10. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица (2 стр. 24-25)

Теорема Гурвица гласит: все корни уравнения

будут иметь отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда все диагональные определители главного определителя положительны.

Главный определитель определяется следующим образом:

1. По главной диагонали в порядке возрастания индексов выписываются все коэффициенты от а₁ до а_n.

2. Каждая из строк дополняется влево коэффициентами с убывающими индексами, вправо – с возрастающими.

3. На месте отсутствующих коэффициентов ставятся нули.

Таким образом, условием устойчивости (отрицательности действительных частей корней) по критерию Гурвица являются:

1. Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительны – необходимое условие.

2. Все диагональные определители должны быть >0 – достаточное условие, то есть:

Рассмотрим примеры:

1. Установить, устойчива ли система, если характеристическое уравнение её имеет вид:

а) - так как коэффициент а₃ = 0, то есть, не выполнено необходимое условие, то система неустойчива.

б) -- система не устойчива.

2. Определить, при каких k система будет устойчива:

а)

б)

;

итак .

Область значения параметра, при котором САР устойчива, называют областью устойчивости САР по этому параметру.

Существенные недостатки критерия Гурвица:

1. Критерий лишен наглядности, носит формальный характер и ничего не говорит о качестве устойчивости, то есть насколько далека система от границы устойчивости.

2. Коэффициенты или параметры, характеризующие физические свойства звеньев системы, входят зачастую в столь сложных комбинациях, что практически трудно установить, какие именно параметры и каких звеньев следует изменить, чтобы обеспечить устойчивость САР.

3. Необходимо иметь аналитические уравнения звеньев и всей системы, что не всегда удобно.

11. Частотные критерии устойчивости Михайлова (2 стр. 26-27)

В основу частотных критериев исследования устойчивости САР положено следующее:

Если расположить корень р_i характеристического уравнения в комплексной плоскости и рассматривать вектор при измененииотдо, то каждый векторповернется на угол, если корень р_i расположен в правой части комплексной плоскости и на угол , если корень р_i расположен в левой части комплексной плоскости.

Таким образом, если принять, что k корней характеристического уравнения n-порядка имеют положительную вещественную составляющую, а (n-k) – отрицательную, то полином А(р)

(1)

при замене наи измененииотдополучит приращение аргумента:

. (*)

Для установившейся системы при изменении отдо, для неустановившейся .

Частотный критерий устойчивости Михайлова

Заменим в полиноме А(р) на, тогда:

, где U – вещественная часть полинома ,

V – мнимая часть полинома .

Функция называется характеристическим вектором.

На комплексной плоскости он может быть представлен в виде вектора. При изменении отдовекторсвоим концом опишет в комплексной плоскости кривую, которая называется годографом Михайлова или характеристикой кривой. Поскольку функцияявляется чётной функцией, а- нечётная, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси. Поэтому нет необходимости рассматривать весь годограф Михайлова, а достаточно рассмотреть лишь одну его часть, которая вычерчивает вектор при изменении отдо. Тогда из уравнения (*) следует, что для установившейся системы приращение аргумента векторапри измененииотдодолжно быть:

Полученное выражение и есть частотный критерий устойчивости Михайлова, в математической форме. Словами его можно выразить так:

САР устойчива тогда и только тогда, когда характеристический вектор при изменении от 0 допоследовательно обходит число квадратов, равное порядку характ-кого уравнения, нигде не обращается в нуль