16.1. Предположения, лежащие в основе модели линейного программирования

Ранее была продемонстрирована важность фактора ограниченно­сти ресурсов для принятия решения об ассортименте продукции. Наиболее выгодный (прибыльный) продукт — это не всегда продукт с наивыс­шей маржинальной прибылью на изделие. Наоборот, наиболее прибыль­ный продукт — это тот, который приносит наибольшую прибыль на еди­ницу ограничивающего ресурса или ограничивающего фактора, напри­мер такого, как имеющиеся суммарные машино-часы. На практике обычно существует более чем одно ограничение. Следовательно, про­блема заключается в максимизации суммарной маржинальной прибыли при данном множестве ограничений. Модель линейного программирова­ния (ЛП) используется при решении проблем, где предположение о ли­нейности является приемлемым.

Применяя модель ЛП, мы предполагаем, что только один фактор — объем выпуска — вызывает изменение в суммарных затратах на продук­цию. Все прочие затраты предполагаются фиксированными. Для многих краткосрочных решений это предположение достаточно приемлемо. Там, где это предположение неприемлемо, прибегают к другим моделям.

Пример. Определение оптимального ассортимента продукции. Компания производит моторы. На ее заводе собирают и испытывают мо­торы двух видов — для снегоходов и для лодок (подвесной). Каждая модель проходит два подразделения — цех сборки и цех контроля и испытаний.

Исходные данные:

Предположим, что цех работает с мотором одного вида. Из таблицы вид­но, что цех сборки может собирать максимум 200 моторов для снегоходов (300 машино-ч: 1,5 машино-ч/шт. = 200 шт.) или 150 шт. для лодок (300 маши-но-ч: 2,0 машино-ч /шт. = 150 шт.). Аналогично цех контроля и испытаний мо­жет протестировать 120 моторов для снегоходов (120 шт.: 1 ч = 120 шт.) или 240 лодочных моторов (120 шт.: 0,5 ч = 240 шт.).

Обобщим эти и другие релевантные данные. Отметим, что по моторам для снегоходов маржинальная прибыль на штуку составляет 200 ДЕ, а по ло­дочным моторам — 250 ДЕ на один мотор.

Известно также, что недостаток (некомплектность) исходных материа­лов для лодочных моторов будет ограничивать их производство до 126 мото­ров в день. Сколько моторов каждого вида должно быть произведено еже­дневно, чтобы получить максимальную прибыль?

16.2. Этапы решения проблемы линейного программирования

Проблема линейного программирования решается в три этапа:

1. Определение цели. Целевая функция выражает определенную цель, которая должна быть максимизирована (например, операционная прибыль) или минимизирована (например, операционные затраты).

2. Определение основных взаимосвязей. Эти взаимосвязи вклю­чают ограничения, выраженные как линейные функции. Ограничение — это математическое неравенство (или равенство), которому должны удовлетворять все переменные в математической модели.

3. Нахождение оптимального решения. В случае, когда в целевой функции только две переменные и количество ограничений небольшое, для нахождения оптимального решения можно использовать графиче­ский метод и метод проб и ошибок. В более сложных случаях, которые возникают на практике, необходимы специальные пакеты программного обеспечения, например симплекс-метод.

На данных нашего примера опишем три этапа решения проблемы ЛП. Напомним, что А — это количество произведенных моторов для снегохо­дов, а В — количество произведенных лодочных моторов.

Этап 1. Определение цели. Главная цель — найти комбинацию продуктов, которая максимизирует суммарную маржинальную прибыль. Линейная функция, которая выражает эту цель, такая:

суммарная маржинальная прибыль = 200 ДЕ • А + 250 ДЕ • В.

Этап 2. Определение основных взаимосвязей. Взаимосвязи мо­гут быть описаны неравенствами:

ограничение по цеху 1 (сборка) 1.5 • А + 2,0 • В ≤ 300;

ограничение по цеху 2 (контроль и испытание) 1,0 • А+0,5 • В ≤ 120;

ограничение из-за недостатка материалов

для изделия В В ≤ 126;

Так как отрицательное производство невозможно, A ≥ 0 и В ≥ 0.

На графике показаны три линии, характеризующие ограничения по цехам 1 и 2 и из-за недостатка материалов. Область возможных ре­шений на графике показывает границы возможных комбинаций изде­лий, т.е. комбинации количеств моторов для снегоходов и лодочных мо­торов, которые удовлетворяют всем ограничивающим факторам. На гра­фике эта область заштрихована.

Линейное программирование — графическое решение

Этап 3. Нахождение оптимального решения. Для нахождения оптимального решения рассмотрим метод проб и ошибок, а затем гра­фический метод.