1. Двоичная система счисления

В этой системе счисления для представления любого разряда двоичного числа достаточно иметь один физический элемент только с двумя резко различимыми устой­чивыми состояниями, одно из которых изображает 1, другое — 0 (это, в свою очередь, обеспечивает высокую надежность представ­ления чисел при минимальной сложности оборудования);

К достоинствам двоичной системы также относятся:

• простота выполнения арифметических и логических операций и, как следствие, простота устройств, реализующих эти операции;

• возможность использования аппарата алгебры логики для ана­лиза и синтеза операционных устройств.

Неудобством двоичной системы счисления является ее громозд­кость по сравнению с десятичной для использования человеком и необходимость преобразования десятичных чисел в двоичные и наоборот. Однако учитывая то обстоятельство, что многие матема­тические задачи требуют сравнительно небольшого количества ис­ходных данных по сравнению с объемом вычислений, этот недоста­ток становится несущественным.

Для двоичной системы счисления правила выполнения арифме­тических операций над двоичными числами остаются такими же, как и для десятичной системы счисления. Основой выполнения арифметических операций являются следующие таблицы сложе­ния, вычитания и умножения одноразрядных чисел:

Таблица 9

Таблица а	Таблица б	Таблица в
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0 х 0 =0
0 + 1 = 1	1 – 0 = 1	0 х 1 = 0
1 + 0 = 1	1 – 1 = 0	1 х 0 = 0
1 + 1 = 0 + единица переноса в старший разряд	10 – 1 = 1 ( с учетом заема единицы в старшем разряде)	1 х 1 = 1

Сложение двух чисел в двоичной системе можно выполнить столбиком, начиная с младших разрядов. При этом в каждом раз­ряде складываются две цифры одноименных разрядов (в соответ­ствии с табл. 9) и единицы переноса из соседнего младшего разря­да, если он имел место. В результате сложения получим цифру соответствующего разряда суммы и возможную единицу переноса в старший соседний разряд.

Сложение чисел 22 и 31 в двоичной системе идет следующим образом:

1-е слагаемое 10110₍₂₎ = 22₍₁₀₎

2-е слагаемое 11111₍₂₎ = 31₍₁₀₎

110101₍₂₎ = 53₍₁₀₎

Вычитание чисел, как и сложение, также выполняется столби­ком (в соответствии с табл. б). Особым случаем является тот, ког­да необходимо занимать единицу из соседнего старшего разряда, которая равна двум единицам данного разряда.

Умножение двоичных многоразрядных чисел осуществляется последовательным сложением частичных произведений, каждое из которых (в соответствии с табл. е) равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов, если в разряде множителя стоит единица, или нулю, если в разряде множителя стоит ноль.

Пример. 1101₍₂₎ = 13₍₁₀₎

1011₍₂₎ = 11₍₁₀₎

1101 13

1101 13

100111

0000

100111

1101

10001111₍₂₎ = 143₍₁₀₎

Деление двоичных чисел производится аналогично делению де­сятичных чисел, но с учетом специфики операции вычитания двоич­ных чисел. Положение занятой результата умножения и деления определяется так же, как и для десятичных чисел.

Деление производится так же, как в десятичной системе.

Пример. 10010111 1011

Отделим в делимом пять цифр, так как четыре цифры дадут числа меньше делителя. Делитель в нем содержится один раз. Вычтем делитель из делимого и найдем остаток.

10010111  1011

1011

0111

Сносим единицу, получаем 1111. Затем, считая остаток делимым, продолжаем деление. В итоге получим: 10010111 1011

1011 1101

01111

01011

010011

01011

01000

В десятичной системе счисления имеем:

151₍₁₀₎ 11₍₁₀₎,

11 13

41

33

8

т. е. разделив 10010111₍₂₎ = 151₍₁₀₎ на 1011₍₂₎ = 11₍₁₀₎, получим в частном 1101₍₂₎ = 13₍₁₀₎ и в остатке 1000₍₂₎ = 8₍₁₀₎.

Вообще говоря, в машине производится сдвиг не частичного произведения, а делимого (так же, как в десятичных вычислительных машинах типа арифмометр).