lektsii_1 / модуль1 / Л 4

Л 1-4. Произведение векторов

1. Разложение вектора на компоненты.

Рассмотрим вектор , заданный своими координатами: .

- компоненты вектора по направлениям базисных векторов .

Выражение вида называется разложением вектора на компоненты.

Аналогичным образом можно разложить на компоненты вектор :

.

Косинусы углов, образованные рассматриваемым вектором с базисными ортами называются направляющими косинусами

; ; .

.

2. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

Скалярное произведение двух векторов можно рассматривать как произведение модуля одного из этих векторов на ортогональную проекцию другого вектора на направление первого .

Свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. - скалярный квадрат вектора;

5. если

Если известны координаты векторов и , то, выполнив разложение векторов на компоненты и , найдём , т.к. , , то

.

.

Условие перпендикулярности векторов: .

Условие коллинеарности ректоров: .

3. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением вектором на вектор называется такой вектор , который удовлетворяет условиям:

1. ;

2. вектор перпендикулярен плоскости векторов и , т.е. , ;

3. вектор направлен так, что если смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот вектора к вектору должен происходить против часовой стрелки.

Свойства:

1. - действие векторного произведения анти коммутативно;

2. - ассоциативно относительно на число;

3. - дистрибутивно относительно сложения векторов;

4. Если векторы и коллинеарны, то , в частности .

Рассмотренные алгебраические свойства позволяют найти аналитическое выражение для векторного произведения через координаты составляющих векторов в ортонормированном базисе.

Дано: и .

т.к. , , , , , , , то

. Эту формулу можно записать короче, в форме определителя третьего порядка:

.

4. Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор

.

Верно следующее равенство: , поэтому смешанное произведение записывают .

Как следует из определения, результатом смешанного произведения трёх векторов является число. Это число имеет наглядный геометрический смысл:

Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах , и .

Свойства смешанного произведения:

1. , т. е. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов;

2. т. е. смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного произведения;

3. , т.е. смешанное произведение меняет знак на противоположный при перестановки двух векторов – сомножителей;

4. (объём параллелепипеда равен нулю), если векторы , , лежат в одной или параллельных плоскостях, следовательно они компланарны или два из перемножаемых векторов коллинеарны.

5. ;

6. ;

7. .

Если векторы , , заданы в ортонормированном базисе своими координатами, вычисление смешанного произведения осуществляется по формуле

.

Действительно, если , то

; ; , тогда .

Если векторы , , компланарны, то векторное произведение перпендикулярно вектору . И наоборот, если , то объем параллелепипеда равен нулю, а это возможно только в том случае, когда векторы компланарны (линейно зависимы).

Таким образом, три вектора компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.