Индивидуальная работа №6 Статистическая проверка гипотез Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Применяется критерий Фишера – Снедекора F. При этом

,

,

Число степеней свободы:

где - объем выборки, по которой вычисляется большая исправленная дисперсия,- объем выборки, по которой вычисляется меньшая исправленная дисперсия. По таблице распределения критических точек Фишера – Снедекора находитсяF_кр (, k₁ , k₂) при односторонней критической области и F_кр (/2, k₁ , k₂) при двусторонней критической области.

Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки: )

Применяется критерий Z нормального распределения. При этом

Значение Z_крнаходится из условий:

при двусторонней критической области,

при односторонней критической области.

Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны, но считаются одинаковыми (малые независимые выборки: )

Используется критерий т распределения Стьюдента. При этом

Число степеней свободы : k= – 2.

Значение t_кр (, k) находится по таблице распределения критических точек Стьюдента.

Сравнение средней нормальной генеральной совокупности со стандартом. Дисперсия генеральной совокупности известна (большая выборка: n>30).

Применяется критерий Z нормального распределения. При этом

Значение Z_крнаходится из условия:

при двусторонней критической области,

при односторонней критической области.

Сравнение средней нормальной генеральной совокупности со стандартом Дисперсия генеральной совокупности не известна (малая выборка: n30).

Применяется критерий Стьюдента Т. При этом

Число степеней свободы : k= n – 1 .

Значение t_кр (, k) находится по таблице распределения критических точек Стьюдента.

Выбор знака неравенства в альтернативной гипотезе.

1. Сравнение генеральных средних.

а) Если по данным выборочного обследования , то в гипотезе Н₁ нужно взять знак «>» или «». При этом, если выборки малые, необходимо учитывать также значение заданного в условии задачи уровня значимости . Например, если =0,1, то надо брать знак «», так как в таблице распределения критических точек.

Стьюдента приведены значения t_кр (, k) только для двусторонней критической области.

Пусть  =0,005. В гипотезе Н₁ надо взять знак «>», так как значения t_кр (, k) даны в таблице только для односторонней критической области.

Если =0,01, то в гипотезе Н₁ можно поставить знак «>» или «», потому что значения t_кр (, k) приведены в таблице как для односторонней, так и для двусторонней критических областей.

б) Если , то в гипотезе Н₁ берется знак «<» и «». При малых выборках необходимо руководствоваться пояснениями, приведенными выше.

2. Сравнение генеральных дисперсий.

а) Пусть по условию задачи . В гипотезе Н₁ надо взять знак «>» или «». В первом случае по таблице распределения критических точек Фишера – Снедекора находится F_кр (, k₁ , k₂), во втором случае F_кр (/2, k₁ , k₂). Поэтому при выборе знака неравенства необходимо принимать во внимание значение заданного уровня значимости , так как в данном методическом пособии приведены значения F_кр при =0,05, 0,025; 0,01; 0,005.

б) Если , то в гипотезе берется знак «». Знак «<» брать нельзя, так как в этом случае критическая область будет левосторонняя и F_наб (F_наб всегда больше единицы) никогда не попадет в критическую область, т.е. вероятность попадания в критическую область равна нулю. Это противоречит условию задачи. Действительно, вероятность отвергнуть правильную нулевую гипотезу, т.е. вероятность того, что F_наб попадет в критическую область, равна заданному значению .

3. Сравнение генеральной средней со стандартом. Для выбора знака неравенства в гипотезе Н₁ при решении этого типа задач надо руководствоваться пояснениями, приведенными в п.1. При малой выборке необходимо сначала по данным обследования найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

Задача 1. Для сравнения точности двух станков–автоматов по двум независимым выборкам объемов n₁ и n₂, извлеченным из нормально распределенных генеральных совокупностей Х₁ и Х₂, найдены выборочные средние квадратические отклонения σ₁ и σ₂. При уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: D₁ = D₂ при конкурирующей Н₁ : D₁ > D₂ (1-15 в.) и при Н₁ : D₁ ≠ D₂ (16-30 в). Какой из станков лучше налажен? Данные приведены в таблице.

Номер варианта	n1	n2
1	18	15	0,9	0,8	0,01
2	10	12	1,2	1,1	0,025
3	13	14	0,8	0,6	0,01
4	13	18	1,8	0,7	0,025
5	9	12	0,5	0,3	0,005
6	8	10	1,2	0,8	0,01
7	14	20	1,6	0,9	0,05
8	13	17	2,7	2,5	0,005
Номер варианта	n1	n2
9	20	19	2,4	2,2	0,025
10	12	18	3,1	2,5	0,05
11	21	24	0,7	0,6	0,025
12	8	9	0,8	0,6	0,05
13	12	11	3,3	2,8	0,025
14	11	14	1,7	0,8	0,01
15	7	10	0,6	0,3	0,025
16	16	11	1,6	3,2	0,02
17	17	13	1,5	1,8	0,05
18	14	12	3,1	3,6	0,02
19	17	20	0,6	0,4	0,01
20	12	16	1,1	2,7	0,1
21	13	15	0,1	0,4	0,02
22	18	13	1,3	2,2	0,05
23	13	10	2,7	2,4	0,01
24	10	14	2,7	2,9	0,02
25	11	12	1,3	0,7	0,05
26	14	17	0,9	1,2	0,1
27	10	9	1,3	0,9	0,05
28	11	15	0,2	0,6	0,01
29	13	15	1,8	0,9	0,02
30	15	14	0,5	0,4	0,01

