Matanaliz

3ЛЕКЦIЯ: Потужнiсть множини

Зчисленнi множини та їх властивостi. Зчисленнiсть множин цiлих, рацiональних, алгебраїчних чисел. Множини потужностi континууму та їх властивостi. Континуальнiсть множин дiйсних та комплексних чисел. iснування множин як завгодно великої потужностi.

Лiтература. [1], ч. 3, с. 5–24; [5], с. 13–32; Томусяк А.А., Ковтонюк М.М. Практикум з математичного аналiзу (Порiвняння множин). Вiнниця, 1998, с. 104–163.

Аналiз функцiй вимагає порiвняння множин у класичному розумiннi „У якiй множинi елементiв бiльше? “ Якщо множини скiнченнi, то цiлком природно полiчити елементи першої i другої i ту, у якої елементiв бiльше, вважати бiльш чисельною. Якщо ж число елементiв однакове, то множини слiд вважати рiвночисельними. Однак такий спосiб порiвняння множин у випадку великого числа елементiв викликає значнi труднощi, а для нескiнченних множин вiн просто непридатний. Суть проблеми: чи поняття нескiнченної множини є просто антиподом поняття скiнченної множини i не допускає розчленування, чи для нескiнченних множин можливе „градуювання“, подiбне „градуюванню“ скiнченних множин за числом елементiв.

Поставлена проблема була успiшно розв’язана однiєю iз зiрок першої величини на небосхилi математики, нiмецьким математиком Георгом Кантором (1845–1918), який за допомогою поняття взаємно-однозначної вiдповiдностi ввiв поняття рiвнопотужних (еквiвалентних) множин i на його основi рiзнi ступенi математичної нескiнченностi (кардинальнi числа).

Означення 3.1. Двi множини X i Y називають еквiвалентними (рiвнопотужними), якщо iснує взаємно-однозначна вiдповiднiсть f з областю визначення X i множиною значень Y , тобто якщо можна побудувати (довести iснування)

31

функцiю f : X → Y таку, що

1)( x X)( y Y )((x, y) f),

2)( x1, x2 X)(x1 6= x2 (x1, y1), (x2, y2) f = y1 6= y2),

3)( y Y )( x X)((x, y) f) i позначають X Y .

Перша задача, яку будемо розв’язувати буде задача розпiзнання еквiвалентних множин. Будемо поступати так. Обираємо одну певну (нескiнченну) множину i означаємо клас множин еквiвалентних їй. Природно розпочати з множини натуральних чисел.

Означення 3.2. Множина X називається зчисленною, якщо вона еквiвалентна множинi натуральних чисел.

Встановити взаємно-однозначну вiдповiднiсть мiж множиною X i множиною N означає: кожному елементу множини X вiднести натуральне число, iнакше занумерувати елементи множини X. Таким чином, елементи зчисленної множини X можна подати у виглядi послiдовностi (xn), члени якої попарно рiзнi.

Теорема 3.1. Будь-яка нескiнченна пiдмножина зчисленної множини зчисленна.

Доведення. Нехай X — зчисленна множина, причому елементи її занумерованi, тобто X = {x1, x2, . . . , xn, . . .}. Нехай X0 — нескiнченна пiдмножина множини X. Будемо „сканувати“ множину X, розпiзнаючи у послiдовностi елементiв x1, x2, . . . , xn, . . . тi, якi належать множинi X0. Нехай першим елементом з X0 у послiдовностi елементiв x1, x2, . . . , xn, . . . буде елемент xn1 , другим — xn2 , . . ., k-им — xnk , . . .. Зiставляючи кожному елементу пiдмножини X0 номер зустрiчi з ним при

32

скануваннi послiдовностi x1, x2, . . . , xn, . . ., отримуємо нумерацiю елементiв пiдмножини X0. А це означає, що X0 — зчисленна множина.

Як наслiдок з теореми 3.1 маємо, наприклад, що множини парних чисел, чисел кратних 5, простих чисел є зчисленними.

Неважко переконатись, що об’єднання скiнченної i зчисленної множини, об’єднання скiнченного числа зчисленних множин, бiльше того об’єднання зчисленної множини зчисленних множин є множина зчислена.

Тепер уже легко переконатись, що множина цiлих чисел Z є зчисленною. Справдi, в очевидний спосiб встановлюється взаємно-однозначна вiдповiднiсть мiж множиною натуральних чисел N = {1, 2, 3, . . .} i множиною цiлих вiд’ємних чисел {−1, −2, −3, . . .}. Таким чином, множина Z є зчисленою як об’- єднання двох зчисленних множин i одноелементної множини

{0}.

