), на 14 (1832 г.), на 7 (1839 г.). К 1978 г. справедливость теоремы Ферма была установлена для всех показателей, меньших ста двадцати пяти тысяч. Однако все эти успехи не позволяют утверждать истинность теоремы Ферма в её полном объёме, т. е. утверждать отсутствие целых таких положительных целых чисел x, y, z, которые смогли бы удовлетворить уравнению xn + yn = zn хотя бы при одном каком нибудь показателе n, большем, чем 2.

Поиски доказательств теоремы Ферма продолжаются. Теоретически говоря, могли бы происходить и поиски её опровержения, но они не происходят. Ситуация с гипотезой, называемой «теоремой Ферма», значительно отличается от той, которая имеет место для континуум гипотезы: ведь для континуум гипотезы, как мы знаем, доказано, что её нельзя ни доказать, ни опровергнуть (более точно, Гёдель в 1939 г. показал, что её нельзя опровергнуть, а Коэн в 1963 г. | что её нельзя доказать). Для гипотезы (теоремы) Ферма такое доказательство | доказательство невозможности её ни доказать, ни опровергнуть | отсутствует. Спрашивается: это доказательство п о к а отсутствует (с надеждой его получить в будущем) или оно в принципе невозможно? Если бы это доказательство удалось получить, это несомненно принесло бы математике большую пользу, поскольку раз навсегда закрыло бы шлюз для потока безграмотных попыток доказать теорему Ферма.

88

Семь размышлений на темы философии математики: 5

Этот прогноз оказался слишком оптимистическим. Как мне сообщили в Российской Академию наук в январе 2001 г., поток лже доказательств теоремы Ферма, поступающих в эту академию, не прекратился.

К сожалению, такое доказательство невозможно. И мы сейчас разъясним, почему невозможно. Правда, остаётся теоретическая возможность того, что удастся доказать, что теорему Ферма нельзя доказать. Появление такого доказательства также перекрыло бы вышеназванный шлюз | но тогда, вероятно, возник бы поток попыток опровергнуть теорему Ферма (например, путём предъявления в косвенной форме четвёрок астрономически больших чисел n, x, y, z, для которых нужное равенство было бы практически непроверяемым).

Итак предположим, что (а) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя доказать; (б) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть.

Наша цель теперь | показать, что (а) и (б) несовместимы, т. е. не может быть, чтобы оба эти утверждения были истинны одновременно. На самом же деле мы обнаружим, что (б) несовместимо даже с более слабым, чем (а), утверждением (а1): «теорему Ферма нельзя доказать». Именно, мы покажем, что из (б) следует наличие у теоремы Ферма доказательства и тем самым отрицание (а1).

Сперва | некоторые предварительные комментарии. Всякую четвёрку натуральных чисел n, x, y, z, такую, что n > 2, x > 0, y > 0, z > 0 и xn + +yn = zn, условимся называть четвёркой Ферма. Теорема Ферма гласит, что четвёрок Ферма не существует в природе. Опровергнуть какую либо теорему 18 | это значит доказать её отрицание. Опровергнуть теорему Ферма | это значит доказать, что четвёрки Ферма существуют.

Лемма 1. Если нельзя доказать, что четвёрки Ферма существуют, то их не существует.

Замечание. Пусть A | какое либо утверждение. Нет никаких причин считать, что если нельзя доказать, что A, то A неверно. Однако | и в этом содержание леммы | это так, коль скоро A есть утверждение «четвёрки Ферма существуют».

Доказательство леммы 1 ведём от противного. В самом деле, предположим, что четвёрки Ферма существуют. Выпишем какую либо из них. Это будет четвёрка натуральных чисел a, b, c, d. Проверим, что это действительно четвёрка Ферма, т. е. проверим выполнение неравенств a > 2, b > 0, c > 0, d > 0 и равенства ba + ca = da. Предъявление четвёрки a > 2, b > 0, c > 0, d > 0 вкупе с указанной проверкой образует доказательство существования четвёрки Ферма. Разумеется, если четвёрка состоит из гигантских

18Мы по прежнему пользуемся неточной терминологией и отождествляем слово «теорема» со словом «утверждение», а не со словом «доказанное утверждение».

