algo-15-05-29

Лекция 34 по алгоритмам и структурам данных

Неофициальные записки лекций С.А.Объедкова

для студентов 2 потока 1 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко

29 ìàÿ 2015 ã.

Приближенные алгоритмы

Идея приближенных алгоритмов состоит в том, что мы ищем не точный ответ OP T (который как правило невозможно найти быстро), а прибли-

женный ответ Approx, который отличается от OP T в известное количество

раз. Так, если наш алгоритм максимизирует какую-либо величину, то он может удовлетворять соотношению Approx > 12 OP T , а если минимизирует

òî Approx 6 2OP T .

Задача о вершинном покрытии. Мы приближенно ищем размер минимального вершинного покрытия графа G = (V; E), то есть такое наимень-

шее число вершин, что у любого ребра хотя бы один конец выбран. Первый алгоритм будет таким:

V1 = empty set

while exists (u, v) in E: u not in V1 and v not in V1: add u and v to V1

Для него возможно доказать соотношение Approx < 2OP T . Пусть k

размер минимального вершинного покрытия. Количество итераций цикла while не превосходит k. На каждой итерации добавляем две вершины, сле-

довательно размер найденного вершинного покрытия не превосходит 2k. Второй алгоритм:

V1 = empty set

whilte exists (u, v) in E: u not in V1, v not in V1

choose w incident to the largest number of uncovered edges: add w to V1

Он выглядит экономичнее предыдущего, но про него подобную оценку доказать нельзя. Предлагается запустить оба алгоритма, первый дает ответ гарантированно не больше 2OP T , а второй часто дает ответ лучше, но не

всегда.

Записки могут содержать ошибки.

1

Задача об обходе графа. Теперь, пусть на вход дан взвешенный граф G = (V; E) с положительными весами и нам требуется найти длину крат-

чайшего маршрута из v в себя, проходящего через каждую вершину. Пусть T минимальное остовное дерево G, R маршрут, полученный

обходом T , подвешенного за v. Если функция ! находит сумму весов ребер

ñучетом кратности, то

1)!(R) = 2!(T ), так как при обходе дерева каждое ребро посещается ровно по два раза,

2)!(T ) < OP T , так как объединение ребер оптимального маршрута яв-

ляется связным графом, следовательно его вес не меньше веса минимального остовного дерева; неравенство строгое, так как из того, что маршрут T замкнут, следует, что из него можно удалить ребро так, что объединение его ребер останется связным,

3)!(R) > OP T , так как OP T и R являются маршрутами, при том что OP T является маршрутом с минимальной стоимостью.

Связь задачи о покрытии, задачи о независимом множестве и задачи о клике. Заметим, что, если V1 вершинное покрытие графа G = (V; E), òî V n V1 независимое множество.

Åñëè V1 независимое множество (V; E), то V1 клика в графе (V; V 2 n

E).

Пусть k размер минимального вершинного покрытия в нашем графе. Тогда n k размер максимального независимого множества. Если V1 аппроксимация вершинного покрытия, то ее размер jV1j 6 2k. Но тогда V1 является аппроксимацией максимального независимого множества и имеет размер, не меньший n 2k. Тогда коэффициент аппроксимации будет равен

Задача о рюкзаке. Пусть у нас есть n предметов размеров s1; : : : ; sn и которые имеют ценность v1; : : : ; vn (мы будем рассматривать более простой случай, когда ценности являются натуральными числами) и рюкзак размера S. Мы хотим максимизировать суммарную ценность предметов в

рюкзаке, при том, что суммарный объем не должен превосходить S. Ответом будет максимальная стоимость.

брать только первые i предметов. Заметим, что рекурсивная формула будет

Si;j = minfSi 1;j; si + Si 1;j vi g

Этот алгоритм дает точный ответ и время его работы будет равна O(nV ), что очень плохо, так как суммарная ценность предметов V может быть

2

сколь угодно большой и в худшем случае может расти экспоненциально от размера входа.

Идея для аппроксимации состоит в том, чтобы разделить v1; : : : ; vn íà x и результат округлить вверх. Тогда рассмотрим, как этот алгоритм от-

Тогда сложность этого алгоритма будет описываться формулой

n3

O(nV ) ) O(n2Vmax) ) O 1 c :

3