Приложение 2

Системы счисления

Система счисления — совокупность символов и правил для обозна­чения чисел. Все системы счисления разделяют на позиционные и непозиционные. Наиболее древними системами счисления являются непозиционные (в настоящее время они почти полностью заменены позиционными). Для этих систем числа представляются в виде по­следовательности цифр X=X1X2...Xk....Xn, в которой значение каждой цифры Хk зависит от места ее расположения в последовательности. Любое число в позиционной системе счисления с постоянным ос­нованием можно представить в виде

(1.1)

где q — основание системы счисления; хk — цифра k-го разряда числа; n— количество разрядов в числе; р — порядок числа (целое число, показывающее место запятой в числе).

Для изображения числа в настоящее время пользуются весьма совершенным позиционным способом записи, по которому одна и та же цифра имеет различные значения в зависимости от места, которое она занимает. За основание системы счисления можно взять любое целое число, большее единицы.

В практической деятельности наиболее употребительна десятичная позиционная система счисления, за основание в которой принято число десять. Например, число 538,118 является сокращенной записью выражения:

5 · 10² + 3 · 10¹ + 8 · 10⁰ + 1 · 10^-1 + 1 · 10^-2 + 8 · 10^-3.

Сокращенные записи применяются для изображения чисел, записанных и в других позиционных системах счисления.

Например, в восьмеричной системе счисления запись 213,75 означает, что рассматривается число

2 · 8² + 1 · 8¹ + 3 · 8⁰ + 7 · 8^-1 + 5 · 8^-2.

При решении многих практических задач применяются системы счисления, отличные от десятичной, В большинстве современных ЦВМ используется двоичная система счисления в силу простоты технического осуществления операций над двоичными числами. Кроме того, применяются восьмеричная, шестнадцатеричная и др.

Основание системы счисления, с одной стороны, определяет ко­личество различных цифр (символов), допустимое для данной си­стемы счисления, а с другой — число, показывающее, во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса цифры соседнего стар­шего разряда.

Для представления в ЭВМ любого n-разрядного числа (без уче­та знака) необходимо либо n физических элементов с q устойчивы­ми состояниями, либо nk_х элементов с двумя устойчивыми состоя­ниями (где k_х — минимально необходимое число двоичных разря­дов, требующихся для представления (кодирования) любой цифры числа с основанием q, выбирается из условия q  2^kx). Для перво­го случая, если рассматриваемые физические элементы для любого числа устойчивых состояний одинаковы по своим основным пара­метрам (надежность, быстродействие, габариты, стоимость), наи­более рациональной системой счисления с точки зрения минимума оборудования для представления числа в ЭВМ будет система с большим основанием q. Однако в настоящее время элементы с бо­лее чем двумя устойчивыми состояниями (декатроны, трохотроны и др.) имеют существенные недостатки по указанным выше основным параметрам, поэтому в ЭВМ в основном нашла применение непривычная нам в повседневной жизни десятичная система счисле­ния, а двоичная и так называемые двоично-кодированные системы счисления.