Лабораторна робота №3 Тема: Двійково-десятковий код теоретичні положення

1.Аксіоми, основні теореми і тотожності алгебри логіки

В алгебрі логіки розглядаються змінні, які можуть приймати тільки два значення: 0 і 1. В подальшому змінні будемо позначати латинськими буквами x, y, z,... В алгебрі логіки визначено відношення еквівалентності (=) і три операції:

диз’юнкція (операція АБО), що позначається знаком _;
кон’юнкція (операція І), що позначається крапкою, яку можна опускати (наприклад, );
заперечення (інверсія, операція НІ), що позначається рискою над змінними або елементами 0 і 1 (наприклад, ).

Відношення еквівалентності задовольняє такі властивості:

x=x - рефлексивність;
якщо x=y, то y=x - симетричність;
якщо x=y та y=z, то x=z - транзитивність.

Із відношення еквівалентності слідує принцип підстановки: якщо x=y, то в будь-якій формулі, що вміщує х, замість х можна підставити y, і буде отримана еквівалентна формула.

Алгебра логіки визначається такою системою аксіом:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Аксіома (1.1) стверджує, що в алгебрі логіки розглядаються лише двійкові змінні, аксіоми (1.2)-(1.4) визначають операції диз’юнкції та кон’юнкції, а аксіома (1.5) - операцію заперечення. Якщо в аксіомах (1.2)-(1.5), заданих парами, провести взаємну заміну операцій диз’юнкції та кон’юнкції, а також елементів 0 і 1, то із одної пари аксіом отримаємо іншу. Ця властивість називається принципом подвійності.

За допомогою аксіом алгебри логіки можна довести цілий ряд теорем та тотожностей. Одним із ефективних методів доказу теорем є метод перебору всіх значень змінних. Так, методом перебору легко переконатися у справедливості теорем, для зручності зведених у таблицю 1.3.

Таблиця 1.3 - Закони алгебри логіки

Назва закону	Формули
Ідемпотентні закони		(1.6)
Комутативні закони		(1.7)
Асоціативні закони		(1.8)
Дистрибутивні закони		(1.9)
Закони заперечення		(1.10) (1.11) (1.12)
Закони подвійності (теореми де Моргана)		(1.13)
Закон подвійного заперечення		(1.14)
Закони поглинання		(1.15)
Операції склеювання		(1.16)
Операції узагальненого склеювання		(1.17) (1.18)

Якщо в логічний вираз входять операції диз’юнкції та кон’юнкції, то потрібно зберігати порядок виконання операцій: спочатку виконується операція кон’юнкції, а потім операція диз’юнкції. У складних логічних виразах для задання порядку виконання операцій використовуються дужки.

Деякі теореми та тотожності алгебри логіки мають особливе значення, оскільки дозволяють спрощувати логічні вирази. Особливо часто для перетворення логічних виразів використовуються тотожності (1.15)-(1.18).