Глава 3 Относительная частота и её свойства

§1. Основные понятия.

Пусть некоторый опыт проводится “n” раз. Наблюдаемое событие А появляется “k” раз (k=0,1,2,..,n)

Относительная частота события а:

P*(A)=К/ n

P*(A)= n(А)/n

K=n(A)

Относительная частота имеет следующие свойства:

1. P*(Ω)=1 (т.к К=n) 0≤P(A*)≤1

2) P*(ø)=0 (Т.к К=0)

3)Если АВ= ø , то P*(А+В)= P*(А)+Р*(В)

4) Свойство устойчивости:

При большом числе испытаний (n→∞)

P*(A) → P(A) [вероятность события А]

На практике за вероятность события принимается относительная частота этого события при достаточно большом числе “n” проверенных опытов.

Так, например, проводился опыт бросания монеты. Наблюдаемое событие А={выпадение герба}. Приведём таблицу опытов, которые провели известные математики.

Исследователь	Число экспериментов	Относительная частота выпадения герба
Бюффон (18 век)	4040	0,5069
Де Морган	4092	0,5005
Джевонс	20480	0,5068
Романовский	80640	0,4923
Английский математик Карл Пирсон (20 век)	24000	0,5005

Заметим , что по вероятности событий можно прогнозировать относительную частоту появления этого события в будущем

§2. Решение типовых задач

Задача 1

По статистике на каждые 1000 лампочек приходится 3 бракованных. Какова вероятность купить исправную?

Решение:

А={исправная лампа} n(A)=1000-3=997

n=1000

P*(A)=n(A)/n=997/1000=0,997

Задача 2

Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов ≈0,012. В скольких случаях из 10000 рождений можно ожидать появление близнецов?

Решение:

А={рождение близнецов}; n= 10000

P*(A) = 0,012 Найти:n(A)

P*(A) = n(A)/n=> n(A)=np*(A)

n(A)=10000*0,012=120

Ответ: 120

Задача 3

Если вероятность события А составляет 30%, то можно ли утверждать, что при проведении 900 соответствующих элементов события А наступит ровно в 270 из них?

Решение:

Р(А)=0,3; n=900n(A)=p*(A)*n≈270, т.е нельзя утверждать, что ровно 270.

P*(A) ≈0,3

Задача 4

Из пруда было выловлено 90 рыб, которых пометили и выпустили обратно в пруд. Через неделю из пруда выловили 84 рыбы, из которых 5 оказались помеченными. Сколько приблизительно рыб в пруду?

Решение:

A={помеченные рыбы}

n-число в пруду P*(A)=90/n≈5/84=>n≈(90*84)/5=1512 Ответ: 1512

§3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Известно, что среди 1000 выпущенных лотерейных билетов 100 выигрышных. Какое наименьшее количество лотерейных билетов надо купить, чтобы выиграть с вероятностью, равной 1?

[Ответ: 901]

Задача 2

Прошлой зимой в городе « Будьздрав» относительная частота простудившихся составила 12%, а летом простудившихся было 8%. На сколько человек уменьшилось число заболевших, если в городе примерно 60 тысяч человек.

[Ответ: 2400]

Задача 3

По статистике на каждые 10000 батареек приходится 6 неисправных. Какова вероятность купить неисправную батарейку? Как изменить качество батареек, тобы вероятность брака не привышала 0,03%?

[Число бракованных не привышало 3^х]

[ответ: 0,06%]