Глава 5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

§1. Основные понятия

Пусть H₁, H₂,…,H_n – наблюдаемые события для данного эксперимента, при чем они попарно несовместны (H_i*H_j=ᴓ) и образуют полную группу событий (H₁+H₂+…+H_n= Ω).

Для любого наблюдаемого в эксперименте события A имеет место следующая формула полной вероятности: 

События H₁, H₂,…, H_n принято называть гипотезами. Безусловные вероятности P(H_i), где i =1,.. ,n трактуются как доопытные (априорные) вероятности гипотез.

Замечание: Формулу полной вероятности используют в условиях неопределенности, т.е. когда неизвестно, какая из гипотез H_i реализовалась.

Если событие A реализовалось, то послеопытные (апостериорные) вероятности гипотез определяются по формулам Байеса: P() = , i= ; = 1  

Формулы Байеса позволяют «переоценить» вероятность каждой из гипотез после поступления «живой» информации относительно осуществления тех или иных наблюдаемых событий.

§2. Решение типовых задач. Задача 1

Издательство  разослало рекламные материалы  на новый учебник по бухгалтерскому учету, которые получили 80% профессоров, читающих этот курс в различных ВУЗах. Отобрали и приняли эту книгу  для преподавания 30% профессоров, получивших рекламные материалы и 10% не получивших. Найти вероятности следующих  событий:

1. Случайно выбранный профессор ВУЗа принял этот учебник для преподавания.

2. Профессор, принявший учебник для преподавания, получил рекламные проспекты.

 

Решение:

A={случайный профессор одобрил и принял учебник к преподаванию}

H1={профессор получил рекламные материалы}	0,8	0,3	0,8×0,3 = 0,24
Гипотезы  Hi	P(Hi )		P(Hi )×)
H2={профессор не получил рекламные материалы}	0,2	0,1	0,2×0,1 = 0,02
∑	1	-	P(A) = 0,26

    P(A)=P(H₁)×P()+P(H₂)×P()=0,24+0,02=0,26    P() = = = 0,9231    

Задача 2

Для участия  в студенческих отборочных спортивных соревнованиях из первой группы выделено 4 студента, из второй – 6, из третьей - 5 студентов. Вероятности попадания  для студентов каждой группы в  сборную университета соответственно равны 0,5; 0,4 и 0,3.

1. Какова вероятность того, что случайно выбранный участник соревнований попал в сборную?

2. Случайно выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из этих групп он вероятнее всего принадлежи

Решение:

A={случайно выбранный участник соревнований попал в сборную}

1)

Гипотезы  Hi	P(Hi )		P(Hi )×
H1={студент первой группы}		0,5	× 0,5=
H2={студент второй группы}		0,4	×0,4=
H3={студент третьей группы}		0,3	× 0,3=
∑	1	-	P(A)=

       P(A)=P(H₁)×P()+P(H₂)×P() + P(H₃) × P() = =0,393    2)  P() = = =

P() = = =

P() = = =

Ответ: вероятнее всего участник будет из второй группы.   

Задача 3

Из ящика, содержащего 9 пар обуви, из которых 2 пары мужской, 2 пары женской и 5 пар детской (обувь  в одинаковых коробках), перекладывается 1 пара обуви в другой ящик, содержащий 1 пару мужской, 4 пары женской и 2 пары детской  обуви. Из второго ящика  случайным образом берут одну пару обуви.

1. Какова вероятность, что это детская обувь?

2 Какова вероятность, что из первого ящика во второй переложили пару детской обуви?

 

Решение:

A={случайно выбранная обувь из второго ящика - детская}

1)

Гипотезы  Hi	P(Hi )		P(Hi )×
H1={из первого ящика во второй переложили мужскую обувь}			× =
H2={ из первого ящика во второй переложили женскую обувь }			× =
H3={ из первого ящика во второй переложили детскую обувь }			× =
∑	1	-	P(A)=

      P(A)=P(H₁)×P()+P(H₂)×P() + P(H₃) × P() =2)P() = ==