Решение:

Т К Х и У независимы, то P{(X=x_i)∙ (Y=y_j)}=P{X=x_i}∙ P{Y=y_j}

Т.к. распределение компонент нам известно, то составим таблицу распределения двумерной случайной величины (Х;У):

х у	0	1	2
0	¼	3/16	1/16
1	3/16	9/64	3/64
2	1/16	3/64	1/64

Вычислим значения данных случайных величин в разных точках.

Z=X+Y Z(0;0)=0 (p{Z=0}=0,25);Z(0;1)=1 (p{Z=1}=):Z(0;2)=2 (p{Z=2}=);

Z(1;0)=1 (p{Z=1}=);Z(1;1)=2 (p{Z=);Z(1;2)=3 (p{Z=3}=);

Z(2;0)=2; (p{Z=2}=);Z(2;1)=3; (p{Z=3}=);Z(2;2)=4; (P{Z=4}=)

P{Z=0}=1/4; P{z=1}=3/16+3/16=6/16=3/8;

P{Z=2}=1/16+9/64+1/16=17/64

P{Z=3}=3/64+3/64=6/64=3/32

Таким образом, ряд распределения случайной величины Z=X+Y имеет вид:

Z	0	1	2	3	4
P	¼	3/8	17/64	3/32	1/64

Z=X∙ Y

Z(0;0)=0 (p{Z=0}=0,25);Z(0;1)=0 (p{Z=0}=):Z(0;2)=0 (p{Z=0}=);

Z(1;0)=0 (p{Z=0}=); Z(1;1)=1 (p{Z=); Z(1;2)=2 (p{Z=2}=);

Z(2;0)=0; (p{Z=0}=); Z(2;1)=2; (p{Z=2}=); Z(2;2)=4; (P{Z=4}=)

P{Z=0}=0,25++++=0,75

p{Z=

p{Z=2}=+==

P{Z=4}=

Таким образом, ряд распределения случайной величины Z=X∙Y имеет вид:

Z	0	1	2	4
P	0,75	9/64	3/32	1/64

Вычисление числовых характеристик.

Для выполнения контроля вычислим необходимые числовые характеристики данных случайных величин Х и У.

M[X]===; M[X²]===;D[X]=M[X²]-=

M[Y]=D[Y]=

(В данном примере законы распределения случайных величин Х и У равны и , следовательно, равны и числовые характеристики. Если бы задания величин были различными., то необходимо вычислить числовые характеристики случайной величины У по соответствующим формулам).

Теперь вычислим числовые характеристики с найденных выше случайных величин.

Z=X+Y

M[Z]== =1,25

Cделать контрольную проверку:M[X+Y]=M[X]+M[Y] ==1,25

D[Z]= M[z²]- M[Z²]==→D[Z]=

Cделать контрольную проверку:D[X+Y]=D[X]+D[Y] =(по свойству независимых случайных величин);

Z=X∙Y

M[Z]===

Cделать контрольную проверку:M[X∙Y]=M[X]∙M[Y]==

Вычислим вероятности попадания случайных величин в указанные области.

P{X+Y∈[1;3]}=P{Z=1}+P{Z=2}+P{Z=3} =

P{X∙Y∈(0 ;4)}= P{Z=1}+P{Z=2}==

§3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Детали на производстве сортируются на 4 группы по величине отклонений от номиналов двух существенных параметров.

Отклонения ранжируются. Ранги Х и У отклонений могут принимать лишь значения 0 и 1.Распределение двумерной случайной величины (Х;У) задано таблицей :

Х У	0	1
0	0,94	0,01
1	0,02	0,03

Найти коэффициент корреляции R[ X;Y]=_xy ,называемый ранговым.

Ответ: _xy=0,66

Задача 2

Х и У –индикаторы событий А и В, означающих положительные ответы соответственно на вопросы

• и  социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина (Х;У) имеет следующую таблицу распределения :

Х У	0	1
0	0,3	0,1
1	0,2	0,4

Здесь положительному ответу присвоен ранг 1, отрицательному -0.

Найти коэффициент корреляции R[ X;Y]=_xy

Ответ: _xy=0,408

Задача 3

Х и У независимые случайные величины заданы таблицами:

Х	1	2	3
Р	0,5	0,1	0,4

У	0	2
Р	0,5	0,5

1. Найти таблицу распределения двумерной случайной величины (Х;У).

2. Найти центр распределения М(m_x; m_y).