Покажемо, що множина всiх можливих пар натуральних чисел є зчисленною. Справдi, занумеруємо пари натуральних чисел у такий спосiб. Елементу (p, q) N × N припишемо номер

n = (p + q − 2)(p + q − 1) + p 2

Наприклад, парi (1, 1) буде приписано номер 1, парi (1, 2) —

номер 2, парi (2, 1) — номер 3 i т.д. Нехай Nk = {(p, q) | p + q =

∞

S

k}. Тодi N × N = Nk, причому Ni ∩ Nj = , якщо i 6= j.

k=2

33

Звiдси випливає, що рiзнi пари отримають рiзнi номери, i всi натуральнi числа будуть використаннi при нумерацiї. Таким чином, елементи множини N × N занумерованi, i тому вона є зчисленною.

Оскiльки кожне додатне рацiональне число подається у виглядi дробу pq , де p, q N i (p, q) = 1, то множина Q+

всiх додатних рацiональних чисел еквiвалентна множинi Q= {(p, q) | p, q N (p, q) = 1}. А остання множина як нескiнченна пiдмножина зчисленної множини є множина зчисленна. Тодi множина Q− всiх вiд’ємних рацiональних чисел є теж зчисленною. А, отже, буде зчисленною множина Q = Q+ Q− {0}.

Хоча яким багатим є запас зчисленних множин, проте виявляється, що iснують незчисленнi множини, причому i серед них є нееквiвалентнi.

Теорема 3.2. Множина всiх дiйсних чисел з вiдрiзка [0, 1] незчисленна.

Доведення. Оскiльки множини [0, 1] i [0, 1) еквiвалентнi, то теорема буде доведена, якщо буде доведено незчисленнiсть промiжка [0, 1). Припустимо, що множина [0, 1) зчисленна. Тодi всi числа з промiжку [0, 1) можна занумерувати i розташувати у послiдовнiсть

Зрозумiло, що послiдовнiсть (3.1) вичерпує всi числа з [0, 1). Подамо кожне число з послiдовностi (3.1) у виглядi нескiнченного десяткового дробу, причому, щоб уникнути двозначностi у поданнi десяткових дробiв (0, 5 = 0, 500 . . . , 0, 5 = 0, 499 . . .), будемо вважати, що жоден з цих дробiв не має дев’ятку перiодом, i послiдовнiсть (3.1) перепишемо у виглядi

α1 = 0, a11a12a13 . . . a1n . . . ,

34

α2 = 0, a21a22a23 . . . a2n . . . ,

α3 = 0, a31a32a33 . . . a3n . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

αn = 0, an1an2an3 . . . ann . . . ,

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Зцифр, якi стоять на головнiй дiагоналi сформуємо нескiнченний десятковий дрiб 0, a11a22a33 . . . ann . . . i по ньому побудуємо

дiйсне число β = 0, b1b2b3 . . . bn . . ., де для n = 1, 2, . . .

Очевидно, що число β [0, 1), а, отже, воно є у послiдовностi (3.1), тобто iснує такий номер n0, що an0 = β. З другого боку, число β, в силу своєї структури, не дорiвнює жодному з чисел послiдовностi (3.1). Одержане протирiччя свiдчить про те, що елементи множини [0, 1) не можна занумерувати, а, отже, вона незчисленна.

Наступним еталоном пiсля множини натуральних чисел вiзьмемо вiдрiзок [0, 1].

Означення 3.3. Множину X називають континуальною (множиною потужностi континууму), якщо вона еквiвалентна множинi всiх дiйсних чисел з вiдрiзка [0, 1].

Оскiльки множини

[a, b], [a, b), (a, b], (−∞, a], [a, +∞), (a, +∞), (−∞, +∞)

еквiвалентнi, то всi вони континуальнi.

Можна довести, що множина всiх пiдмножин множини натуральних чисел є континуальною.

35

Теоретико-множиннi операцiї об’єднання, перетин, рiзниця, прямий добуток над континуальними множинами дають або континуальну, або зчислену, або скiнчену множину.

Наприклад, якщо множина X континуальна, а множина Y скiнченна або зчисленна, то множини X Y , X \Y континуальнi. Отже, якщо з множини дiйсних чисел вилучити скiнченну або зчислену пiдмножину, то залишиться континуальна множина. Як наслiдок, дiстаємо, що множина всiх iррацiональних чисел, множина всiх трансцендентних (неалгебраїчних) чисел є континуальнi множини.

