|
éа |
-1 |
|
ù |
|
|
|
ê |
11 |
|
ú |
|
|
|
ê |
|
а22-1 |
|
ú |
|
é ù -1 |
ê |
|
а33-1 |
. |
ú |
(3.21) |
ëад û |
= ê |
|
|
ú . |
||
|
ê |
|
|
. |
ú |
|
|
ê |
|
|
. |
ú |
|
|
ê |
|
|
-1 |
ú |
|
|
ë |
|
|
аnn |
û |
|
Обращение квазидиагональных матриц требует значительно меньше расчетных операций, нежели в общем случае квадратной матрицы с произвольным расположением элементов. Это обстоятельство нашло определенное отражение в расчетах электрических систем и сетей большой сложности. Ряд методов, разработанных для этих расчетов, предусматривает приведение системы уравнений режима сети к такому виду, который позволяет в матричной форме записывать их с использованием квазидиагональной матрицы коэффициентов.
4. Задания к контрольной работе
Задача 1.
Найти произведение матриц.
Вариант №1
|
é1 2 3 ù |
|
é1 ù |
|
|
é1 2 3 ù |
|
|||
1. |
ê |
ú |
× |
ê |
ú |
= |
2. [пt ]× |
ê |
ú |
×[п ]= |
ê4 5 6 |
ú |
ê2ú |
ê4 5 6 |
ú |
||||||
|
ê |
ú |
|
ê |
ú |
|
|
ê |
ú |
|
|
ë7 8 9û |
|
ë3û |
|
|
ë7 8 9û |
|
|||
|
|
|
|
|
Вариант №2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
é1 0 0 ù |
|
é4 0 0ù |
|
|
|
|
|
é1 2 3 ù |
|
|
|||
1. |
ê0 2 0ú |
× |
ê0 5 0ú |
= |
2. [1 2 3]× |
ê4 5 6 ú |
= |
|||||||
|
ê |
ú |
|
ê |
ú |
|
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
|
ê |
ú |
|
ê |
ú |
|
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
|
ë0 0 3û |
|
ë0 0 6û |
|
|
|
|
|
ë7 8 9û |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Вариант №3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
é1 2 3 ù |
|
é1 0 0 ù |
|
|
é1 2 3ù |
é1 2 3 ù |
|
||||||
|
ê |
ú |
|
ê |
ú |
|
|
ê |
ú |
|
||||
1. |
ê4 5 6 |
ú |
× |
ê0 2 0ú |
= |
2. |
ê4 5 6ú |
× ê4 5 6 ú |
= |
|||||
|
ê |
ú |
|
ê |
ú |
|
|
ë |
|
û |
ê |
ú |
|
|
|
ë7 8 9û |
|
ë0 0 3û |
|
|
|
|
|
ë7 8 9û |
|
||||
|
|
|
|
|
Вариант №4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
é1 2 3 ù |
|
é1 4ù |
|
|
|
|
é1 2 3 ù é2ù |
|
|
||||
1. |
ê |
ú |
× |
ê |
ú |
|
2. [пt |
]× |
ê |
ú |
ê ú |
= |
||
ê4 5 6 |
ú |
ê2 5 |
ú = |
|
ê4 5 6 ú |
× ê4ú |
||||||||
|
ê |
ú |
|
ê |
ú |
|
|
|
|
ê |
ú |
ê ú |
|
|
|
ë7 8 9û |
|
ë3 6 |
û |
|
|
|
|
ë7 8 9û |
ë6û |
|
|
||
54
|
|
|
|
|
Вариант №5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
é1 |
2 3 ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é1 ù |
|
|||
1. [4 5 6]× ê4 5 6 ú ×[n ]= |
|
|
|
|
2. [2 4 6]× |
ê3ú |
= |
|||||||||||
|
|
ê |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
|
|
ê |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
|
|
ë7 8 |
9û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë5û |
|
|||
|
|
|
|
|
Вариант №6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
é1 3 5ù |
é1 2 3 ù |
|
|
|
|
|
é1 ù |
|
|
|
|
|
|
||||
|
ê |
|
ú |
|
|
|
|
|
ê |
ú |