Задача 2. Для сравнения производительности труда рабочих двух цехов экономист исследовал среднюю выработку рабочих. Обследовано n₁рабочих в первом цехе иn₂ рабочих во втором цехе. Найдены выборочные средние и выборочные дисперсии и . Считая, что выборки извлечены из нормальных генеральных совокупностей, при заданном уровне значимостиαпроверить нулевую гипотезуH₀: при конкурирующейH₁: (1-10 в),H₁: (11-20 в.),H₁: х₁≠ х₂(21-30 в.) Можно ли считать, что рабочие обоих цехов имеют одинаковую производительность труда?Данные приведены в таблице.

№ варианта	n1	n2	х1	х2
1	10	11	150	158	20	18	0,01
2	15	13	148	153	21	20	0,025
3	14	12	152	156	21	20	0,005
4	12	14	154	156	12	11	0,01
5	11	16	134	138	15	14	0,05
6	11	15	130	136	17	15	0,005
7	11	14	135	141	20	16	0,025
8	14	15	164	172	15	24	0,01
9	13	11	158	162	20	19	0,05
10	24	22	142	152	15	20	0,01
11	14	10	126	122	26	22	0,025
12	11	12	155	150	20	19	0,05
13	14	13	146	141	20	18	0.01
14	12	16	125	123	13	14	0,05
15	17	13	127	125	16	15	0,01
16	16	17	140	138	14	12	0,05
17	13	12	141	135	14	10	0,005
18	10	9	154	152	16	14	0,01
19	20	18	146	144	17	24	0,05
20	10	13	124	122	18	16	0,005
21	11	13	146	141	22	21	0,01
22	17	15	114	119	24	21	0,01
23	13	10	147	150	21	19	0,05
24	14	15	130	134	21	18	0,05
25	10	12	151	155	19	18	0,01
26	12	13	145	142	21	19	0,05
27	16	12	148	153	22	20	0,01
28	20	14	172	176	16	22	0,02
29	15	16	142	140	17	16	0,01
30	13	14	155	151	19	17	0,05

Задача 3. Для исследования влияния двух типов удобрений на урожайность пшеницы было засеяно n₁иn₂опытных участков. Найдены выборочные средние и . Дисперсии генеральных совокупностей соответственно равныD₁иD₂. Считая, что урожайность пшеницы подчиняется закону нормального распределения, при заданном уровне значимостиαпроверить нулевую гипотезуH₀: при конкурирующей Н₁: (1-10 в), Н₁: (11-20 в.), Н₁: (21-30 в.) Зависит ли урожайность пшеницы от типа внесенных удобрений? Какой тип удобрений целесообразнее использовать? Данные приведены в таблице:

№ варианта	n1	n2	х1	х2	D1	D2
1	46	43	26,2	25,4	9,5	8,4	0,001
2	54	57	20,5	18,8	3,4	3,9	0,01
3	63	68	20,6	22,8	2,0	2,5	0,05
4	52	54	19,2	18,6	3,8	4,2	0,005
5	62	67	22,7	21,6	2,6	2,9	0,01
6	54	58	24,4	23,9	5,1	4,9	0,005
7	56	52	18,7	22,1	2,3	2,8	0,01
8	68	62	23,9	20,8	2,1	2,6	0,05
9	53	55	19,3	18,7	4,2	4,5	0,001
10	48	46	24,7	22,5	1,9	1,7	0,05
11	35	36	25,1	28,3	2,7	2,6	0,05
12	38	35	24,4	24,8	4,2	4,7	0,001
13	41	45	25,1	28,2	2,2	2,7	0,05
14	53	50	20,7	21,6	4,1	4,4	0,005
15	40	44	18,4	26,5	2,2	3,4	0,05
16	60	64	19,9	20,4	4,5	4,7	0,001
17	65	64	23,3	25,5	2,2	2,4	0,05
18	50	53	25,7	26,2	3,1	3,4	0,01
19	42	49	22,4	24,2	3,7	2,3	0,05
20	70	74	20,2	21,4	5,4	5,2	0,001
21	39	41	23,9	23,5	1.9	1,7	0,001
22	46	49	21,5	20,2	3,8	3,5	0,01
23	47	45	25,5	24,5	1,6	1,4	0,05
24	36	48	19,8	19,3	3,8	4,2	0,01
25	70	71	27,8	26,9	4,5	4,9	0,001
26	49	52	26,9	24,5	2,8	1,9	0,01
27	48	54	22,3	21,1	2,1	2,6	0,05
28	44	40	22,5	21,6	3,9	3,8	0,01
29	57	52	21,2	20,9	3,5	3,2	0,001
30	41	43	23,6	20,2	1,9	2,0	0,05

Задача 4. Стандартный вес детали, изготовленной станком–автоматом, должен быть равна а(г). Результат выборочной проверки весаnизделий приведен в таблице (колонка 5). Считая, что вес деталей подчиняется нормальному распределению, при уровне значимостиαпроверить нулевую гипотезуH₀: =апри конкурирующей Н₁: >а (1-10 в.), Н₁: ≠а (11-20 в.), Н₁: <а (21-30 в.). Нуждается ли станок в наладке?

