20 Футбольных команд, среди которых 4 призёра предыдущего первенства, по жеребьевке разбиваются на 4 занумерованные подгруппы по 5 команд.

Найти вероятности события:

A = {в каждую подгруппу попадёт один из призёров}

Решение:

n(Ω) = =(смотр формулу (*))

Т.к. точно по одному призёру в каждой группе, то распределяем 16 команд по 4-м подгруппам, а затем учтём число перестановок призёрных команд

n(A)=4!=

p(A)=

Задача 16

52 Карты раздаются четырём игрокам (каждому по 13 карт)

Найти вероятности следующих событий:

1. A = {каждый игрок получил туза}

2. B = {один из игроков получил все 13 карт одной масти}

3. C = {все тузы попадут одному игроку}

4. D = {двое определённых игроков не получат ни одного туза}

Решение:

Опыт: раздача 52 карт между 4-ми игроками поровну.

n(Ω)==1

1. n(A) = (

(1-й игрок) (2-й игрок) (3-й игрок)

Упростим: n(Ω) =

n(A)=

p(A)=

2) n(B)=С¹₄ · С¹₄ · С ¹³₃₉ · С¹³₂₆ · С¹³₁₃ ≤1

выбор выбор 2-ой 3-й 4-й

масти игрока игрок игрок игрок

n(B)=16 · С ¹³₃₉ С¹³₂₆

Р(В)===≈8,4*10^-12

3) n(C)= С¹₄ · С⁴₄ · С ⁹₄₈ · С ¹³₃₉ · С¹³₂₆ · С¹³₁₃ =1

выбор 1-ый 2-ой 3-й 4-й

игрока игрока игрок игрок игро

P(C)===≈0,01056

4) ) n(D)=С¹³₄₈ · С¹³₃₅ · С¹³₍₂₂₊₄₎ · С¹³₁₃ =1

1-й без 2-ой без 3-й с 4-й с

тузов тузов тузами

n(D)==

P(D)==≈0,0552

Задача 17

В магазине имеется шесть сортов пирожных:1) эклеры, 2) буше,3) корзиночки,

4) Картошки, 5) наполеон, 6) невские.

1. Сколько различных наборов из 10 пирожных можно получить?

2. Найти вероятность события:

А= {в данном наборе есть хотя бы один эклер}

Решение:

Элементарные исходы - это сочетания с повторениями.

1. n(Ω)=¹⁰₆ = C¹⁰_(10+6-1) =C¹⁰₁₅

n()==3003

(вычисления проводим на калькуляторе)

2. = { в наборе нет эклеров}

n()=¹⁰₅ = C¹⁰₁₄ = = 1001

P()=--= = 1/3

P(A)=1 - 1/3=2/3

§3 Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1

Команда участников КВН состоит из 8 студентов. При этом: 4 студента I курса, 2 студента II курса, 1 студент III курса и 1 студент IV курса.

Для участия в конкурсе случайно выбирают четырех человек.

Найти вероятности следующих событий: 1) А= {все учатся на разных курсах },

2) В= {попали студенты III и IV курсов}

3) С= {хотя бы один студент I курса попал}

Ответ:1) Р(А)= 4/35; 2) Р(В)=3/14; 3) Р(С)=69/70

Задача 2

Шесть студентов случайным образом выстроились в буфете в очередь.

Найти вероятности событий:1) А= {Иванов стоит первым, а Петров последним}

2) В= {Иванов и Петров стоят рядом}

Ответ:1) Р(А)=1/30; 2) Р(В)=1/3

Задача 3

Случайным образом набирают шестизначный код сейфа.

Найти вероятности событий :

1. А= {сейф открыли с первого раза };

2. В= {сейф открыли со второго раза, но при этом было известно, что все цифры различны};

3. С= {сейф открыли с третьего раза, но при этом известно, что все цифры кода четные и нет “ 0” }

Ответ:1)Р(А)=10^-6 ; 2)Р(В)=1/151200; 3) Р(С)=1/4096

Задача 4

В тесте 5 заданий и 4 варианта ответов (1 верный). Студент случайным образом выбирает ответы.

