Lektsii / 05 Относительное равновесие

05-3

Относительный покой жидкости в сосуде, движущемся с постоянным ускорением

и вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью

Относительный покой (равновесие жидкости в движущемся сосуде)

При равновесии в движущемся сосуде жидкость движется вместе с сосудом как единое целое, т.е. находится в состоянии относительного покоя.

Сосуд, движущийся горизонтально и прямолинейно с постоянным ускорением

Рассмотрим равновесие жидкости, находящейся в сосуде, перемещающемся горизонтально с постоянным положительным ускорением .

В том случае из массовых сил действуют сила тяжести и сила инерции , направление которой противоположно направлению ускорения.

Проекция плотности распределения силы тяжести , а силы инерции .

Применим уравнение равновесия жидкости Эйлера в объединенном виде

После интегрирования

При имеем , окончательно .

Уравнение поверхностей равного давления из условия получим. Для свободной поверхности . Тангенс угла наклона поверхностей равного давления (не зависит от ).

Как распределено давление по глубине ? Обозначим – глубину точки, отсчитанную по вертикали от свободной поверхности. Тогда . Подставим в выражение для давления . Распределение давления по глубине подчиняется гидростатическому закону.

Сосуд, движущийся вертикально с постоянным ускорением

В этом случае положительные значения ускорения соответствуют ускорению, направленному вверх (по оси ), а отрицательные –когда ускорение направлено вниз.

Уравнение поверхностей равного давления .

Давление .

Цилиндрический сосуд, равномерно вращающийся относительно вертикальной оси

Рассмотрим цилиндрический сосуд, заполненный до некоторого уровня жидкостью плотностью и приведенный во вращение с постоянной угловой скоростью относительно вертикальной оси. Через некоторое время после начала вращения сосуда жидкость под действием сил трения будет вращаться с той же скоростью, что и сосуд. На элементарную массу , расположенную от оси на расстоянии , действуют силы веса и центробежная сила инерции, направленная вдоль радиуса и равная . Ее проекции на оси координат (из подобия треугольников) ,

Проекции вектора плотности распределения массовых сил при этом:

от силы тяжести , ,

от центробежной силы инерции , , .

Применим уравнение равновесия жидкости Эйлера в объединенном виде

Для нахождения формы поверхностей равного давления произведем интегрирование при условии .

или, поскольку ,

, окончательно

Из полученной формулы ясно, что поверхности равного давления представляют собой семейство конгруэнтных параболоидов вращения с вертикальной осью. Свободная поверхность – частный случай поверхности равного давления, во всех точках которой давление равно внешнему давлению . Координаты вершины параболоида , , , . .

Уравнение свободной поверхности

Закон распределения давлений. Используем ранее полученное дифференциальное уравнение равновесия жидкости . После интегрирования имеем:

. Из условий на вершине параболоида , , найдем , после подстановки

Установим как распределяется давление по вертикали. Для этого подставим в полученное уравнение выражение из уравнения свободной поверхности .

, где

– глубина погружения точки под свободной поверхностью.

Таким образом, в жидкости, покоящейся в равномерно вращающемся сосуде, давление по вертикали распределяется по гидростатическому закону.