lektsii_1 / модуль2 / Лекция 2

Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Лекция 2.1. Прямая на плоскости и её уравнения. Угол между двумя прямыми. Взаимное положение прямых на плоскости.

1. Уравнение прямой на плоскости.

Уравнением линии на плоскости называется уравнение относительно переменных (x,y), которому удовлетворяют координаты любой точки линии и только они.

Общий вид уравнения линии в декартовой системе координат: .

Это уравнение определяет линию как некоторое геометрическое место точек, т.е. совокупность точек, обладающих некоторым свойством, исключительно им присущим.

Чтобы составить уравнение линии как некоторого геометрического места точек, необходимо:

1. взять произвольную точку с текущими координатами x и у;

2. записать общее свойство точек данного геометрического места в виде тождества;

3. преобразовать полученное тождество в уравнение.

Точки пересечения двух линий и находят из системы уравнений . Если система совместна, то линии пересекаются. Число точек пересечения равно числу решений системы.

2. Прямая на плоскости.

   1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Дано: т.

, , /

2. Общее уравнение прямой.

, где

A, B, C – постоянные коэффициенты, причём A и B не обращаются в ноль .

Общее уравнение прямой называется полным, если все его коэффициенты A, B и C отличны от нуля.

Если хотя бы один из коэффициентов равен нуля, то уравнение называется неполным.

• С=0 , , ;

• B=0 , , - прямая параллельна оси Оу;

• А=0 , , - прямая параллельна оси Ох;

• B=С=0 , - ось Оу;

• А=С=0 , - ось Ох.

3. Уравнение прямой в отрезках.

При построении прямой можно воспользоваться тем, что одну из координат точки можно выбрать произвольно .

,

,

Обе эти точки лежат на осях и поэтому величины , называются отрезками, осекаемыми на осях, и в нашем случае могут быть приняты в качестве параметров прямой

, , .

4) Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Дано: ,

~

5) Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором.

Дано: , ,

,

6) Каноническое уравнение прямой (уравнение прямой, проходящей через заданную точку, параллельно направляющему вектору)

Дано: , , // L

// ,

7) Параметрическое уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой элементарно получается из канонического уравнения этой прямой. Примем за параметр t величины, стоящие в левой и правой частях

8) Нормальное уравнение прямой.

Рассмотрим некоторую прямую L.

Проведём через начало координат прямую, перпендикулярную к L и обозначим через Р точку пересечения этих прямых. На прямой ОР возьмем единичный вектор .

Поставим перед собой цель: выразить уравнение прямой L чез два параметра

1. длину p отрезка ОР;

2. угол между и осью Ох.

Так как - единичный вектор, то .

точка М(х, у) , тогда и только тогда, когда , , т.к. , то .

Имея ввиду, что , а , получим .

- нормальное (нормированное) уравнение прямой, где р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую; - угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох.

Алгоритм приведения общего уравнения прямой к нормальному виду:

Т.к. данные уравнения определяют одну и ту же прямую, то существует такое число , при котором ; ; . Первые два тождества возведём в квадрат и просуммируем: + , , - .

Остаётся уточнить, какой из знаков следует взять в данной формуле. Так как расстояние всегда неотрицательно, то из третьего тождества заключаем, что знак нормирующего множителя противоположен знаку С.

Итак, для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду следует умножить его на нормирующий множитель, знак которого противоположен знаку свободного члена С.

Введём теперь фундаментальное понятие – отклонение произвольной точки М от данной прямой L.

Пусто число d – это расстояние от точки М до прямой L.

Назовём отклонением точки М от прямой L число +d в случае, если т.М и начало координат т. О лежат по разные стороны от прямой L и число -d в случае, если т.М и начало координат т. О лежат по одну сторону от прямой L.

Спроектируем точку М на направление вектора

PQ = = OQ – p,

,

.

Итак, для нахождения отклонения точки от прямой L, следует в левую часть нормального уравнения прямой L подставить на место х и у координаты точки М.

3. Угол между двумя прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

1) Дано:

Задача об определении угла между прямыми и сводится к определению угла между векторами и .

Условие параллельности прямых и эквивалентно коллинеарности векторов и , т. е. .

Условие перпендикулярности прямых и также эквивалентно перпендикулярности векторов и , т. е..

2) Дано: , ,

Условие параллельности прямых и : .

Условие перпендикулярности прямых и : .