Найти вероятности событий:

1. А= {все правильные};

2. В= {правильные только в первом и последнем задании};

3. С= {нет правильных};

4. D={хотя бы один правильный};

Ответ:1) Р(А)=1/1024;2) Р(В)=27/1024;3) Р(С)=243/1024; 4) Р( D)=781/1024

Задача 5

Для подготовки к экзамену студент получил 5 вопросов по теме I, 3 вопроса по теме II, 2 вопроса по теме III и 1 вопрос по теме IV.Все вопросы по теме I студент знал на «отлично», вопросы темы II на «хорошо», вопросы темы III на «удовлетворительно», а тему IV не успел подготовить. Экзаменатор задает три вопроса.

Найти вероятности событий:

1. А={на все вопросы смог ответить};

2. В={получил оценку «отлично», так как ответил на все вопросы «отлично»};

3. С={на первый вопрос ответил на «отлично»,на второй «удовлетворительно»,а на третий «хорошо»};

Ответ:1) Р(А)=8/11; 2)Р(В)=2/33; 3)Р(С)=2/11

Задача 6

Пять студентов случайным образом оказались в очереди в библиотеку.

Найти вероятности событий: 1) А={Иванов стоит первым или последним};

2) В={Иванов, Петров и Сидоров стоят в указанном порядке};

Ответ: 1) Р(А)=0,4; 2) Р(В)=0,05

Задача 7

Случайным образом набирают шестизначный телефонный номер.

Найти вероятности следующих событий:1) А={все цифры различные};2) В={все цифры нечетные, но нет цифры 9 и цифры могут повторяться }; 3) С={первая цифра «1», последняя «5»,нет цифры «0» и цифры могут повторяться}

Ответ:1) Р(А)=0,1512; 2) Р(В)=(0,4)⁶ =0,004096; 3) Р(С)=9 ⁴/10⁶ =0,006561

Задача 8

В лотерее 10 билетов:1 билет - выигрыш 1000 рублей;2билета-по 500 рублей,3 билета -по 100 рублей, а 4 билета - без выигрыша. Студент купил три билета.

Найти вероятности событий:1)А={выигрыш составил 1000 рублей};2) В={выигрыш составил 200 рублей};3) С={выигрыш не менее 100 рублей}

Ответ: 1) Р(А)=1/12,2) Р(В)=0.1; 3) Р(С)=29/30

Задача 9

Шесть студентов (3 юноши и 3 девушки) случайным образом садятся за круглый стол.

Найти вероятности событий:

1. А={юноши и девушки чередуются};

2. В={два друга и две подруги сидят рядом};

Ответ:1) Р(А)==1/30; 2)Р(В)=

Задача 10

Для подготовки к контрольной работе преподаватель выдал 12 задач. Студент смог решить только шесть. Контрольная состоит из шести выданных для подготовки задач. Если решены все шесть задач, то оценка «отлично»; если пять, то оценка «хорошо»; если четыре, то оценка «удовлетворительно»; а в остальных случаях студент получит «незачет».

Найти вероятности событий: 1)А={зачет есть}; 2) B={«отлично» или «хорошо»}; 3)С={зачета нет}.

Ответ:

1)= 2)P(B)=; 3)P(C)= 1-P(A)=

Задача 11

На полке 5 красных, 4 белых и 3 синих шара, которые случайным образом переставляют.

Найти вероятности событий:

1. А= {на первом месте стоит красный, а на последнем синий шары};

2. B={все красные стояли рядом}

Ответ: 1) Р (А)= 2) Р(В)=.

Задача 12

Взломщик пытается открыть сейф, у которого шесть кодовых цифр. Найти вероятности событий: 1) А= {открыл с пятой попытки}; 2) B={открыл со второй попытки, но при этом известно, что все цифры четные, а последняя «0»}; 3) С= {открыл сразу, но была информация, что первая и шестая цифры – это «9», третья «5» и цифры не повторяются}.