× [2 4 6]= |
|||||||
1. ê2 4 6ú |
× ê4 5 6 ú × [п ]= |
|
|
|
2. |
ê3ú |
||||||||||||
|
ë |
û |
ê |
|
ú |
|
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë7 8 |
9û |
|
|
|
|
|
ë5û |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Вариант №7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
é1 2 3 ù é1 ù |
|
|
|
é1 2 3 |
ù |
|
é3 6 ù |
|
|
|||||||
|
1. |
ê |
ú |
ê ú |
= |
2. |
× |
ê2 5 |
ú |
= |
|
|||||||
|
ê4 5 6 |
ú × |
ê2ú |
ê |
|
|
|
ú |
|
|||||||||
|
|
ê |
ú |
ê ú |
|
|
|
ë4 5 6û |
|
ê |
|
ú |
|
|
||||
|
|
ë7 8 9û |
ë3û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê1 4ú |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Вариант №8 |
|
|
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
é1 0 0 ù é3ù |
|
|
[ |
|
] |
é1 2 3 ù |
[ ] |
|
|||||||||
|
ê |
ú ê ú |
|
2. |
t |
ê |
|
|
|
|
ú |
|
||||||
1. ê0 2 0ú |
× ê2ú = |
|
|
n |
× |
ê4 5 6 |
ú × 1 = |
|||||||||||
|
ê |
ú |
ê |
ú |
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
ë0 0 3û ë1 |
û |
Вариант №9 |
|
ë7 8 9 |
û |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
é1 0 0 ù é0 0 6 ù |
|
|
|
|
|
é1 2 3 ù |
|
|
|
||||||||
1. |
ê |
ú |
ê |
|
ú |
|
2. [1 ]× |
ê |
|
|
|
ú |
×[n ]= |
|||||
ê0 2 0ú × |
ê0 5 0ú = |
|
ê4 5 6 |
ú |
||||||||||||||
|
ê |
ú |
ê |
|
ú |
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
ú |
|
|
|
|
ë0 0 3û ë4 0 0û |
|
|
|
|
|
ë7 8 9û |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Вариант №10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
é1 0 0 ù é4 5 6 ù é2ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é2ù |
|
|||||
1. |
ê0 2 0ú × |
ê7 8 9ú × ê4ú = |
|
|
|
|
|
|
2. |
n |
× |
ê |
4ú |
= |
||||
|
ê |
ú |
ê |
|
ú ê ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ t |
] |
ê ú |
|
|
|
ê |
ú |
ê |
|
ú ê ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
ú |
|
|
ë0 0 3û ë1 2 3 û ë6û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë6û |
|
|||||
Задача 2.
В данной задаче необходимо разделить двумя из возможных способов граф электрической сети на дерево и хорды и записать для графа первую и вторую матрицы инциденций.
Необходимо нарисовать исходный граф и показать два из возможных вариантов на дерево и хорды. Над каждым из рисунков необходимо сделать соответствующую надпись «дерево» или «хорды».
55
Первую матрицу инциденций необходимо составить только для независимых узлов (т.е. за исключением базисного узла). За базисный узел следует принять последний по счету узел.
Перед составлением второй матрицы инциденций следует выбрать независимые контуры и направления их обхода(вторая матрица инциденций составляется только для независимых контуров схемы). На рисунке исходного графа укажите номера независимых контуров и направления их обхода.
