Исследование операций / ИСО Учебник
.pdf
|
Стратегии фирмы |
|
СтратегиифирмыС2 |
||
|
|
|
|
||
|
С1 |
|
|
|
|
П1 = |
|
S12 |
S22 |
||
|
|
|
|
||
S11 |
7 |
0 |
|||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
S21 |
0 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стратегии фирмы |
|
СтратегиифирмыС2 |
||
|
|
|
|
||
|
С1 |
|
|
|
|
П2 = |
|
S12 |
S22 |
||
|
|
|
|
||
S11 |
|
3 |
0 |
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
S21 |
|
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
Легко видеть что при данной игре равновесными будут пары (S11, S12) и (S21, S22). Тем не менее пары (S11, S22) и (S21, S12) не равновесны, и, более того, выигрыши в равновесных точках различны. Таким образом, предварительное соглашение было бы выгодно в данной игре, но оно запрещено правилами.
Пример второй ситуации известен в литературе как «Дилемма заключенного».
Два преступника ожидают приговора суда за совершенное злодеяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок по сфабрикованному обвинению в незначительном преступлении. Каждый заключенный имеет на выбор две стратегии: не сознаваться (S11 и S12) или сознаваться (S21 S22), выдав при этом сообщника. Если разумно назначить полезность, то можно получить следующие платежные матрицы:
|
Стратегии заклю- |
стратегиизаключенного 2 |
||
|
|
|
|
|
|
ченного 1 |
|
|
|
П1 = |
S12 |
S22 |
||
|
|
|
|
|
S11 |
5 |
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
S21 |
10 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стратегии |
стратегиизаключенного 2 |
||
|
|
|
|
|
|
заключенного 1 |
|
|
|
П2 = |
S12 |
|
S22 |
|
|
|
|
|
|
S11 |
5 |
|
10 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
S21 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
Легко видеть, что (S21 S22) – единственная равновесная пара стратегий. Однако, если оба игрока сыграют не правильно, то их неравновесные стратегии (S11, S22) дадут им больший выигрыш.
41
Тема 4.5. Игры с непостоянной суммой. Кооперативные игры.
Лекция 4.5.1 Кооперативные игры без перевода и платежей.
Кооперативной игрой называется игра с непостоянной суммой, в которой игрокам разрешается обсуждать перед игрой свои стратегии и договариваться о совместных действиях; иначе говоря, игроки могут образовывать коалиции. Основная задача в кооперативной игре состоит в дележе общего выигрыша между членами коалиции. Следует различать кооперативные игры с побочными платежами, в которых платежи являются переводимыми, и игры без побочных платежей, в которых платежи непереводимы.
Предполагается, что в кооперативной игре без перевода платежей игроками игре достигают некоторого соглашения о согласовании использования своих стратегий. При этом игроки стремятся вступить в сговор с целью получить возможность использовать свои эффективные стратегии, тем самым получить больший выигрыш от их использования. В случае, если не удалось им скоординировать свои действия, то каждый игрок получит некоторый фиксированный платеж Т, называемый платеж при угрозе. Так при индивидуальном участии в игре платеж при угрозе может быть оценен как максиминный.
Т1 =max min П1i j , |
(4.5.1) |
i j |
|
где Т1 – платеж при угрозе игрока 1 при известной платежной матрице
{Пij1}.
Принципы решения кооперативной игры без перевода платежей сформулированы Дж. Нэшем.
На примере случая создания коалиции из 2-х игроков, где каждый игрок максимизирует свой выигрыш, (рис. 4.5.1) они включают:
1)Множество общих выигрышей игроков П1 и П2 является выпуклым, замкнутым и ограниченным сверху.
2)Игрокам известны значения платежей при угрозе Т1 и Т2..
3)Необходимость создания коалиции осознается игроками только на верхней границе допустимо множество и только на множестве Парето оптимальных решений, это множество на котором увеличение выигрыша одного из игроков возможно только за счет изменения выигрыша партнера. Иными словами, игроки не находясь не на верхней границе допустимого множества
42
(рис.4.5.1), где игроки могут улучшать свое положение индивидуально создавать коалиции не будут. Коалиция может быть образована только при выходе на верхнюю границу (рис. 4.5.1). Переговорное множество о создании коалиции есть платежи из множества Парето оптимальных решений суженных значениями платежей при угрозе Т1 и Т2.
4)Игра симметрична, т.е. решение не зависит от того, какие номера присвоены игрокам.
5)Игра инвариантна относительно монотонно линейных преобразований платежей.
6)Решение игры не зависит от заведомо не эффективных стратегий, т.е. решение не изменится если исключить их из рассмотрения.
7)Если условия 1) – 6) выполнить, то единственным равновесным ре-
шением по Нэшу является пара платежей (П1* ;П2* ), которые максимизируют произведение превышения этих платежей над платежами при угрозе
П1П2 |
( |
П1 |
−Т1 |
)( |
П2 |
−Т2 |
) |
(4.5.2) |
max |
|
|
|
Графическое решения дано на рис. 4.5.1
43
Заштрихованная часть плоскости соответствует множеств возможных платежей; это множество выпукло, так как игроки могут применять смешанные стратегии. Прямой линией на границе множества отмечена «передовая линия» платежей, т.е. множество всех пар платежей, которые удовлетворяют допущению оптимальности по Парето. Точкой угрозы является точка Т, а решением Нэша является точка S, в которой передовая линия платежей достигает линии наибольшего уровня. Линии уровня в данном случае – это равносторонние гиперболы с центром в Т. Решение является единственным, т.е. множеству всех точек на передовой линии платежей, в которых выигрыши игроков больше, чем в точке угрозы.
В общем случае кооперативные игры получаются в тех ситуациях, когда, в игре n игроков разрешается образовывать определенные коалиции. Обозначим через N множество всех игроков, N= {1,2,…, n}, а через К – любое его подмножество. Пусть игроки из К договариваются между собой о совместных действиях и, таким образом, образуют одну коалицию. Очевидно, что число таких коалиций, состоящих из r игроков, равно числу сочетаний из n по к, то есть Cnr ? А число всевозможных коалиций равно
n |
|
∑Сnr =2n −1 |
(4.5.3) |
r=
Из этой формулы видно, что всевозможных коалиций значительно растет в зависимости от числа всех игроков в данной игре. Для исследования этих игр необходимо учитывать все возможные коалиции, и поэтому трудности исследований возрастают с ростом n. Образовав коалицию, множество игроков К действуют как один игрок против остальных игроков, и выигрыш этой коалиции зависит от применяемых стратегий каждым из n игроков.
Функция υ , ставящая в соответствие каждой коалиции К наибольший, уверенно получаемый его выигрыш υ (К), называется характеристической функцией игры. Так, например, для бескоалиционной игры n игроков υ (К) может получиться, когда игроки из множества К оптимально действуют как один игрок против остальных N К игроков, образующих другую коалицию
(второй игрок).
44