Исследование операций / ИСО Учебник

Наращенная сумма ренты в этом случае будет иметь вид:

Постоянная непрерывная рента

Во всех рассмотренных выше рентах предполагалось, что члены потока платежей поступают дискретно – через фиксированные интервалы времени (периоды ренты). Вместе с тем иногда более адекватное описание потока платежей достигается, когда он воспринимается как непрерывный процесс. Например, когда отдача от инвестиций происходит так часто, что в целом этот поток можно рассматривать как непрерывный. Предположение о непрерывности в определенных условиях увеличивает возможности количественного анализа, особенно при анализе сложных производственных долгосрочных инвестиций.

Рассмотрим методы расчета наращенной суммы и современной стоимости в этом случае, а также расчет некоторых параметров, характеризующих постоянную непрерывную ренту, при условии, что применяется годовая дискретная процентная ставка.

61

Для непрерывной ренты р → ∞. Найдем коэффициент приведения такой ренты, обозначив его как an;i . Для этого необходимо найти предел коэф-

фициента приведения p-срочной ренты при р → ∞

Формулы (79), (80) предполагают непрерывное поступление платежей и дискретное начисление процентов. Более "естественным" является положение, когда оба процесса (поступление денег и наращение процентов) непрерывны. Для получения формул соответствующих коэффициентов необходимо воспользоваться формулами эквивалентности между непрерывными и дискретными ставками:

где δ – сила роста. В этом случае формулы (79), (80) будут преобразованы к виду

62

Следует отметить, что формулы (79), (80) и (82), (83) будут давать одинаковые результаты только в случае эквивалентных ставок.

Конверсия рент

В практике иногда сталкиваются со случаями, когда на этапе разработки условий контракта или даже в ходе его выполнения необходимо в силу каких-либо причин изменить условия выплаты ренты, т.е. произвести кон-

вертировании условий, предусматриваемых при выплате финансовой ренты.

Простейшими случаями конверсии являются: замена ренты разовым платежом (выкуп ренты), или наоборот, замена разового платежа рентой (рассрочка платежа). К более сложному случаю относится объединение нескольких рент с разными характеристиками в одну – консолидация рент. Общий случай конверсии – замена ренты с одними условиями на ренту с другими условиями.

Конверсия рент широко применяется при реструктурировании задолженности. При этом нередко условия погашения долга смягчаются, однако принцип эквивалентности соблюдается и в этих случаях.

Рассмотрим основные случаи конверсии рент.

Выкуп ренты. Этот вид конверсии сводится к замене ренты единовременным платежом. Искомый размер выкупа должен быть равен современной стоимости выкупаемой ренты. Применяемая при расчете современной стоимости процентная ставка должна удовлетворять обе участвующие стороны.

Рассрочка платежей. Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму и стороны согласились, что задолженность будет погашена частями – в рассрочку, то последнюю удобно осуществить в виде выплаты постоянной ренты. Задача обычно заключается в определении одного из параметров этой ренты – члена ренты или ее срока – при условии, что остальные параметры заданы. Для этого приравнивают современную стоимость ренты к сумме долга инаходят неизвестные параметры.

Объединение (консолидация) рент. Объединение рент заключается в замене нескольких рент одной, параметры которой необходимо определить.

63

Из принципа финансовой эквивалентности следует равенство современных стоимостей заменяющей и консолидированных рент.

ТЕМА 3. ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Лекция 7. КРЕДИТНЫЕ РАСЧЕТЫ

Вопросы, рассматриваемые в лекции

1.Кредитные расчеты.

2.Расходы по обслуживанию долга

3.Погасительный фонд

4.Постоянные взносы в фонд. Изменяющиеся взносы

5.Погашение долга в рассрочку

6.Переменные расходы по займу

Расходы по обслуживанию долга

Разработка плана погашения займа заключается в составлении графика (расписания) периодических платежей должника. Такие расходы должника обычно называют расходами по обслуживанию долга. Расходы по обслуживанию долга включают как текущие процентные платежи, так и средства, предназначенные для погашения основного долга.

Методы определения размера срочных уплат существенно зависят от условий погашения долга, которые предусматривают:

3срок займа,

3продолжительность льготного периода,

3уровень и вид процентной ставки,

3методы уплаты процентов и способы погашения основной суммы долга.