|
Вариант №1 |
|
|
|
|
Вариант №2 |
|
|
||
3 |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
5 |
|
|
|
7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7 |
|
5 |
|
6 |
|
2 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
8 |
3 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
4 |
4 |
5 |
|
|
Вариант №3 |
|
|
|
|
Вариант №4 |
|
|
||
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
4 |
4 |
|
|
6 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
9 |
|
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
6 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
6 |
||
|
7 |
|
8 |
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
8 |
7 |
|
4 |
4 |
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
56
|
Вариант №5 |
|
|
|
|
Вариант №6 |
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
6 |
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
3 |
6 |
5 |
|
7 |
8 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5 |
4 |
|
4 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант №7
2
2 |
|
6 |
3 |
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
||||||
5 |
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант №9 |
|
|||||
4 |
|
5 |
5 |
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6 |
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
6 |
|
||||
3 |
|
|
|
10 |
|
|
|
7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
7 |
|
|||||
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
5 |
||
1 |
|
1 |
8 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
Вариант №8
2
3
5 4
1 3
Вариант №10
2 2
6 |
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
4 |
3 |
57
Задача 3.
Вэтой задаче необходимо для электрической сети, граф которой изображен на рисунке соответствующего варианта задания, рассчитать, используя алгебру матриц, некоторые параметры ее режима.
Решение данной задачи предполагается производить в два этапа: вначале выполняется решение в общем виде, записываются необходимые матричные уравнения и производятся их преобразования, затем показывается решение задачи в числах. Следует помнить, что задача должна быть решена так, чтобы все действия в ней, включая сложение и вычитание, выполнялись
сприменением алгебры матриц.
Вкачестве балансирующего узла для всех вариантов принять узел А.
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
J1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
||||||
4 |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
||||||
3 |
|
|
|
2 |
||||||
|
||||||||||
|
J3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
J2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант №1 Для сети, граф которой изображен на
рисунке, определить напряжение на ветвях и напряжения узлов относительно базисного узла. Известны задающие токи в узлахJ1=12 А: J2=25 А: J3=0, и сопротивления ветвей R1=1
Ом; R2=1,5 Ом; R3=0,5 Ом; R4=2 Ом.
J1
1
|
1 |
|
4 |
A |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
J4 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
J3 |
|
Вариант №2
|
Для сети, граф которой изображен на |
|
рисунке, определить напряжение на |
|
ветвях и напряжения узлов относи- |
|
тельно базисного узла. Известны за- |
J2 |
дающие токи в узлахJ1=10 А; J2=15 |
|
А; J3=20 А; J4=0 и сопротивления вет- |
2 |
вей R1=2 Ом; R2=1,5 Ом; R3=1 Ом; |
R4=1 Ом. |
58
|
|
|
J1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||
A |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
4 |
3 |
|
J2 |
||
|
|||||
|
|
|
|||
Вариант №3 Для сети, граф которой изображен на
рисунке, определить напряжение на ветвях и задающие токи в узлах. Известны напряжения узлов относительно базисного узлаUD1=-15,93 В; UD2=-27,36 В; UD3=-52,39 В и сопро-
тивление ветвей R1=1 Ом; R2=2 Ом; R3=5 Ом; R4=4 Ом; R5=2 Ом.
3
J3
|
|
J1 |
|
||
1 |
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
J2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
A
5 
3
J3
2
|
|
|
J2 |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
J1 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
J |
|||
1 |
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
4 |
|
J4 |
|
|
|
|
||||
Вариант №4 Для сети, граф которой изображен на
рисунке, определить напряжение на ветвях и задающие токи в узлах. Известны напряжения узлов относительно базисного узла UD1=-12,4 В; UD2=- 14,1 В; UD3=-13,17 В и сопротивление ветвей R1=1 Ом; R2=3 Ом; R3=2 Ом; R4=4 Ом; R5=5 Ом.
Вариант №5 Для сети, граф которой изображен на
рисунке, определить токи и потери мощности в ветвях при ее передаче от источников энергии А до потребителей Р и определить суммарные потери мощности в ветвях схемы. Известны токи потребителе J1=2 А; J2=3 А; J3=2 А; J4=5 А и сопротивления ветвей
R1=1 Ом; R2=2 Ом; R3=2 Ом; R4=1 Ом.