Об’єднання не тiльки скiнченної але й зчисленної множини континуальних множин є множина континуальна. Прямий добуток скiнченного числа континуальних множин є множина континуальна. Як наслiдок, не тiльки множина R але й R2, R3 i взагалi Rn є континуальнi множини. Бiльше того прямий добуток зчисленної множини континуальних множин є множина континуальна. Як наслiдок, множина всiх послiдовностей дiйсних чисел (комплексних чисел) є континуальною.

Як приклад, доведемо, що множина всiх функцiй, визначених i неперервних на вiдрiзку [a, b], є континуальною.

Справдi, нехай C[a, b] — множина всiх неперервних на вiдрiзку [a, b] функцiй. Множина всiх рацiональних чисел з вiдрiзка [a, b] як нескiнченна пiдмножина зчисленної множини Q є зчисленна множина. Отже, рацiональнi числа з вiдрiзка [a, b] можна занумерувати, тобто записати у виглядi послiдовностi r1, r2, . . . , rn, . . .. Оскiльки кожна функцiя f C[a, b] є неперервною на вiдрiзку [a, b], то x0 [a, b] limx→x0 f(x) = f(x0), limx→a+0 f(x) = f(a), limx→b−0 f(x) = f(b).

З другого боку, x [a, b] iснує пiдпослiдовнiсть (rnk ) послiдовностi (rn) така, що limk→∞ rnk = x, а, отже, (в силу неперервностi) limk→∞ f(rnk ) = f(x). Таким чином, кожна неперервна на вiдрiзку [a, b] функцiя f повнiстю визначається своїми значеннями у рацiональних точках, тобто послiдовнiстю дiйсних

36

чисел

f(r1), f(r2), . . . , f(rn), . . . . (3.2)

Побудуємо вiдображення

ϕ: C[a, b] → RN

утакий спосiб: функцiї f C[a, b] вiднесемо послiдовнiсть дiй-

сних чисел (3.2). Якщо f1, f2 C[a, b] i f1 6= f2, то iснує рацiональне число rn0 [a, b], для якого f1(rn0 ) 6= f2(rn0 ) (якби при всiх n f1(rn) = f2(rn), то f1 = f2), а, отже, рiзним елементам з C[a, b] вiдповiдають рiзнi елементи з RN. Звiдси випливає, що у множинi R є пiдмножина еквiвалентна множинi C[a, b]. З другого, множина всiх сталих на вiдрiзку [a, b] функцiй є пiдмножиною множини C[a, b], причому вона еквiвалентна множинi R, яка у свою чергу, еквiвалентна множинi RN. Скориставшись критерiєм Кантора-Бернштейна, маємо, що множини C[a, b] i RN еквiвалентнi. А це означає, що C[a, b] є континуальною множиною.

Можна довести, що множина всiх функцiй, визначених на вiдрiзку C[a, b] є незчисленною, але не є множиною потужностi континууму.

Таким чином, маємо, що серед тих нескiнченних множин, з якими ми мали справу при вивченнi математичного аналiзу не всi еквiвалентнi. Бiльш того має мiсце такий факт.

Теорема 3.3. Будь-яка множина X нееквiвалентна множинi 2N (множинi всiх можливих пiдмножин множини X).

Доведення. Якщо X — скiнченна множина з числом елементив n, то число елементiв множини 2N дорiвнює 2n. Очевидно, що n N n 6= 2n. А скiнченнi множини з рiзним числом елементiв еквiвалентними бути не можуть. Припустимо, що iснує нескiнченна множина X така, що X 2X . Нехай вiдображення

37

f : X → 2X є взаємно-однозначною вiдповiднiстю мiж множинами X i 2X . Якщо елементу x вiднесено згiдно f пiдмножину A (A 2X ), то для x маємо тiльки двi можливостi: або x f(x), або x 6f(x). Домовимось тi елементи множини X, якi є елементами свого образу (f(x) = A, x A), називати елементами першого роду (наприклад, той елемент x , для якого f(x ) = X), а елементи множини X, якi не є елементами свого образу (f(x) = A, x 6A), називати елементами другого роду (наприклад, той елемент x , для якого f(x ) = ). Зрозумiло, що кожен елемент множини X є або елементом першого, або елементом другого роду („або“ виключаюче). Характеристична властивiсть “x — елемент другого роду"з множини X видiляє пiдмножину A0, i оскiльки E(f) = 2X , то iснує елемент x0 X такий, що f(x0) = A0. Вияснимо, якого роду буде елемент x0. Якщо припустити, що x0 — елемент першого роду, то згiдно означення x0 A0, що суперечить тому, що елементами множини A0 є елементи другого роду. Звiдси випливає, що x0 не є елементом першого роду, а, отже, вiн є елементом другого роду. Однак пiдмножинi A0 належать всi елементи другого роду, тобто x0 A0 i x0 не є елементом другого роду. Таким чином, з одного боку кожен елемент множини X або першого, або другого роду, з другого боку, знайшовся елемент у множинi X, який не є нi елементом першого, нi елементом другого роду. Одержане протирiччя свiдчить про те, що iснує множина X така, що X 2X , невiрне, тобто будь-яка множина X нееквiвалентна множинi 2X .