89

Философия

чисел, то время, потребное на проверку, может превосходить длительность жизни человека, а то и всего человечества (а объём вычислений | размеры видимой Вселенной). Однако мы от этого отвлекаемся и считаем, что даже и в этом случае проверка того, что предъявленная четвёрка является четвёркой Ферма, в о з м о ж н а в п р и н ц и п е. Философ скажет, что здесь мы используем так называемую абстракцию потенциальной осуществимости, как раз и состоящую в отвлечении от ограниченности наших реальных возможностей в пространстве и времени.

Лемма 2. Если нельзя опровергнуть теорему Ферма, то теорема Ферма верна.

Замечание. Не видно причин, почему это должно быть верно для любой теоремы.

Доказательство леммы 2. Лемма 2 есть просто переформулировка леммы 1. Ведь «опровергнуть теорему Ферма» значит «доказать, что четвёрки Ферма существуют», а «теорема Ферма верна» значит «четвёрки Ферма не существуют».

Лемма 2, которую мы доказали, имеет строение «если P , то Q». Поэтому если P имеет доказательство, то и Q имеет доказательство (доказательство Q состоит в сочетании доказательства леммы с доказательством P ). Поэтому имеем такое

Следствие леммы 2. Если существует доказательство того, что нельзя опровергнуть теорему Ферма, то существует и доказательство того, что теорема Ферма верна, т. е., попросту, доказательство теоремы Ферма.

Ввиду важности этого следствия ещё раз сформулируем его: если существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть ,

то теорему Ферма можно доказать . Итак, если (б), то теорему Ферма можно доказать, что и представляет собою обещанное отрицание утверждения (а1).

Полученное противоречие и завершает наше рассуждение о том, что (а 1) и (б), а тем более (а) и (б), несовместимы.

Возникает следующий естественный вопрос: а почему проведённое рассуждение нельзя повторить для континуум гипотезы, о которой шла речь в конце нашего предыдущего, четвёртого размышления? В самом деле, гипотеза (теорема) Ферма утверждает, что нет четвёрок Ферма, а контину-

ум гипотеза | что нет множеств мощности, промежуточной между 0 и c.

Давайте заменим четвёрку Ферма на множество промежуточной мощности, теорему Ферма | на континуум гипотезу и ещё раз проведём только что проведённое рассуждение. Мы должны, обязаны где то споткнуться, ведь утверждения (а0) и (б0), получающиеся из (а) и (б) заменой слов «теорема

Ферма» на слово «континуум гипотеза», оба верны. Где же мы споткнёмся? А вот где | в доказательстве леммы 1 (разумеется, не в первоначальной формулировке, а с заменой слов «четвёрки Ферма» на слова «множества про-

90

Семь размышлений на темы философии математики: 5

межуточной мощности»). Приведённое выше доказательство леммы 1 обосновывалось на следующей идее: можно фактически предъявить четвёрку чисел a, b, c, d и удостовериться, что она образует четвёрку Ферма. Но что значит предъявить множество? Могут возразить, что и мы, собственно, предъявляем не числа как количественные категории, их предъявить невозможно, можно только написать их имена (например, в виде нуля со штрихами или в виде десятичной записи). Но дело в том, что каждое натуральное число имеет имя, чего нельзя сказать о множествах: м н о ж е с т в б о л ь ш е, ч е м и м ё н (если понимать последние как конечные комбинации знаков какого нибудь алфавита). Но даже если ограничиться множествами, имеющими имена, и предъявлять вместо множеств эти имена, всё равно остаётся главная трудность: как проверить, что предъявленное множество имеет промежуточную мощность? Проверить, что четвёрка чисел есть четвёрка Ферма, в принципе (если отвлечься от количества шагов и необходимого пространства) несложно: надо подставить числа в уравнение и сравнить левую и правую части. Способа же, который по предъявленному множеству определил бы его мощность или хотя бы определил, будет ли эта мощность удовлетворять

неравенству 0 < m < c, не существует.

