§3 Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1.

Дана электрическая цепь. Обозначим:

A_i={“i” элемент исправен} i=1, 2, 3, 4

р(А₁)=р(А₄)=0,7; р(А₂)=0,6; р(А₃)=0,8

1

2

*

3

4

Цепь включали 5 раз.

Найти вероятности событий:

1. B={хотя бы два раза был отказ}.

2. C={цепь работала ровно 3 раза}.

3. Найти наивероятнейшее число k_о работы цепи.

4. Сколько раз включить цепь, чтобы она работала хотя бы один раз с вероятностью не менее 0,9?

[ответ: 1)0,96; 2)0,3087; 3)k_о=4; 4)n≥2]

Задача 2.

Игральный кубик бросается 10 раз. Найти вероятности событий:

1. B={«6» выпало 7 раз}

2. C={нечетное число выпало не менее 2-х раз}

3. D={число кратное «3» выпало хотя бы 1 раз}

[ответ: 1)≈0,0003; 2)≈0,989; 3)1-(2/3)¹⁰≈0,9826.]

Задача 3.

Вероятность приема радиосигнала равна 0,9. Радиосигнал подавали 5 раз. Найти вероятности событий:

1. B={ровно два раза сигнал был принят}

2. C={не менее четырех раз принят сигнал}

3. D={хотя бы один раз принят сигнал}

4. Сколько раз нужно передавать сигнал, чтобы он был принят с вероятностью не менее 0,99?

[ответ: 1); 2)0,91854; 3)0,999; 4)n≥2].

Задача 4

Вероятность отказа при испытании каждого прибора равна 0.4.

Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при четырёх испытаниях

или отказ трёх приборов при шести испытаниях?

Задача 5

Две монеты бросили 5 раз. Найти вероятности событий:

1. В={два герба выпали ровно два раза}

2. С={орёл и решка выпали вместе хотя бы один раз}

Ответ:1)Р(В)=С₅²*0,25²*0.75³0,26; 2) Р(С)=1-(0.5)⁵=0,96875

Задача 6

Вероятность появления события А в четырёх независимых испытаниях хотя бы

один раз равна 0.9744.

Какова вероятность появления этого события при одном испытании, если в каждом

из них она одинакова?

Ответ: 0,6.

Задача 7

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,3.

Сколько надо произвести выстрелов, чтобы вероятность хотя бы одного попадания

была больше 0,9?

Ответ: n>7

Задача 8

Производится серия из 7 испытаний. Известно, что наивероятнейшее число

появления события А К₁ =3 или К₂=4.Найти Р(А).

Ответ: р(А)=0,5; Примечание:

Задача 9

Проводится серия из «n» испытаний Бернулли.

Р(А)=р=0,7; наивероятнейшее число К₀ =5.Найти «n»

Ответ: n=7 Примечание:

Задача 10

Вероятность поймать «зайца» в электричке равна 0,2.

Каково наивероятнейшее число для контролёра поймать «зайца» за 100 поездок?

Задача11

Вероятность достать билет на матч по футболу с любимой командой для каждого

болельщика составляет 0,4.

Сколько билетов нужно выпустить в продажу, чтобы хотя бы один из болельщиков

смог приобрести билет с вероятностью не менее 0,9.

Для найденного «n» найдите вероятность того, что не менее двух болельщиков

приобретут билеты на футбол.

Ответ: n=5 (n5) Р₅(2)+Р₅(3)+Р₅(4)+Р₅(5)=1-Р₅(0)-Р₅(1)=0,6634

Глава 7. Одномерная случайная величина дискретного типа

.

1 Основные понятия

Пусть множество элементарных исходов дискретное, т.е. число элементов конечное или счётное : Ω= {ῳ₁,ῳ_2, ..., ῳ_n, …}

Если каждому элементарному исходу ставится в соответствие число, т.е. имеем числовую функцию на множестве Ω,то говорят, что задана случайная величина.

Эту функцию будем обозначать X.

Значение функции X(ῳ )= x-число.

Множество значений дискретной случайной величины X- будет конечным или счётным.

Закон распределения дискретной случайной величины X- это ряд распределения

X	x1	X2	X3	…	Xn
P	P1	P2	P3	…	pn

x_1x_2… x_n …

p_i =p{ X =x_i } (p_i – вероятность случайного события: « Случайная величина X принимает

Заметим, что = 1

Замечание

Полигон распределения- это ломаная с вершинами (х_i; p_i ).

P_i

Полигон распределения

x

X₁

_X2

X_i

X_n

Дискретную случайную величину можно задать с помощью функции распределения.

• Определение Функцией распределения случайной величины Х называется числовая функция , которую обозначают F( х ), равную вероятности события { X x ),т.е.

• F ( х )=P { X  x }.

(Функция распределения вычисляет вероятность попадания слева от точки х.)

Для дискретной случайной величины функция распределения задаётся следующей формулой:

F( х ) = =

F(x)

1

x

x₁

x_i

x_n

Свойства функции распределения

1. Область определения: D( F )=(-∞; +∞ ).

2. Множество значений : E(F )= [ 0, 1].

3. Монотонность : F( х )- неубывающая функции ,т.е.

если х ₁х₂ ,то F ( х₁₎ ≤F( х₂)

4. Непрерывность : В точка х_i – функция имеет разрыв справа  рода, при этом F (х_{i +}0) –F ( x_i- 0) =p_i ( предел справа минус предел слева равен p_i= P{ X =x_i})

Числовые характеристики

( формулы для вычисления числовых характеристик дискретной случайной величины )

1Математическое ожидание определяет средне статистическое значение случайной величины или центр распределения вычисляют по формуле: m_x=M[ X ] = ∑ х_i*p_i ( В случае бесконечного числа значений случайной величины числовой ряд должен сходится ).

1. Дисперсия случайной величины ( определяет меру рассеяния относительно центра распределения ) вычисляется по формуле:

D [Х] =M[ ( X – m_x)²] D[ X ]=∑ ( х_i – m_x )²*p_i

3 Среднее квадратичное отклонениеaa

• _х =[ x] =

4Начальные моменты «к» го порядка

_к =М[ X ^k ]=∑х_i^k _*p_i ₁= M[X ].

5 Центральные моменты «к» го порядка

_к =M[(Х –m_x)^k] ,₁=0, ₂= D[x]

• 

1. M[C] =С, ( С- константа)

2. М[  X+ C] =M[X] + C

3. M[X +Y+C] =M[x] +M[Y] +C, (Х., Y-случайные величины; , - числа; С – константа)

4. Если X и Y независимые случайные величины, т е.для любых х,y верно: P{(Xx)(Yy)}=P{Xx}P{Yy}. то M[XY]=M[X]*M[Y]

5. Если Y=(X) (Y функция случайной величины X),то M[Y]=∑(х_i)*P_i

Замечание Используя свойства математического ожидания, можно получить формулу для вычисления D[X]=M[(X- m_x)²]=

=M[X²- 2*m_x*X +(m_x)²]=M[X²]-2*m_x*M[X] + (m_x)² =M[X²]-(m_x)²

D[X] =M[X²] –( mx)² Заметим: ∑ х_i²p_i= M[X²]

Свойства дисперсии средне квадратичного отклонения

D[C]=0	[C]=0
D[kX+c]=k2D[X]	[kX+c]=к[X]
Если XиYнезависимые случайные величины, То:D[k1X+ k2Y+ C ]=k12D[X] +k22D[Y]	Если XиYнезависимые случайные величины, То: [k1X +k2Y +C] = k1[X]+k2[Y]