Як пiдсумок, можна стверджувати, що вiдношення еквiвалентностi визначає класи еквiвалентних множин, кожному з яких приписується характеристика, яку називають потужнiстю або кардинальним числом (для скiнченних множин ця характеристика ототожнюється з числом елементiв множини). Очевидно, що множина рiзних кардинальних чисел скiнченних множин є множина нескiнченна. Нескiнченною є i множина кар-

38

динальних чисел нескiнченних множин, причому у цiй множинi можна ввести порядок, операцiї додавання, множення i пiднесення до степеня. Звичайно арифметика таких чисел значно вiдрiзняється вiд арифметики кардинальних чисел скiнченних множин (арифметики натуральних чисел).

На заключення декiлька фактiв, якi є яскравою iллюстрацiєю того, до яких оригiнальних висновкiв можна прийти, аналiзуючи логiчнi можливостi у розвитку теорiї множин. На II Мiжнародному конгресi математикiв (Париж, 6–12 серпня 1900 р.) Давид Гiльберт поставив ряд проблем, що стосувались рiзних роздiлiв математики i потребували розв’язання. На першому мiсцi така: довести, що потужнiсть континууму є найближчою до потужностi зчисленної множини. Пiзнiше ця проблема була сформульована бiльш загально. А саме, довести, що коли m

— нескiнченне кардинальне число, то не iснує кардинального числа n такого, що m < n < 2m.

Тiльки через 40 рокiв Курту Геделю вдалося зробити перший прорив у розв’язаннi цiєї проблеми. А саме, ним було встановлено неможливiсть довести у рамках аксiоматичної теорiї множин Цермело-Френкеля (у припущеннi, що вона несуперечлива) той факт, що узагальнена континуум-гiпотеза невiрна. i, нарештi, у 1963 роцi Пол Коен встановив неможливiсть довести в рамках тiєї ж аксiоматичної теорiї Цермело-Френкеля, що узагальнена континуум гiпотеза вiрна. Отже, Гедель довiв, що контунуумгiпотезу неможливо спростувати, а Коен — що її неможливо довести.

У зв’язку з цим склалася думка, що пiсля вiдкриття Коена теорiя множин опинилась у становищi геометрiї пiсля вiдкриття Лобачевського незалежностi п’ятого постулата Евклiда. А у 1965 роцi Анжей Мостовський висловив припущення, що може бути декiлька теорiй множин. Зокрема та, елементи якої використовувались при вивченнi рiзних роздiлiв математики, це канторова теорiя множин, у якiй узагальнена континуум-гiпотеза

39

приймається.

Завдання для самоконтролю.

1.У який спосiб можна використати можливiсть встановити взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж скiнченними множинами? Скориставшись правилом опосередкованого пiдрахунку числа елементiв скiнченної множини, знайдiть число дiльникiв натурального числа.

2.Встановiть, що для запису всiх натуральних чисел вiд 1

до 10n потрiбно n · 10n−1 цифр 1, 2, . . . , 9 (кожної зокрема)

i n · 10n−1 − 19(10n − 1) цифр 0.

3.Доведiть, що об’єднання зчисленної множини скiнченних множин є множина зчисленна або скiнченна. Скориставшись цим фактом доведiть, що множина алгебраїчних чисел (комплексне число α називається алгебраїчним, якщо iснує многочлен з цiлими коефiцiєнтами степеня n > 1, для якого α є коренем) є зчисленою.

4.Як будується взаємно-однозначна вiдповiднiсть мiж нескiнченними множинами, якi вiдрiзняються скiнченною або зчисленною множиною точок? Доведiть, що [0, 1] (0, 1).

5.Чи еквiвалентнi такi двi пiдмножини множини C[0, 1] X =

{ax + b | a, b R} i Y = {Pn(x) | n N, Pn(x) — многочлен степеня n з цiлими коефiцiєнтами}?

6.Довести, що множина всiх визначених i монотонних на вiдрiзку [a, b] функцiй є континуальною.

40