Системы счисления

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам, с помощью символов некоторого алфавита.

Символы алфавита, которые используют для записи чисел, называют цифрами.

Цель создания системы счисления - выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.

Удобная система счисления должна обладать следующими свойствами:

• простота и краткость записи на материальном носителе

• однозначность представления

• удобство выполнения арифметических операций над числами

• легкость и наглядность обучения основам работы с числами

Системы счисления бывают:

1. Позиционные (десятичная)

2. Непозиционные (римская)

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен.

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Причины, по которой она оказалась общепринятой, совсем не математического характера. Десять пальцев рук – вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался с доисторических времен. По пальцам удобно считать от одного до десяти. Сосчитав до десяти, т.е. использовав до конца возможности нашего природного «счетного аппарата», естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу (единицу следующего разряда).

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Каноническим примером непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

Системы счисления, используемые в компьютерах:

Двоичная система счисления.

Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Восьмеричная система счисления.

Для записи чисел используется восемь чисел 0,1,2,3,4,5,6,7.  

Шестнадцатеричная система счисления.

Для записи чисел в шестнадцатеричной системе необходимо располагать уже шестнадцатью символами, используемыми как цифры. В качестве первых десяти используются те же, что и в десятичной системе. Для обозначения остальных шести цифр (в десятичной они соответствуют числам 10,11,12,13,14,15) используются буквы латинского алфавита – A,B,C,D,E,F.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную.

Правило перевода чисел из системы с основанием М в десятичную:

Для того чтобы число из любой системы счисления перевести в десятичную систему счисления, необходимо его представить в развернутом виде и произвести вычисления.

(Развернутая форма числа - это запись, которая представляют собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.)

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую.

Правило перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием N:

1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных на N до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления N – записать в обратном порядке (снизу вверх).

Правило перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием N:

1. Последовательно выполнять умножение исходного числа и получаемые дробные части на N до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не достигнем требуемую точность.

2. Полученные при таком умножении целые части - числа в системе счисления N – записать в прямом порядке (сверху вниз).

Правило перевода произвольных (смешанных) чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием N:

Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляют в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.