Лабораторна робота №5

Тема: Двійкові схеми

Теоретичні положення

Теоретичні положення

1.Основи булевоъ алгебри. Математичний апарат, що описує роботу дискретних пристроїв, базується на алгебрі логiки, або булевiй алгебрі (Джордж Буль, 1815-1864 р., англiйський математик). Булева алгебра оперує двiйковими змiнними, якi умовно позначаються 0 I 1. В її основi лежить поняття булевої функцiї, функцiї виду f(x1,x2,...,xn) стосовно арґументiв x1,x2,...,xn, яка, як i її арґументи, може набувати тiльки два значення - 0 i 1. Логiчна функцiя може бути задана алгебраїчним виразом або таблицею, яка називається таблицею iстинностi.

Дiї над двiйковими змiнними вiдбуваються за правилами виконання логiчних операцiй. Найпростiших логiчних операцiй є три: заперечення (або iнверсiя, або операцiя НІ), логiчне множення (або кон'юнкцiя, або операцiя I) та логiчне додавання (або диз'юнкцiя, або операцiя АБО). Cкладнiші логiчнi перетворення можна звести до вказаних операцiй.

Операцiя заперечення виконується над однiєю змiнною та характеризується такими властивостями: функцiя y=1, якщо арґумент x=0, i y=0, якщо x=1. Заперечення позначається рискою над змiнною, з якою проводиться операцiя: y = x . Вiдповiдноy = x. Операцiя логiчного множення (кон'юнкцiя) для двох змiнних описана у табл.1.1 та позначається y = x1•x2. Нульове значення одного з арґументiв забезпечує нульовий результат операцiї.

Операцiя логiчного додавання (диз'юнкція) для двох змiнних описана табл.1.2 та позначається y = x1+x2. Рiвнiсть хоча б одного арґумента логiчнiй одиницi визначає одиничне значення всiєї функцiї.

Диз'юнкцiя та кон'юнкцiя може здiйснюватися з багатьма змiнними. Сукупнiсть рiзних значень змiнних називається набором. Булева функцiя n арґументiв може мати до N=2n наборiв. Оскiльки функцiя набуває тiльки два значення, то

загальне число булевих функцiй n арґументiв дорiвнює

2^N = 2²ⁿ . Два арґументи дають 16 значень функцiї (табл.1.3). Закони булeвої алгебри випливають з аксiом та мають двi форми вираження: (табл. 1.2.(а))

КНФ - кон'юнктивна нормальна форма та ДНФ - диз'юнктивна нормальна форма[3].

Таблиця 1.2.(а). Закони алгебри логіки

Двійкові змінні, які входять в логічні рівняння, можна задати двома різними електричними сиґналами. Шляхом перетворення цих сиґналів одержують інші, також двійкові сиґнали, які відповідають результатам певних логічних операцій.

Входи та виходи логічних елементів, залежно від рівня сиґналу, при якому виробляються певні значення двійкової змінної, поділяються на прямі та інверсні. На прямому вході (виході) двійкова змінна має значення логічної «1», коли сиґнал на цьому вході (виході) має значення, яке було прийняте за 1. На інверсному вході (виході) двійкова змінна має значення логічної «1», коли рівень сиґналу на цьому вході (виході) відповідає стану, який був прийнятий за 0.

Різні логічні елементи виготовляються як у вигляді окремих мікроелектронних виробів, так i у складі складніших пристроїв. Інформація про деякі з них є у табл. 1.4

2. Реалізація схем на основі булевих виразів. Карти Карно.

Нехай задано деякий булевий (логічний) вираз. Необхідно побудувати схему, яка реалізує логічну функцію, що відповідає цьому виразові. Булеві вирази трапляються у двох основних формах: 1) сума добутків; 2) добуток сум. Булевий вираз у вигляді суми добутків називається диз'юнктивною нормальною формою (ДНФ), а булевий вираз у вигляді добутку сум називається кон'юнктивною нормальною формою (КНФ).

Нехай задано булевий вираз в КНФ . Перший крок у конструюванні логічної схеми для цього виразу зображений на рис. 2.1.

|

На рис. 2.2 зображена схема, що реалізує заданий булевий вираз. Частина виразуреалізується шляхом додавання логічного елементаАБО за номером 3 та інверторів за номерами 1 та 2 і подається на вхід елемента 5. Одночасно результат операції (А+В+С) (вихід логічного елемента АБО за номером 4) надходить на другий вхід елемента за номером 5. Отже, будуючи логічну схему на основі булевого виразу, слід рухатись cправа ліворуч (від виходу до входу).

Булевий вираз - це зручний спосіб опису принципу роботи логічної схеми. Таблиця істинності - інший точний метод опису того, як працює логічна схема.

Розглянемо процедуру одержання таблиці істинності за виразом . На перший погляд, оскільки в нашому виразі є два доданки, таблиця істинності мала би містити дві логічні «1». Насправді цьому виразові відповідає три одиниці (див. табл. 2.1).

Розглянемо таблицю істинності, наведену в табл. 2.2, і побудуємо для неї булевий вираз. Тільки дві з восьми можливих комбінацій двійкових сиґналів на входах А, В, С дають на виході логічну «1». Ці дві можливі комбінації відповідають виразам та . Об’єднавши ці дві комбінації логічною функцією АБО, одержимо булевийвираз , який відповідає таблиці істинності 2.2.

Спрощення булевих виразів за допомогою карт Карно

1. Карти Карно з двома змінними. Розглянемо булевий вираз . Карта Карно для цього виразу зображена на рис. 2.3. Чотири квадрати (1, 2, 3, 4) відповідають чотирьом можливим комбінаціям А та В в таблиці істинності з двома змінними. При такому зображенні квадрат 1 на карті Карно відповідає добуткові , квадрат 2 - добуткові і т.д. Розмістимо логічні «1» у всіх квадратах, яким відповідає добуток у вихідному булевому виразі. Об'єднаємо сусідні одиниці в один контур групами по дві. Побудова контурів продовжується доти, доки всі одиниці не будуть в середині контурів. Кожний контур є новим членом спрощеного булевого виразу. Зауважимо, що на рис. 2.4 у нас вийшло тільки два контури. Це означає, що спрощений булевий вираз складатиметься тільки з двох членів, пов'язаних функцією АБО: А + В = Y

2. Карти Карно з трьома змінними. Розглянемо вихідний булевий вираз . Карта Карно для випадку трьохзмінних зображена на рис 2.5. Нижній контур містить B та , внаслідок чого B та можна не враховувати. Після цього в складі нижнього контуру залишаються лише А та , які дають член . У верхній контур входятьС та , тому С та невраховуються. В результаті чого залишається тільки член . Спрощений булевий вираз має вигляд.