Ответы: 1) P(A)= 2) P(B)=3)P(C)=

Задача 13

Для получения повышенной стипендии на факультете менеджмента отобрали 10 кандидатов: три студента 1го курса, 4 студента второго курса, 2 студента третьего курса и одного студента 4 курса. Фонд стипендий рассчитан только на пять студентов. Случайным образом отобрали пять студентов для получения стипендии.

Найти вероятности событий: 1) A={все студенты 3го и 4го получат точно}; 2) B={хотя бы один студент 2го курса}; 3) C={точно получат один студент 1го курса и один 2го курса}.

Ответ: 1) P(A)= 2) P(B)=3) P(C)=

Задача 14

На книжной полке стояли книги одного автора, при этом : I том – 4 экземпляра, II том – 2 экземпляра, III том – 5 экземпляров, IV том – 1 экземпляр. Книги случайным образом переставили

Найти вероятности событий: 1) A={все четыре книги I тома стояли рядом}; 2) B={на первом месте I том, на втором II том, на третьем месте III том}.

Ответ: 1) P(A)=; 2) P(B)=.

Задача 15

В новогодней лотерее 12 билетов: один билет – 10000 рублей, два билета по 5000 рублей, 3 билета по 1000 рублей, четыре билета по 100 рублей, а два без выигрыша. Студенту предложили наудачу выбрать четыре билета.

Найти вероятности событий:

1. A={выиграл 20000 рублей};

2. B={выиграл 1300 рублей};

3. C={выигрыш составил не менее 100 рублей}.

Ответ: 1) P(A) = 2) P(B) =3) P(C)=1.

Задача 16

Брошены две игральные кости.

Найти вероятности следующих событий:

1. А= {сумма выпавших очков равна 7};

2. В={сумма выпавших очков равна 8, а разность равна 4};

3. С={сумма выпавших очков равна 5, а произведение равно 4}.

Ответ: 1) P(A) = 2) P(B)=3) P(C)=.

Задача 17

Буквы А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т написаны на определенных карточках. Каждая карточка берется в случайном порядке и прикладывается одна к другой.

Найдите вероятность событий: В={получим слово «математика»}.

Ответ: P(B)=

Задача 18

Десять студентов, среди которых Иванов и Петров, размещаются в гостинице в два трехместных и один четырехместный номер. Сколько существует способов их размещения?

Какова вероятность события А={Петров и Иванов попадут в четырехместный номер}?

Ответ: n(Ω)=

P(A)=

Задача 19

После первой волны зачисления в ВУЗ по результатам ЕГЭ оказалось, что в группе №1 есть три вакантных места, в группе №2 есть четыре вакантных места, а в группе №3 есть два вакантных места.

1) Сколько способов распределить новых 9 абитуриентов по трем группам?

2) Найти вероятность события: A={два друга оказались в одной группе}.

Ответ: 1) n(Ω)=

2) n(A)=

P(A)=

Задача 20

В цветочный магазин привезли свежие цветы: 1) розы; 2)тюльпаны; 3)гвоздики; 4) хризантемы; 5)лилии; 6)ирисы.

1)Сколько всевозможных букетов можно составить из семи цветов?

Найти вероятность события: A= {три хризантемы будут обязательно}.

Ответ: 1. n(Ω)=

2. n(A)= P(A)=

Задача 21

Преподаватель случайным образом раздал 12 перенумерованных задач четырем студентам

1.Сколько способов раздать задачи? так, что каждый получил по три задачи.

2. Найти вероятность события:

A={первый студент получил задачу №1, второй №5, третий №12}.

Ответ: 1. n(Ω)= ;

2. n(A)=

P(A)

Задача 22[задача Германа]

Найти вероятность того, что из 52 карт последовательно будут вытащены: «тройка», «семерка», «туз».

Ответ: P(A)= n(Ω)=