2 Решение типовых задач

Задача 1.

Используя диаграммы Венна, проверить следующие равенства:

1. Если А с В , то : а) А + В = В,

б) А * В = А

2. А \ В = А *

3. А + В = А + В *

4. А + АВ = А

Решение:
1.	Ω	А + В = В	(В теории множеств А U В = В) (А ∩ В = А)
		А * В = А
	А – В
2.	Ω	А – В = А *	(В теории множеств А \ В = А∩ )

В* В А 3. Ω А+В	Заметим, что В * = В – А А + В * = А + ( В – А ) = А + В
А*В 4. А В Ω	Заметим, что А * В ⊂ А => А + АВ = А

Задача 2.

Упростить, используя свойства операций:

1. А ⊂ В, В ⊂ С, С ⊂ D

а) ( А + С ) *В * D

б) ( *) * (+)

в) *

2. * (A * B)

3. B * ( A + ) * ()

4. + A + B + C

Решение:

Условие задачи изображаем с помощью диаграммы Венна.

2.1 A ⊂ B ⊂ C ⊂ D ⊂ Ω

Заметим, что для противоречивых событий цепочка вложений будет следующая:

⊂⊂⊂⊂Ω

а) () *B * D = C * B * D = B

б) (+) * () =*=*=

в) () *==

2.2 * (A + B) = * (A + B) = C *(+) * (А+В)=С * Ø= Ø

2.3 B * (A * ) * () = B * (A *) ** C = (AB +) *= A * B *** C = Ø

2.4 + A + B + C =+ A + B + C = Ω

В задачах 3, 4, 5

1. Построить пространство элементарных исходов

2. Указать состав подмножеств, соответствующих данным событиям

3. Выполнить указанные операции над данными событиями

Задача 3.

Эксперимент состоит в подбрасывании игральной кости. Наблюдаемый результат – число на верхней грани. Записать следующие случайные события: А = {чётное число}; B = {число, кратное «3»}; C = {число очков больше «2», но меньше «6»}.

Найти: а) А + B + C; б) * B + C

Решение:

Обозначим элементарный исход

ω _i = {число на верхней грани равно «i»} i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

1. Ω = {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆} – пространство элементарных исходов

2. А = {ω₂, ω₄, ω₆} – четное число

B = {ω₃, ω₆} – число, кратное «3»

С = {ω₃, ω₄, ω₅}

3. а) A + B + C = {ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆} (Ω - {ω₁})

б) Ā * B + C = {ω₃} + C = C = {ω₃, ω₄, ω₅}

[Ā = {ω₁, ω₃, ω₅}]

Задача 4.

Игральная кость подбрасывается два раза. Наблюдаемый результат – двойка чисел на верхних гранях. A = {выпали одинаковые числа}; B = {в первый раз выпало число, кратное «3», а во второй раз кратное «5»}

Найти: а) A + B; б) Ā * B

Решение:

1. В данной задаче имеем последовательность двух испытаний

(Ω1 – множество элементарных исходов при первом подбрасывании)

(Ω2 – множество элементарных исходов при втором подбрасывании)

Ω1 = {ω₁⁽¹⁾, ω₂⁽¹⁾, ω₃⁽¹⁾, ω₄⁽¹⁾, ω₅⁽¹⁾, ω₆⁽¹⁾}

ω_i⁽¹⁾ = {при первом подбрасывании выпало число «i»} i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ω2 = {ω₁⁽²⁾, ω₂⁽²⁾, ω₃⁽²⁾, ω₄⁽²⁾, ω₅⁽²⁾, ω₆⁽²⁾}

ω_i⁽²⁾ = {при втором подбрасывании выпало число «i»} i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Пространство элементарных исходов определяем, как прямое (декартово) произведение

Ω = Ω1 x Ω2= {(ω_i⁽¹⁾; ω_j⁽²⁾)

Число элементарных исходов данного множества 6² = 36

Ω = { ω₁, ω₂,…, ω₃₆ }

2) А = {(); (); (); (); (); ()}

В = {(); ()}= {ω₇,ω₈}

3) а) А + В = {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆, ω₇, ω₈}

б) Ā * В = В (т.к. В ⊂ Ā)

Задача 5.

Эксперимент заключается в том, что два стрелка делают по одному выстрелу по цели. Наблюдаемый результат – итог по двум выстрелам.

Записать случайные события:

А = {попал только один}

В = {попаданий больше, чем промахов}

С = {не менее одного промаха}

Найти: Ā + В * С

Решение

1. Как и в предыдущей задаче имеем последовательность двух испытаний.

