2.7. Операторный коэффициент передачи. Преобразование Лапласа, его свойства и применение

Использование такой схемной функции как операторный коэффициент передачи или передаточная характеристика становится возможным за счет применения преобразования Лапласа. В соответствии с преобразованием Лапласа функция времени может быть представлена в виде ее изображенияс помощью прямого преобразования Лапласа, где- абстрактная комплексная переменная. Функцияназывается операторным изображением функции. Исходная функция временипо отношению к своему операторному изображению называется оригиналом. Комплексное числоназывается оператором преобразования Лапласа. Соответствие между функцией времении ее изображением по Лапласууказывается знаком соответствия. Условия, необходимые для того, чтобы к функциимогло быть применено преобразование Лапласа, т.е. для того, чтобы неопределенный интеграл сходился, состоят в следующем:

1) функция должна удовлетворять условиям Дирихле;

2) функция при;

3) модуль функции с ростомувеличивается медленнее, чем модуль функции, равный.

Входные сигналы схем электротехники и электроники в реальных условиях, как правило, этим условиям удовлетворяют. Тогда выходные сигналы тем более удовлетворяют этим условиям.

Применение изображений по Лапласу позволяет получить универсальную схемную функцию для электрической цепи

,

называемую операторным коэффициентом передачи или передаточной функцией, в которойпредставляет собой изображение по Лапласу выходного сигнала (реакции схемы), а- изображение по Лапласу входного сигнала (входного воздействия).

Если операторный коэффициент передачи схемы найден или известен, то может быть получено изображение по Лапласу выходного сигналасхемы по формуле, после чего в соответствии с обратным преобразованием Лапласаможет быть определен оригиналреакции схемы на входное воздействие.

2.8. Переходная функция. Импульсная переходная функция

Если в качестве типового входного воздействия используется ступенчатое воздействие, то в качестве математической модели схемы (ее схемной функции) используется переходная функция (переходная характеристика) .

Таким образом, – переходная характеристика цепи – схемная функция, численно равная выходному сигналу при входном ступенчатом воздействии.

Если входной и выходной сигналы – напряжения или токи, то – безразмерная величина. Если входной сигнал представлен напряжением, а выходной – током, или наоборот, то – величина размерная.

Поскольку в операторной форме ;,то при . Так как коэффициент передачи напряжения в операторной форме при нулевых начальных условиях , то изображение переходной функцииа оригинал представляет собой обратное преобразование Лапласа функции : . Схемная функция может быть определена с помощью обратного преобразования Лапласа: путём интегрирования, путём применения специальных формул, либо использованием таблиц.

Рассмотрим пример нахождения схемной функции для схемы (рис. 2.21) с параллельной ёмкостью. Для этой схемы , где.
	Рис. 2.21

Если записать ,и, то, откуда следует и.

Если - случай без нулевого корня, то используется первая формула Хевисайда:, где- корни многочлена, имеющего порядок, а.

Если - случай, когда в знаменателе есть один нулевой корень, то используется вторая формула Хевисайда:, где- корни многочлена, имеющего порядок, а.

Для схемы (рис. 2.21) при ,и. Тогда прии, а переходная характеристика схемы носит экспоненциальный характер (рис. 2.22), гденазывается постоянной времени схемы и может быть найдена графически так, как показано на рис. 2.22.

	Временная характеристика определяется при ступенчатом входном воздействии и имеет однозначную связь с операторным коэффици- ентом передачи, а также с дифференциальным уравнением цепи.
Рис. 2.22

Если в качестве типового входного воздействия используется импульсное воздействие в виде дельта-функции, то в качестве математической модели схемы (ее схемной функции) используется импульсная переходная функция (импульсная переходная характеристика) . Таким образом, при . Так как , то.