Анисимова Н.П., Ванина Е.А.

Содержание
Глава 1	Алгебра случайных событий	3—18
Глава 2	Классическое вероятностное пространство	19—37
Глава 3	Относительная частота	3840
Глава 4	Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.	4151
Глава 5	Формула полной вероятности. Формулы Байеса.	5268
Глава 6	Последовательность независимых испытаний по схеме Бернулли.	6981
Глава 7	Одномерная случайная величина дискретного типа.	82111
Глава 8	Одномерная случайная величина непрерывного типа.	112-140
Глава 9	Функции от случайных величин.	141-153
Глава 10	Дискретная двумерная случайная величина	154-171
Глава 11	Двумерная случайная величина непрерывного типа.	172-184
Глава 12	Закон больших чисел.	185-193
Глава 13	Нормальное распределение Гаусса.	194-209
Приложения		210-211

Глава 1. Алгебра случайных событий

§1. Основные определения и понятия

Теория вероятностей – это наука, изучающая математические модели случайных явлений, т.е. модели экспериментов, которые можно повторять, со случайными исходами.

Математическая формализация модели начинается с построения множества элементарных исходов Ω, т.е. такое множество, которое состоит из взаимоисключающих исходов.

Результатом эксперимента всегда будет один и только один исход. Любое подмножество данного множества Ω будем называть случайным исходом.

Для наглядной иллюстрации данных множеств используют диаграммы Венна.

Ω = {ω} – множество элементарных исходов.

А ⊂ Ω [А - случайное событие]

Событие А происходит тогда и только тогда, когда результат эксперимента ω ⋲ А

[Множество Ω называется также достоверным событием (всегда реализуемым)]

[Пустое множество Ø называют невозможным событием (в данном опыте никогда не происходит.)]

Множество Ω может быть дискретным Ω = { ω_i } (все элементы можно пересчитать) или непрерывным (например интервал на числовой прямой)

Построение множества Ω (если оно не задано при описании эксперимента) осуществляется на практике, исходя из требования, чтобы все интересующие нас результаты данного эксперимента могли быть однозначно описаны на основе построенного множества Ω.

Замечание: Пусть Ω _1, ,…, Ωn – множества элементарных исходов данного эксперимента [в частности может быть, что == … = Ωn ].

Если проводится последовательность экспериментов, то совместный результат:

Ω = Ω1 х Ω2 х…х Ωn (прямое произведение )

Ω ={( ω1, ω2, …, ωn) │ ω1 ⋲ Ω1, ω2 ⋲ Ω2,… ωn ⋲ Ωn}

Алгебраические операции над событиями

Поскольку события отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполняемые над множествами.

событие А влечёт за собой В

А = В < = > , А тождественно В

А + В – сумма событий [произошло хотя бы одно из данных]

А * В – произведение событий [совместное осуществление событий]

А и В несовместные события, если вместе не реализуются,

т.е. А* В = Ø

А–В – разность событий [А происходит, а В не происходит]

Ā = Ω - А – противоположное событие

[Ā проиходит тогда и только тогда,когда А не происходит]

Свойства операций:

№	СЛОЖЕНИЕ	УМНОЖЕНИЕ	НАЗВАНИЕ
1	А + В = В + А	А * В = В * А	коммутативность
2	(А + В)+С = А+(В + С)	(А * В) * С = А * (В * С)	ассоциативность
3	А + А = А	А * А = А
4	А + = +А = А	А * Ø = Ø * А = Ø	Свойства
5	А + Ω = Ω + А = Ω	А * = Ω * А = А	Свойства Ω

6. Дистрибутивные законы

(1) А * (В+С)=АВ+АС

(2) А + (В*С)=(А+В) * (А+С)