Ω₁ - множество элементарных исходов при первом выстреле

Ω₁ = { ω₁⁽¹⁾; ω₂⁽¹⁾}

ω₁⁽¹⁾ = {попадание при первом выстреле}

ω₂⁽¹⁾ = {промах при первом выстреле}

Ω₂ = { ω₁⁽²⁾; ω₂⁽²⁾}

ω₁⁽²⁾ = {попадание при втором выстреле}

ω₂⁽²⁾ = {промах при втором выстреле}

Пространство элементарных исходов:

Ω = Ω₁ × Ω₂ = {ω₁ = (ω₁⁽¹⁾, ω₂⁽¹⁾); ω₂ = (ω₁⁽¹⁾, ω₂⁽²⁾); ω₃ = (ω₁⁽²⁾, ω₂⁽¹⁾); ω₄ = (ω₁⁽²⁾, ω₂⁽²⁾)}

2) А = {ω₂; ω₃}

В = {ω₁}

С = {ω₂, ω₃, ω₄}

2. Ā + В * С = {ω₁, ω₄} + Ø = {ω₁, ω₄}

Задача 6.

Из ящика, содержащего 5 деталей, из которых 2 бракованных, наудачу последовательно и без возвращения извлекается по одной детали до появления бракованной, после чего опыт прекращается.

Обозначение Aί = {бракованная деталь появится при «ί» испытании}.

а) Сконструировать элементарные исходы данного опыта с помощью алгебраических операций над исходами Aί;

б) записать событие B = {проведено не менее 3х испытаний}.

Решение:

а) ω_ί = {проведено «ί» испытаний}

ω₁ = А₁ - {одно испытание}

ω₂ = Ā₁ А₂ - {два испытания}

ω₃ = Ā₁ Ā₂ А₃ - {три испытания}

ω₄ = Ā₁ Ā₂ Ā₃ А₄= Ā₁ Ā₂ Ā₃ (четыре испытания).

Заметим, что А₄ - достоверное событие, т.к. имеем две бракованные и после 3х годных обязательно будет бракованная.

Ω = {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄}

б) B = {ω₃, ω₄}

B = ω₃ + ω₄ = Ā₁ Ā₂ А₃ + Ā₁ Ā₂ Ā₃ = Ā₁ Ā₂ (А₃ + Ā₃) = Ā₁ * Ā₂

Задача 7.

Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину до первого попадания. Выигрывает тот, кто первый забросит мяч.

Рассмотрим события:

А_к = {первый баскетболист попадёт при своём «к» броске}

В_к = {второй баскетболист попадёт при своём «к» броске}

Первый баскетболист бросает первым. Каждый баскетболист может сделать не более 3х бросков.

Записать события А и В через данные события.

А = {победил первый}

B = {победил второй}

Решение:

А = А₁ + ₁ ₁ А₂ + ₁ ₁₂ ₂ А₃

В = ₁ В₁ + ₁₁ ₂ В₂ + ₁ ₁ ₂ ₂ ₃ В₃

Задача 8.

По каналу связи передаются последовательно три сообщения. Каждое из них может быть передано правильно или искажено. Пусть А_i - событие, которое означает, что i-е сообщение передано правильно (i = 1, 2, 3). Используя операции над событиями А_i записать следующие события:

1) А = {все три сообщения переданы правильно}

2) В = {все три искажены}

3) С = {хотя бы одно сообщения передано правильно}

4) D = {хотя бы одно сообщение искажено}

5) E = {не менее двух сообщений переданы правильно}

6) F = {только третье сообщение передано правильно}

7) G = {не более одного сообщения передано правильно}

Решение:

1) А = А₁ * А₂ * А₃

2) В = Ā₁ * Ā₂ * Ā₃

3) С = А₁ + А₂ + А₃

4) D = Ā₁ + Ā₂ + Ā₃

5) E = А₁ А₂ Ā₃ + Ā₁ А₂ А₃ + А₁ Ā₂ А₃ + А₁ А₂ А₃

6) G = Ā₁ Ā₂ А₃

7) F = Ā₁ Ā₂ Ā₃ + А₁ Ā₂ Ā₃ + Ā₁ Ā₂ А₃ + Ā₁ А₂ Ā₃

Задача 9.

Дана электрическая цепь, состоящая из девяти элементов. Пусть А – событие = {“i” элемент исправлен} [i=]

1. Выразить через событие А_i событие А, состоящее в том, что по цепи идет ток (цепь исправна)

2. Выразить через А_i событие Ā (ток не идет)

Решение:

1) А = А₁ * (А₂ * А₃ + А₄ + А₅ * А₆) * (А₇ + А₈) *А₉

[схему разбили на блоки, которые соединены последовательно]