21(2)

21. Теорема: решение, построенное по методу «северно-западного» угла является опорным.

Доказательство:

Достаточно доказать, что заполненные клетки образуют совокупность базисных клеток, т.е.:

1. всего будет заполнено (m+n-1) клеток

2. вектор-коэффициент при неизвестных с номерами заполненных клеток Л.Н.

Пункт 1.

На каждом этапе построения решения методом С-З угла заполнением очередного значения закрывается только 1 строка или 1 столбец, и лишь последние клетки таблицы (m,n) занесением неизвестного закрываются сразу – и m-строка и n-столбец. Следовательно, всего будет занесено в таблицу значений неизвестных на 1 меньше, чем в таблице всего строк и столбцов.

Пункт 2.

Докажем методом математической индукции по числу k=m+n.

Основание: k=2 (m=1, n=1) и вектор и система из одного ненулевого вектора Л.Н.

Предположение: пусть утверждение выполняется при всех k=m+n-1. Докажем, что тогда оно выполняется и при k=m+n.

<, , тогда из клетки (1,1) двигаемся в клетку (2,1), т.к. 1ая строка закрыта для заполнения.

			…
…

Пусть будут заполнены клетки (1,1), (2,1), … , (i,j), … , (m,n)

Тогда, нужно доказать, что (*) – Л.Н. Составим линейную комбинацию:

(**)

, значит все координаты нули

Только у вектора 1ая координата равна 1, у остальных векторов системы (*) 1ая координата=0, т.к. 1ый индекс у всех этих векторов >1. Тогда 1ая координата равна , значит .

Тогда (**) запишется в виде:

(***)

Из исходной таблицы вычеркнем 1ую строку и изменим потребности 1го потребителя на . Получим новую транспортную задачу, у которой число поставщиков n=1, а число потребителей m, так что k=m+n-1. Неизвестные в новой таблице без образуют решение для новой транспортной задачи, которое на основании индуктивного предположения является опорным, значит - Л.Н. и значит равенство (***), значит все коэффициенты .

Тем самым мы доказали, что равенство (**) выполняется только если все коэффициенты , значит система векторов (*) является Л.Н., значит теорема доказана.