3. Найти значение функции распределения в точках М₁(1,1);

М₂(2,1); М₃(3;3).

4)Найти вероятности выполнения неравенств:Х+У>2; Х²+У²≤5

5)Найти R[X;Y].

6) Найти регрессии (x) и (y)

7)Описать закон распределения случайной величины Z=X+Y.

Ответ:1)

Х У	0	1
1	0,25	0,25
2	0,05	0,05
3	0,2	0,2

2)М(1,9; 1); 3)F(M₁)=0; F(M₂)=0,25; F(M₃)=0,6; 4)P{X+Y>1}=0,75; P{X²+Y²≤5}=0,55; 5)R[X;Y]=0; 6)(x)=1; (y)=1,9. 7)

Z	1	2	3	4	5
P	0,25	0,05	0,45	0,05	0,2

В задачах 4; 5;6; 7 найти:

1. Найти безусловные законы распределения компонент Х и У.

2. Найти центр распределения M(m_x;;m_y).

3. Проверить условие зависимости Х и У.

4. Найти числовые характеристики: D_x; D_y; _х; _у; K[X;У] (момент корреляции).Полученные результаты записать в виде корреляционной матрицы: К=, заметим, чтоK[X;Y]=K[Y;X].

5. Найти коэффициент корреляции R[X;Y] и определить степень линейной зависимости между Х и У .

6. Найти значение функции распределения F(x;y) в указанных точках:

7. Найти вероятности попадания значения (Х;У) в указанные области:

8. Найти условные законы распределения Х/У, У/Х.

9. Найти регрессии (у) и(х).

Задача 4

х У	-1	0	2
-1	0,3	0.2	0
1	0.1	0,1	0.3

6) М₁(0,5; 0); М₂(0;1); М₃(2;2).

7)Р{X*Y≤1}=?

Ответ:1)

Х	-1	1
Р	0,5	0,5

У	-1	0	2
Р	0,4	0.3	0,3

1. M(0;0,2)

2. Х и У зависимы

3. )К=

4. R[X;Y]≈0,64

5. F(M₁)=0,3; F(M₂)=0,5; F(M₃)=0,7;

6. Р{X*Y≤1}=0,7.

8)

Y/X	-1	0	2
P{Y/X=-1}	0,6	0,4	0
P{Y/X=1}	0,2	0,2	0,6

7. (х).=

Задача 5

Х У	0	2
1	0.25	0,25
2	0,05	0,05
3	0,2	0.2

6)М₁(1;1); М₂(2;1); М₃(3;3);

7)Р{X+Y3}; P{X²+Y²≤4}

Ответ:2)М(1,9;1);3) Х и У независимы;4)К=; 6)F(M₁)=0; F(M₂)=0,25

F(M₃)=0,6; 7) Р{X+Y3}=0,45; P{X²+Y²≤4}=0,3;8)P{Y/X}=P{Y};P{X/Y}=P{X}9)(у).=1,9

Задача 6

Х У	1	2
2	0,3	0.5
3	0,1	0,1

6)М₁(3;2); М₂(4;1); М₃(2,5;1.5); 7)Р{Х+У≤4}

Ответ:2)М(2,2; 1,6);3)Х и У зависимы;4) К=;5)R[X;Y]=-0,1

6)P(M₁)=0,3; P(M₂)=0; P(M₃)=0,3; 7) Р{Х+У≤4}=0,9;9)(у)=

Задача 7

Х У	0	2	3
1	0,1	0,2	0.1
2	0,2	0	0,2
3	0	0.1	0,1

6)М₁(2;2); М₂(3;3);М(1;3);7)Р{Y≤X²}

Ответ: 2)М(1,8;1,8);3)Х и У зависимы;4)К=5)R[X;Y]≈0,17

6)F(M₁)=0,3; F(M₂)=0,5; F(M₃)=0; 7)Р{Y≤X²}=0,7;9)(х).=

Задача 8

Заполнить таблицу распределения двумерной случайной величины (Х;У), если известны значения функции распределения в заданных точках:

F(0;0)=0,2; F(1;2)=0,3; F(3;1)=0,4; F(5;0)=0,7; F(3;2)=0,6.

Найти а) P{X+Y≤2}; b)M[X+2*Y+X*Y]

X Y	-1	1
-1
2
4

Ответ:

х у	-1	1
-1	0.2	0,1
2	0,2	0.1
4	0.3	0.1

а) P{X+Y≤2}=0,5 b) M[X+2*Y+X*Y]=0,2.