Lektsii / 23 Гидродинамическое подобие

Подобие гидромеханических процессов 23-5

Подобие гидромеханических процессов

Обычно гидравлические исследования явлений, происходящих в натурных условиях (в натуре), проводят в лабораториях на моделях, воспроизводя их в том или ином масштабе.

В результате исследований на моделях получают поправочные коэффициенты к теоретическим формулам или эмпирические формулы, отражающие зависимости между отдельными параметрами, которые характеризуют изучаемое явление. Различают физическое, аналоговое и численное моделирование.

Гидравлическое моделирование – исследуется не сам поток, сооружение или машина, а их модели, выполненные обычно в уменьшенном масштабе.

Моделирование различают: физическое, аналоговое, численное

1. физическое – модель имеет ту же физическую природу

При физическом моделировании на модели исследуют явление, имеющее ту же физическую природу, что и в натуре (например, истечение воды через водослив в натуре и на модели).

2. аналоговое – природа разная, но описывается теми же уравнениями (аналоговая вычислительная машина = АВМ)

При аналоговом моделировании явления в натуре и на модели имеют разную физическую природу, однако описываются аналогичными системами математических уравнений (например напорное движение грунтовых вод и распределение электрического потенциала в проводнике). Ранее для моделирования физических процессов широко использовались аналоговые вычислительные машины (АВМ), представляющие собой набор электрических элементов, соединяемых в электрические цепи.

3. численное моделирование – решение задач на ЭВМ (математическая модель)

Численное моделирование представляет собой решение гидравлических задач с помощью численных методов на ЭВМ без выполнения лабораторных исследований.

Общие условия механического подобия:

Явления будут механически подобны если в них одинаково отношение всех геометрических элементов (размеров, расстояний, перемещений), одинаково отношение плотностей, кинематических параметров (скоростей, ускорений) и сил, действующих в соответствующих точках и направлениях.

Для полного механического подобия явлений (потоков) необходимо их геометрическое, кинематическое и динамическое подобие.

Виды подобия

1. Геометрическое подобие: между соответствующими линейными размерами существует постоянное соотношение .

Тогда соотношение площадей можно записать так:

Отношение объемов .

В геометрически подобной модели русла все размеры, в том числе и высота выступов шероховатости, должна быть меньше, чем в натуре в раз и, следовательно, в подобных потоках относительная шероховатость такая же, как и в натуре .

2. При кинематическом подобии подобны поля скоростей и ускорений.

Если некоторая жидкая частица в натуре за интервал времени проходит участок траектории , то для подобия необходимо, чтобы соответствующая жидкая частица на модели за некоторое (другое) время прошла отрезок траектории .

При этом отношение между интервалами времени .

Для скоростей сходственных точек , для ускорений . Скорости и ускорения должны быть представлены одинаково ориентированными в пространстве векторами.

Отметим, что с учетом геометрического подобия:

,

3. Для динамического подобия необходимо, чтобы силы, действующие на любую пару сходственных элементов были подобны: .

Потоки жидкости, удовлетворяющие одновременно условиям геометрического, кинематического и динамического подобия, называют гидродинамически подобными, а коэффициенты пропорциональности – масштабными множителями.

Закон подобия Ньютона

Выбор всех масштабных множителей для подобных потоков не является произвольным. Между ними имеется определенная связь.

Равнодействующую сил, действующих на произвольно взятую жидкую частицу, можно выразить через произведение массы на ускорение, причем массу представим как произведение плотности на объем. В масштабных множителях имеем . Масштабный множитель ускорения можно выразить через масштабные множители длины и времени , тогда .

Заметим, что , тогда . (не стирать, потребуется ) (*)

закон подобия Ньютона в масштабных множителях

Заменим масштабные множители соответствующими отношениями:

или , где критерий Ньютона.

Гидродинамическое подобие явлений требует равенства критериев Ньютона, соответствующих модели и натуре.

Критерии подобия

На частицу жидкости в общем случае действуют силы тяжести, трения, давления.

1. Сила тяжести => число Фруда

Сила тяжести пропорциональна массе и ускорению свободного падения. Масса есть произведение плотности на объем (куб линейного размера частицы)

в масштабных множителях

Учитывая (*) и полагая, что сила тяжести является преобладающей силой, имеем

откуда

заменяем масштабные множители соответствующими отношениями и вводим

число Фруда

.

Геометрически подобные потоки, в которых преобладает действие сил тяжести, можно считать динамически подобными если будут равны числа Фруда для сходственных сечений обоих потоков.

Записывается : или .

Если положить, что , то

или (если , то )

(если , то )

2. Сила трения => число Рейнольдса

Закон вязкого трения Ньютона для касательного напряжения

Сила трения есть произведение касательного напряжения на площадь. в масштабных множителях

Учитывая (*) и полагая, что силы инерции являются преобладающими силами, имеем

откуда (учитывая, что ) .

Число Рейнольдса

3. Сила давления => число Эйлера

Сила давления пропорциональна гидродинамическому давлению и площади

в масштабных множителях

Учитывая (*) и полагая, что силы давления являются преобладающими силами, имеем

, откуда

Критерий Эйлера

Кроме перечисленных есть еще много других критериев подобия

Перечислим некоторые из них:

Критерий Вебера (силы поверхностного натяжения)

Критерий Архимеда (подъемная сила – сила Архимеда)

Критерий Маха (число Маха) (влияние сжимаемости при обтекании тела потоком, отношение скорости тела (потока) к скорости звука. М=1 – граница, больше – сверхзвуковой поток)

Критерий Коши (действие упругих сил – гидравлический удар в трубах)

Критерий Струхаля – (неустановившееся движение)

Критерий Лагранжа – (медленное течение вязких жидкостей)

Число Прандтля – теплопроводность

Советы по моделированию

В реальности не удается обеспечить учет более чем одного критерия подобия.

Рассмотрим, например, одновременное выполнение критериев Фруда и Рейнольдса. Критерий Фруда . В масштабных множителях .

Предположим, что . Тогда для подобия необходимо.

Критерий Рейнольдса . В масштабных множителях . С учетом полученного из критерия Фруда соотношения получим .

Если предположить, что , то необходимо обеспечить по вязкости. Выполнить это условие практически невозможно. Разумеется, можно попытаться поменять ( ранее мы предположили, что ), однако успех еще более проблематичен.

При моделировании в первую очередь важно решить какие силы являются доминирующими в моделируемом явлении, тем самым выбрать определяющий критерий подобия.

Безнапорные потоки – сила тяжести – критерий Фруда

Напорные потоки – сила трения – критерий Рейнольдса.

При турбулентном движении в квадратичной области сопротивления характер течения не зависит от числа Re (это явление называется «автомодельность»).

В этом случае условия подобия определяются при Eu=idem и =idem (неизменность коэффициента Шези).

С помощью теории моделирования удается создать лабораторную модель так, что процессы, происходящие в ней подобны процессам, происходящим в натуре. Зная масштабные множители можно перевезти значения параметров, измеренные на модели, в натуральный масштаб.

Модель судна в бассейне, модель гидроэлектростанции в лаборатории.

Тема «Подобие» завершена.