Вльготном периоде основной долг не погашается, обычно выплачиваются проценты. Впрочем, не исключается возможность присоединения процентов к сумме основного долга. В долгосрочных займах проценты обычно выплачиваются на протяжении всего срока займа. Значительно реже они начисляются и присоединяются к основной сумме долга. Основная сумма долга иногда погашается одним платежом, чаще она выплачивается частями – в рассрочку.

64

Все методы планирования погашения долга использует результаты, полученные при анализе финансовых рент.

Введем обозначения:

D – сумма задолженности; Y – срочная уплата;

I – проценты по займу;

R – расходы по погашению основного долга; g – ставка процента по займу;

п – общий срок займа;

L – продолжительность льготного периода.

Расходы по обслуживанию долга (срочная уплата) находятся как

Если в льготном периоде выплачиваются проценты, то расходы по долгу в этом периоде сокращаются до Y =I.

Погасительный фонд

Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга обычная мера заключается в создании погасительного фонда. Необходимость формирования такого фонда иногда оговаривается в договоре выдачи займа в качестве гарантии его погашения. Разумеется, создание фонда необязательно надо связывать с погашением долга. На практике возникает необходимость накопления средств и по другим причинам, например, для накопления амортизационных отчислений на закупку изношенного оборудования и т.п.

Погасительный фонд создается из последовательных взносов Должника (например, на специальный счет в банке), на которые начисляются проценты. Таким образом, должник имеет возможность последовательно инвестировать средства для погашения долга. Сумма взносов в фонд вместе с начисленными процентами, накопленная в погасительном фонде к концу срока, должна быть равна его сумме. Взносы могут быть как постоянными, так и переменными во времени.

65

Постоянные взносы в фонд

Задача разработки способа погашения долга, в том числе и в виде плана создания погасительного фонда, заключается в определении размеров срочных уплат и составляющих их элементов в зависимости от конкретных условий займа.

Пусть накопление производится путем регулярных ежегодных взносов R, на которые начисляются сложные проценты по ставке i, которая определяет темп роста погасительного фонда. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g, которая определяет сумму выплачиваемых за заем процентов. В этом случае срочная уплата составит

Обе составляющие срочной уплаты постоянны во времени, при этом первое слагаемое определяется величиной долга и процентной ставкой по займу. Найдем вторую составляющую – R.

Пусть фонд должен быть накоплен за N лет. Тогда взносы, уплачиваемые в фонд, образуют постоянную ренту с параметрами: R, N, i. Пусть рента будет постнумерандо, тогда

где sN.i – коэффициент наращения постоянной ренты со сроком N. В целом срочная уплата будет определяться формулой:

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется формулой (88):

66

Данный способ погашения долга через создание фонда является выгодным должнику только тогда, когда i > g, так как в этом случае должник на аккумулируемые в погасительном фонде средства получает больше процентов, чем сам выплачивает за заем. Чем больше разность i - g, тем, больше экономия средств должника, направляемая на покрытие долга. В противном случае, преимущества создания фонда пропадают – финансовые результаты для должника оказываются такими же, как и при погашении долга частями.

Накопленные за t лет средства фонда определяются по формулам наращенных сумм постоянных рент или рекуррентно:

Изменяющиеся взносы

При решении задачи о создании погасительного фонда возможен другой подход – использование изменяющихся во времени сумм взносов. В этом случае следует использовать результаты, полученные для переменных рент.

Рассмотрим частный случай, когда взносы в фонд следуют арифметической прогрессии:

R, R + a, R + 2a,…, R + (t-1)a;

Rt= R+ a(t-1), t= 1,..., N.

Тогда срочные уплаты изменяются во времени по правилу (90):

Так как взносы в фонд следуют арифметической прогрессии, разность которой равна а, первый член – R, то последняя величина определяется следующим образом:

67

Процентные платежи образуют убывающую арифметическую прогрессию с первым членом Dg и разностью —dg.

Срочная уплата в конце первого года находится как

Y1 = Dg + d.

Для конца года t срочная уплата будет равна

где Dt – остаток долга на конец года t.

Остаток долга можно определять последовательно через реккурентное соотношение:

Если долг погашается р раз в году постнумерандо и с такой же частотой выплачиваются проценты, каждый раз по ставке g/p, то срочная уплата составит:

Остаток задолженности на конец года t в этом случае составит

У рассмотренного метода амортизации задолженности есть одно положительное свойство – простота расчетов. Однако, как мы только что убеди-

69