Номер варианта	n	a		Результат выборки
1	27	44	0,01		10	30	40	60	70
					1	6	11	7	2
2	22	50	0,01		47	48	50	52	53
					2	4	8	5	3
3	27	60	0,05		58	59	60	61	63
					3	5	10	5	4
4	28	27	0,01		26	27	30	32	33
					9	8	7	3	1
5	29	38	0,05		37	38	39	40	42
					9	7	6	4	3
6	28	50	0,01		46	48	51	52	53
					4	5	6	7	6
7	29	88	0,05		85	86	87	90	92
					2	6	15	5	1
8	23	80	0,01		75	76	79	82	84
					2	3	6	7	5
9	27	97	0,05		95	97	100	101	102
					5	8	7	4	3
10	20	35	0,05		33	34	35	37	38
					4	3	4	6	3
11	29	100	0,1		95	97	98	100	102
					2	5	12	7	3
12	27	19	0,05		10	15	20	25	30
					4	6	11	4	2
13	20	20	0,1		15	17	20	21	22
					3	5	2	6	4
14	23	105	0,01		95	100	105	106	107
					2	3	5	7	6
15	27	85	0,1		80	82	84	85	87
					5	6	7	5	4
16	24	60	0,01		55	57	59	62	63
					4	7	8	3	2
Номер варианта	n	a		Результат выборки
17	27	60	0,1		56	58	59	61	62
					7	5	9	4	2
18	27	40	0,05		36	37	40	42	43
					4	5	6	8	4
19	26	80	0,1		74	75	79	80	82
					4	4	5	6	7
20	24	90	0,1		88	89	90	91	92
					7	6	5	4	2
21	29	40	0,05		38	39	40	41	42
					2	8	12	6	1
22	28	75	0,01		70	72	74	75	76
					3	6	10	7	2
23	29	10	0,05		5	7	10	15	16
					3	10	11	3	2
24	26	150	0,01		146	147	148	150	152
					1	6	12	5	2
25	21	30	0,05		25	27	29	30	32
					2	5	7	6	1
26	29	45	0,01		40	42	45	46	47
					2	4	12	7	4
27	29	75	0,05		70	72	75	77	79
					3	6	10	8	2
28	24	100	0,01		85	90	100	105	110
					3	4	8	7	2
29	28	70	0,05		65	66	69	71	73
					6	8	7	5	2
30	25	19	0,01		16	17	19	20	22
					2	4	10	7	2

Задача 5. Размер изделия подчиняется закону нормального распределения. В результате выборочной проверки nизделий получена выборочная средняя . Генеральная дисперсияDизвестна. При уровне значимостиαпроверить нулевую гипотезуH₀: =а при конкурирующей Н₁: <а (1-10 в.), Н₁: >а (11-20 в.), Н₁: ≠а (21-30 в.). Удовлетворяет ли размер изделия стандартуа?

№ варианта	n	х	D	а
1	45	497	36	500	0,01
2	56	378	49	380	0,025
3	60	368	47	370	0,05
4	36	0,48	0,013	0,5	0,01
5	125	1180	3250	1200	0,025
6	196	0,68	0,0125	0,7	0,05
7	105	0,79	0,017	0,8	0,05
8	225	0,89	0,0124	0,9	0,025
9	100	1180	3200	1250	0,02
10	120	1380	4250	1400	0,01
11	100	0,81	0,0169	0,8	0,025
12	95	0,82	0,018	0,8	0,01
13	225	0,91	0,012	0,9	0,05
14	150	1420	4290	1400	0,01
15	60	352	46	350	0,05
16	75	364	48	360	0,02
17	170	0,72	0,015	0,7	0,02
18	193	0,73	0,014	0,7	0,01
19	50	502	37	500	0,01
20	64	403	51	400	0,025
21	35	0,53	0,0121	0,5	0,05
22	100	27,56	27,04	26	0,02
23	169	0,63	0,0121	0,6	0,01
24	130	1430	2840	1400	0,02
25	156	1590	5030	1500	0,01
26	50	452	32	450	0,025
27	220	0,92	0,011	0,9	0,05
28	95	27,1	26,1	27	0,005
29	38	0,49	0,01	0,65	0,05
30	105	28,3	27,5	28	0,01

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч. 2 / Под ред. Р.Ш. Марданова – Казань: Изд-во КФЭИ, 2001. - Гл.. 19, с. 176 – 191.

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие под ред. проф. Р.Ш. Марданова. – Казань: Изд-во КГУ, 2009. - Гл.. 19, №№19.12 – 19.22.