Замечание. Можно указать на ещё одно философское различие между ситуацией с теоремой Ферма и ситуацией с континуум гипотезой. Обсуждая вопрос о возможных доказательствах теоремы Ферма или её возможных опровержениях (т. е. доказательствах её отрицания), мы исходили из понятия доказательства в общем, неформальном смысле; об этом понятии | наше 6 е размышление. Упоминавшиеся же открытия Гёделя, установившего, что континуум гипотезу нельзя опровергнуть, и Коэна, установившего, что континуум гипотезу нельзя доказать, утверждают невозможность формальных доказательств в рамках некоторого ранее известного конкретного представления о формальном доказательстве | более точно, в рамках некоторой конкретной аксиоматики теории множеств, а именно, так называемой системы Цермело{Френкеля. Однако считается (мнение это представляет собой не что иное, как акт веры), что система Цермело{Френкеля позволяет формализовать любое неформальное математическое доказательство. Это и даёт право говорить, что континуум гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть какими бы то ни было средствами, допускаемыми современной математикой.

Обсуждаемая тема имеет самое тесное отношение к знаменитой теореме Гёделя о неполноте. Теорема эта утверждает, что какое ни предложить понятие формального доказательства , имеется такое утверждение о натуральных числах, что ни оно само, ни его отрицание не обладает формальным доказательством в рамках предложенного понятия . Мы исходим из очевидности того, что возможны различные определения формального доказательства. Эти определения отличаются друг от друга набором допускаемых

91

Философия

аксиом и правил вывода. Могут быть такие представления о формальном доказательстве, в котором вообще не используются ни аксиомы, ни правила вывода. Короче говоря, подходы к понятию формального доказательства могут быть весьма различны. Но все эти подходы имеют и фундаментальную общность, выражаемую в следующих принципах:

1)каждое формальное доказательство есть текст | т. е. конечная цепочка знаков, выбранных из некоторого алфавита;

2)по каждому тексту, составленному из букв рассматриваемого алфавита, можно алгоритмически распознать, является ли оно формальным доказательством или нет, и если да, то какого именно утверждения;

3)только истинные утверждения могут обладать формальными доказательствами.

В силу третьего принципа предъявление формального доказательства какого либо утверждения гарантирует его истинность и, следовательно, может считаться его доказательством. Обратное, конечно, не предполагается: не предполагается, что каждое истинное или даже содержательно доказуемое утверждение имеет | при заранее заданном понятии формального доказательства | формальное доказательство. Анализ теоремы Гёделя о неполноте показывает, что утверждение, о котором в ней идёт речь, всегда имеет

вид x A(x), где A | некоторое свойство натурального числа x. Это свой-

ство зависит от рассматриваемого понятия формального доказательства, но всегда алгоритмически проверяемо 19 (подобно тому как алгоритмически проверяемо свойство четвёрки чисел «быть четвёркой Ферма»). Итак, теоре-

ма Гёделя утверждает, что ни x A(x), ни x A(x) не имеют формального доказательства.

Ужесточим наши требования к представлениям о формальном доказательстве. Именно, потребуем, чтобы, коль скоро для какого то алгоритми-

A утверждение x A(x) оказывается истин-

ным, то это утверждение x A(x) обладает формальным доказательством.

Это требование довольно естественно: оно реализуется при формализации следующих уже встречавшихся выше этапов: 1) предъявления некоторого c,

2) проверки, что это c удовлетворяет свойству A; здесь существенно и то,

что c можно фактически предъявить, и то, что A(c) можно фактически проверить.

Наше требование вытекает, в частности, из следующих двух ещё более естественных требований:

1) если для числа c справедливо (алгоритмически) проверяемое свойство A, то A(c) обладает формальным доказательством;

19Это значит, что существует алгоритм, который для любого c проверяет, верно ли A(c) или нет.

92