§2. Решение типовых задач.

Задача 1.

 Случайным образом набирают пятизначный номер телефона.

Найти вероятности событий:

1. А = все цифры различны

2. В =  все цифры нечётные и различные

3. С = все цифры чётные, но первая цифра не «о»

Решение:

Опыт: набор пятизначного номера

0,1,2,…,9

Имеем размещения с повторениями из 10 по 5 это элементарные исходы опыта

n() = A ₁₀⁵ = 10⁵ – число всех исходов опыта

1. n(А) – число размещений из 10 по 5 без повторений.

n(A) = A₁₀⁵ = 10*9*8*7*6

P(A) = n(A)/n()= 10*9*8*7*6 /10*10⁴ =0,3024 

2. 1,3,5,7,9

Только из этих цифр может состоять пятизначный  номер.

n(B) = P = 5! (перестановки из 5 элементов)

P(B) = n(B)/n()= 5! /10*9*8*7*6 = 0,0012 

3. Будем рассуждать так:

 варианты  набора:

4 5 5 5 5

0,2,4,6,8- данное множество.

По правилу умножения имеем: первая цифра выбирается из {2,4,6,8}, т.е. 4 способа, а

остальные, т.к. имеем уже 5 цифр - 5 способов.

=

P(C)==

Задача 2.

На входную дверь поставили четырёхзначный кодовый замок. Бомж не знает кода, но пытается открыть дверь. Найти вероятности следующих событий:

1). A={дверь открыли с первой попытки}

2). B={дверь открыли со второй попытки при условии, что стало известно о том, что все числа чётные}

3). С={открыли с пятой попытки, но при этом стало известно, что первая цифра «5» и все цифры различные}

Решение:

1). Опыт: Набор четырёх цифр из множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Элементарный исход – размещение из 10 по 4 с повторениями.

n(Ω)=10⁴;

n(A)=1 (т.к. только один верный код);

P(A)=

2). Опыт: Набор четырёх цифр из множества {0,2,4,6,8}

n(Ω)=5⁴ (размещения с повторениями)

n(B)=1 (только один верный исход)

P(B)==

3) Так как первая цифра известна, то опыт заключается в том, что из цифр {0,1,2,3,4,6,7,8,9} выбирают различные три цифры, т.е. имеем размещения из 9 по 3 без повторений.

n(Ω)=

n(C)=1

P(C)=

Задача 3.

На полке в один ряд стояли: 3 красных, 5 белых и 2 синих шара. Случайным образом шары переставили. Найти вероятности событий:

1). A={на первом месте стоит красный шар, на втором месте – синий, на третьем месте – белый шар}

2). B={шары одного цвета стоят рядом}

Решение:

Опыт: перестановка шаров. Элементарные исходы – перестановки с повторениями.

n(Ω)=P₁₀(3, 5, 2)=

1). По условию задачи мы уже знаем, какие шары заполнили первое, второе и третье места. У нас осталось: 2 красных, 4 белых и 1 синий шар. Размещаем эти шары на семи местах (перестановки с повторениями).

n(A)=P₇(2, 4, 1)=

P(A)=

2). Будем рассуждать так: имеем три неделимых группы, группа красных, группа белых и группа синих шаров. Будем переставлять эти группы.

n(B)=3!=6

P(B)==0,00238

Задача 4.

Десять студентов ( пять юношей и пять девушек) случайным образом садятся в ряд.Найти вероятности следующих событий:

1). A={юноши сидят на чётных, а девушки на нечетных местах}

2). B={два друга и две подруги сидят рядом}

Решение.

Опыт: перестановки из десяти человек

n(Ω)=10!

1). {1,3,5,7,9} {0,2,4,6,8}

Нам нужно сделать перестановки и в множестве нечётных, и в множестве чётных чисел. По правилу умножения получим:

n(A)=5!5!

P(A) =

2). Рассуждаем так: отделим данные две пары, а оставшихся шесть студентов переставим: 6!

Так как в парах не определен порядок, то нужно учесть перестановки в парах.

n(B)=2!⋅2!⋅6!

P(B)=

Замечание.

Если предметы распределяются по кругу, то число перестановок определяется по формуле:

(n-1)! [Формула циклических перестановок]

Задача 5.

В тесте 10 заданий и 4 варианта ответов (один верный). Студент случайным образом в каждом задании зачеркнул один ответ. Найти вероятности событий:

1). A={все правильные}

2). B={правильные в 1, 3 и 7 заданиях}

3). C={нет правильных}

4). D={хотя бы один правильный}

Решение:.

Опыт: выбор ответа в каждом задании. Элементарный исход – размещение из 4 по 10 с повторениями.

n(Ω)=4¹⁰

1). n(A)=1

P(A)=

2). Из рассмотрения убираем три задания, и имеем уже размещение из 3 по 7 с повторениями (три неправильных).

n(B)=3⁷

P(B)=

3) Имеем размещение с повторением из 3-х неверных ответов по 10 заданиям.

0,0563

4) Заметим, что=C

p(D)=1 –P(C)=1-0,0563=0,94368

Задача 6. Демонстрационная типовая задача на схему урн.

В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих, 2 белых. Случайным образом выбираем 4 шара. Найти вероятности следующих событий:

1. A = {все синие}

2. B = {не менее двух красных}

3. C = {два красных и два белых}

4. D = {хотя бы один синий}

Решение:

Опыт: Выбор 4-х шаров из 10. Элементарные исходы – сочетание из 10 по 4.

Число всех исходов: n(Ω)=

1. n(A) – число сочетаний из 5 по 4

n(A) = =

p(A) = ==

2. Событие B= {не менее двух красных} представляет сумму событий:={ровно два красных} и={ровно три красных}

Число исходов благоприятствующих Bопределяется по формуле:

n(B)=n()+n()

n(B)=+(используется правило произведения)

=

n(B)=3

Р(В)===1/3

3. n(C)=

p(C)=

4. Рассмотрим противоположные события:

={нет синих}

n()=

p()==

Тогда:

p(D)=1-p()=

Задача 7

В финал танцевального конкурса было отобрано 10 человек, при этом:

5 человек из Москвы, 3 человека из Петербурга, 1 человек из Костромы, 1 человек из Ярославля. Для телевизионного шоу случайным образом (выбор компьютера) были выбраны 5 человек. Найти вероятности следующих событий:

1. A = {Кострома и Ярославль попали}

2. = {хотя бы один из Петербурга попал}

Решение:

Опыт: Выбор 5 человек из 10.

Элементарные исходы – сочетания из 10 по 5.

Число всех исходов:

n(Ω)==252

1. n(A) = 1=

p(A)=

2. Рассмотрим противоположное событие:

={нет представителей Петербурга}

n() ==21

p()=

p(B) = 1 -p(⌐B)=1-

Замечание:

nразличных предметов случайным образом распределяются поSзанумерованным ящикам таким образом, чтобыK-й ящик содержал ровнопредметов (=n)

Тогда число всех элементарных исходов данного опыта определяется по формуле:

(*) n(Ω)=

Задача 15