2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Правило перевода целых чисел: для перевода целого числа N_р, представленного в системе счисления с основанием р, в систему счисления с основанием q необходимо данное число делить на ос­нование q (по правилам в системе счисления с основанием р) до получения целого остатка, меньшего q. Полученное частное снова необходимо делить на основание q до получения целого остатка, меньшего q, и т. д. до тех пор, пока последнее частное будет мень­ше q. Число N_q в системе счисления с основанием q представится в виде упорядочений последовательности остатков деления в по­рядке, обратном их получения. Причем старшую цифру числа N_q дает последнее частное.

Применительно к преобразованию десятичного числа в двоичную систему счисления процедуру удобно изобразить так, как показано на рис.1а: слева от вертикальной черты записывается точное частное, а справа – соответствующие остатки, из которых складывается искомое число. Стрелкой показано направление чтения результата. Если преобразовать двоичное число в десятичную систему, то действия выполняются в двоичной системе счисления, делителем является число 1010₍₂₎ =10₍₁₀₎ и процедура будет выглядеть так, как изображено на рис. 1б.

101000111 1010

1010 100000 1010

000000111 1010 0011

01100

1010

0010

327. 1

163. 1

83 1

40 0

20 0

10 0

5 1

2 0

1 1

а б

Результат: 327₍₁₀₎ = Результат: 101000111₍₂₎ =

=101000111₍₂₎ =0011 0010 0111_(10/2) =327₍₁₀₎

Рис.1. Перевод целого десятичного числа 327₍₁₀₎ в двоичное (а) и наоборот (б)

Нетрудно видеть, что преобразование по этому варианту удобнее всего осуществлять из десятичной системы счисления в любую другую, отличную от десятичной, так как при этом действия будут выполняться в десятичной системе счисления.

Правило перевода правильной дроби: перевод правильной дро­би N_р, представленной в системе счисления с основанием р, в си­стему счисления с основанием q заключается в последовательном, умножении этой дроби на основание q (по правилам в системе счис­ления с основанием р), причем перемножению подвергаются только дробные части. Дробь N, в системе счисления с основанием q пред­ставится в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения, где старший разряд являет­ся первой цифрой произведения. Если требуемая точность перевода есть q^-k, то число указанных последовательных произведений рав­но k.

Пример преобразования десятичного числа в двоичную систему счисления изображен на рис.2а. Стрелкой показано направление чтения результата. Здесь же показана и наиболее удобная форма записи процесса преобразования. Аналогичные вычисления и для перехода от двоичного числа к десятичному показаны на рис.2б.

n=[3*1/lg2]=10₍₁₀₎

0,374 0 ,0101111110

0,748 1010

1,496 0101111110

0,992 0101111110

1,984 0011 ,1011101100

1,968 0 ,1011101100

1,936 1010

1,872 01011101100

1,744 01011101100

1,488 0111 ,0100111000

0,976 0 ,0100111000

1010

0100111000

0100111000

0011 ,0000110000

Результат: 0,374₍₁₀₎= Результат: 0,0101111110₍₂₎=

=0,0101111110₍₂₎ =,0011 0111 0011_(10/2)=,373₍₁₀₎

а б

Рис.2. Перевод дробного десятичного числа 0,374₍₁₀₎ в двоичное (а) и наоборот (б)

Правило перевода неправильной дроби: для чисел, имеющих как целую, так и дробную часть, перевод из одной системы счисле­ния в другую осуществляется отдельно для целой и дробной части по правилам, указанным выше.