59
2 3
3
J2 2
4
J4
4
1
A
Вариант №6
|
Для сети, граф которой изображен на |
|
|
рисунке, определить токи и потери |
|
J3 |
мощности в ветвях при ее передаче от |
|
источника энергии А до потребителя |
||
|
||
|
Р и определить суммарные потери |
|
|
мощности в ветвях схемы. Известны |
|
J1 |
токи потребителей J1=5 А; J2=2 А; |
|
|
J3=1 А; J4=3 А и сопротивления вет- |
|
1 |
вей R1=1 Ом; R2=1 Ом; R3=2 Ом; R4=3 |
|
Ом. |
A
1
J1
1
2
4 
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|||||
|
|
||||||
|
|
J3 |
|
J2 |
|||
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
J3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант №7 Для сети, граф которой изображен на
рисунке, определить токи и потери мощности в ветвях и напряжения узлов относительно базисного узла. Известны напряжения на ветвяхUв1=90
В; Uв2=48,6 В; Uв3=-36,9 В; Uв4=85,5
В и сопротивления ветвейR1=1 Ом; R2=1 Ом; R3=2 Ом; R4=4 Ом.
Вариант №8 Для сети, граф которой изображен на
J2 рисунке, определить токи и потери мощности в ветвях и напряжения узлов относительно базисного узла. Из-
вестны напряжения на ветвях Uв1=18,4 В; Uв2=13,2 В; Uв3=1,15 В;
Uв4=30,45 В; Uв5=31,6 В и сопротив-
ления ветвей R1=1 Ом; R2=1 Ом; R3=4
Ом; R4=2 Ом; R5=5 Ом.
60
|
|
|
|
|
|
|
J1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
||||||
|
J3 |
|
|
|
|
|||
Вариант №9 Для сети, граф которой изображен на
рисунке, определить напряжение на ветвях и токи ветвей. Известны напряжения узлов относительно -ба зисного узла UD1=-150,25 В; UD2=190,5 В; UD3=130 В и сопротив-
ление ветвей R1=5 Ом; R2=4 Ом; R3=3
Ом; R4=2 Ом; R5=1 Ом.
|
|
|
|
|
|
Вариант №10 |
|
|
1 |
J1 |
|
|
|
Для сети, граф которой изображен на |
|||
|
|
|
|
рисунке, |
определить |
напряжение на |
||
|
|
|
4 |
|
|
|||
1 |
|
|
|
ветвях |
и токи |
ветвей. Известны |
||
|
|
|
J2 |
|||||
2 |
|
|
|
напряжения узлов относительно -ба |
||||
3 |
|
|
|
|||||
6 |
|
|
|
зисного узла UD1=-97,5 В; UD2=108 В; |
||||
A |
|
|
|
2 |
|
UD3=106,4 В и сопротивление ветвей |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
5 |
|
|
R1=5 Ом; R2=6 Ом; R3=4 Ом; R4=3 Ом; |
||
|
|
|
J3 |
|
R5=1 Ом; R6=2 Ом. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Формулы, применяемые для расчета параметров режима сети
|
Схема замещения не содержит замкнутых контуров |
|
Дано: |
|
Расчет: |
[J], [Zв] |
|
[Iв] = [C0] [J], ([C0] = [Ma]-1 или по графу) |
|
|
[Uв] = [Zв] [Iв] |
|
|
[UD] = [C0t] [Uвa] |
[Iв], [Zв] |
|
[J] = [M] [Iв] |
|
|
[Uв] = [Zв] [Iв] |
|
|
[UD] = [C0t] [Uвa], ([C0] = [Ma]-1 или по графу) |
[Uв], [Zв] |
|
[UD] = [C0t] [Uвa], ([C0] = [Ma]-1 или по графу) |
|
|
[Iв] = [Yв] [Uв], ([Yв] = [Zв]-1) |
|
|
[J] = [M] [Iв] |
[UD], [Zв] |
|
[Uв] = [Mt] [UD] |
|
|
[Iв] = [Yв] [Uв], ([Yв] = [Zв]-1) |
|
61 |
|