Задача 2

1)Заполнить таблицу распределения двумерной случайной величины (Х;У), используя значения функции распределения в соответствующих точках.

2)Найти корреляционную матрицу.

3)Найти вероятности попадания значений случайной величины (Х;У) в указанные области.

Демонстрационная задача №2

Дано: F(-1;-1/2)=0,2; F(-1;2)=0,25; F(0,5;2)=0,85; F(2;0)=0,35.

1. Заполнить таблицу:

Х У	-1	1
-2	Р11	Р12
0	Р21	Р22
1	Р31	Р32

2.Найти : Корреляционную матрицу

3.Найти:

а)P{X-Y ≤1}; b)P{X²+Y²≤4}

Решение

1. Изобразим на координатной плоскости значения случайной величины

у

2

P₂₂

p₁₂

P₃₂

1

.

-2

-1

1

х

0

P₂₁

P₃₁

-1

P₁₁

F(-1;-1/2)=P{X-1,Y/1/2)=p₁₁=0,2

F(-1;2)=P{X-1,Y2}=p₁₁+p₁₂=0,25p₁₂=0,05

F(0,5; 0)=P{X0,5;Y0}=p₁₁+p₂₁=0,3p₂₁=0,1

F(0,5; 2)=P{X0,5;Y2} =p₁₁+p₁₂+p₂₁+p₂₂=0,2+0,05+0,1+p₂₂=0,85p₂₂=0,5

F(2;0)=P{X2; Y0}= p₁₁+p₂₁+p₃₁=0,35p₃₁=0,05

p₃₂=1-(p₁₁+p₁₂+p₂₁+p₂₂+p₃₁)=0,1p₃₂=0,1

X Y	-1	1	P{X=xi}
-2	0,2	0,05	P{X=-2}=0,25
0	0,1	0,5	P{X=0}=0,6
1	0,05	0,1	P{X=1}=0,15
P{Y=yj}	P{Y=-1}=0,35	P{Y=1}=0,65	1

2. : К=

M[X]=-2∙ 0,25+0+0,15=-0,35; M[X²]=4∙ 0,25+0+0,15=1,15 D[X]=1,0275 _x1,01

M[Y]=-0,35+0,65=0,31 M[Y²]=0,35+0,65=1D[Y]=0,91_y0,95

K[X;Y]=M[X*Y}-M[X]*M[Y]=0,455

K=

Дополнительно вычислим коэффициент корреляции:

R[X,Y]==0,455

3.Для нахождения данных вероятностей попадания в соответствующие области можно изобразить эти области в плоскости (х0у) и сложить вероятности точек, попавших в эти области или непосредственным перебором всех вариантов.

у

2

X-Y≤1

1

-1

1

2

-2

-1

х

-1

Х²+у²≤4

а) P{X-Y≤1}=0,2+0,5+0,1+0,1=0,9 b) P{X²+Y²≤4}=1-(0,2+0,05)=0,75

Задача 3

Х и У независимые случайные величины. распределены по одному и тому же закону., определяемому таблицей: (законы могут быть разными, но обязательно при составлении двумерной таблицы проверяйте корректность, т.е. сумма всех вероятностей равна 1)

X	X1	X2	X3
P	P1	P2	P3

y	y1	y2	y3
P	P1	P2	P3

Число столбцов может быть другим.

1)Описать закон распределения случайных величин: Z=X+Y; Z=X∙Y;

2)Найти M[X+Y];D[X+Y] M[X∙Y] (сделать контрольную проверку:M[X+Y]=M[X]+M[Y];

D[X+Y]=D[X]+D[Y] (по свойству независимых случайных величин); M[X∙Y}=M[X]∙M[Y] (по свойству независимых случайных величин).

3)P{X+Y∈[a;b]}; 4) P{X∙Y∈[𝜶 ;𝜷]};

Демонстрационная задача №3

Дано:

Х	0	1	2
Р	½	3/8	1/8
у	0	1	2
Р	½	3/8	1/8

1)Описать закон распределения случайных величин: Z=X+Y; Z=X∙Y;

2)Найти M[X+Y];D[X+Y] M[X∙Y] (сделать контрольную проверку:M[X+Y]=M[X]+M[Y];

D[X+Y]=D[X]+D[Y] (по свойству независимых случайных величин); M[X∙Y}=M[X]∙M[Y] (по свойству независимых случайных величин).

3)P{X+Y∈[1;3]}; 4) P{X∙Y∈(0 ;4)};