Исследование операций / ИСО Учебник

где р2j - вероятность выбрать j-ю стратегию; j=1,2,…,n, причем можно брать

Отметим, что чистые стратегии можно рассматривать как частный случай смешанной стратегии, когда вектор вероятностей представляет собой единичный вектор. Так, вектор-строка (0, 1, 0, ….., 0) означает, что игрок 1 выбирает вторую строку матрицы – вторую чистую стратегию, поскольку вероятность выбрать ее равна единице.

Переход к описанию игры в смешанных стратегиях фактически означает переход от выбора игроком из ограниченного числа чистых стратегий и выбору из бесконечного числа смешанных стратегий.

Основной теоремой в теории игр двух лиц с нулевой суммой является теорема о минимаксе, доказанной Дж. Нейманом, согласно которой любая конечная игра имеет решение, если допускается использование смешанных стратегий2. Вполне определенная игра имеет решение в области чистых стратегий, причем это решение может быть не единственным. Не полностью определенная игра имеет решение возможно не единственное, при котором хотя бы один из игроков применят случайное комбинирование (смешивание) стратегий.

Так как при выборе стратегий используется вероятностный подход, то выигрыш игрока 1 (проигрыш игрока 2) уже является не некоторым отдельным элементом платежной матрицы, а взвешенным средним значением элементов, причем в качестве весов этой матрицы берутся вероятности. Так, ожидаемый выигрыш (математическое ожидание выигрыша) игрока 1 в предположении, что он использует вектор вероятностей р1=( р11 , р12 ,.........р1m ), а игрок 2 применяет свою j-ю стратегию, равен

2 Для бесконечных игр теорема о минимаксе не выполняется. Например, такие игры, как игра, в которой два игрока записывают какие-либо числа и написавший большее число выигрывает некоторую сумму у противника, не имеют решений ни в чистых, ни в смешанных стратегиях.

25

где П=(Пij) – платежная матрица, а еj есть j-й единичный вектор. Игрок 1, стремящийся достичь наибольшего из гарантированных ожидаемых выигрышей, выбирает вектор вероятностей так, чтобы получить максимум минимальных значений ожидаемых значений ожидаемых выигрышей. Если обозначить

Ожидаемый выигрыш (математическое ожидание выигрыша) игрока 2 в предложении, что он использует вектор вероятностей р2=( р12 , р22 ,......, р2n )', а

Цель игрока 2 – достичь минимума максимальных значений ожидаемых платежей

Следовательно, игрок 2 выбирает р2 так, чтобы

Согласно теореме о минимаксе, существуют решения для (4.3.24) и (4.3.22) – р1* и р2*. Если положить, что цена игры равна:

то при любых векторах вероятностей р1 и р2 выполняются соотношения

26

Лекция 4.3.3. Связь теории игр двух лиц с нулевой суммой и линейного программирования.

На связь между линейным программированием и теорией игр впервые указал в 1947г. Дж. Нейман, а несколько позже Дж. Данциг показал, что любой конечной игре с нулевой суммой соответствует некоторая модель линейного программирования. И наоборот, при доказательстве теоремы о минимаксе используется теорема двойственности линейного программирования. Общий метод нахождения смешанных оптимальных стратегий для обоих игроков заключается в построении соответствующей игры с заданной платежной матрицей П = {Пij} (i =1, m; j =1, n ) задачи линейного программирования и ее решения. Решение прямой и двойственной к ней задачи дает оптимальные стратегии игроков. Значение целевой функции определяет цену игры.

То, что игрок 1 рассматривает минимальные ожидаемые выигрыши, мы записали ранее с помощью выражения (4.3.20). Это условие можно представить и в форме линейных неравенств:

j = 1, 2, …, n.

Если, как и прежде, обозначить символом 1 вектор-вектор строку из единиц, то эти неравенства можно записать в эквивалентной форме

Задачу игрока 2, который минимизирует максимальные платежи, также можно сформулировать как задачу линейного программирования:

28

Эти две задачи являются двойственными задачами линейного программирования, что легко видеть из таблицы 4.3.1.

Табл. 4.3.1.

Двойственные задачи определения оптимальных смешанных стратегий, представленные в форме таблицы для задач линейного программирования.

j=1

для того, чтобы сумма вероятностей равнялась единице. Так как для каждой из задач существует допустимый вектор (например, единичные векторы), то по теореме существования теории линейного программирования эти задачи имеют решения р1* и р2* соответственно. Но по теореме двойственности

где V – цена игры.

29

Таким образом, теорема о минимаксе теории игр вытекает из теоремы двойственности теории линейного программирования. Кроме того, из теоремы о дополняющей нежесткости следует, что

m

Часто соотношения (4.3.35) называют сильной теоремой о минимаксе. Эта теорема утверждает, в частности, что если при некоторой чистой стратегии игрока 2 ожидаемый выигрыш игрока 1 превосходит цену игры, то игрок 2 избирает эту стратегию с нулевой вероятностью.

В общем случае следует ожидать, что в игре двух участников с нулевой суммой оба игрока применяют свои оптимальные смешанные стратегии. В частном случае вполне определенной игры оптимальной смешанной стратегией будет такая стратегия, в которой чистой стратегии, соответствующей седловой точке, приписана вероятность, равная единице, т.е. векторы оптимальных стратегий единичные. Вообще число нулевых элементов в векторе оптимальной смешанной стратегии не должно превышать минимальное количество чистых стратегий, имеющихся в распоряжении каждого игрока.

Для поиска оптимальных смешанных стратегий игроков как правило используется симплекс-метод, предварительно для упрощения применяя методы уменьшения размерности задачи.

Зачастую для уменьшения размерности игры используют метод доминирования строк и столбцов платежной матрицы П={Пij} (i =1, m; j =1, n ).

Как правило говорят, что k-ая строка платежной матрицы П доминирует i-ую строку (т.е. одна чистая стратегия игрока 1 доминирует другую), если

30

При этом k-ая строка есть доминирующая стратегия, а i-ая строка доминируемая стратегия игрока 1. для второго игрока l-ый столбец есть доминирующая стратегия, а j-ый столбец – доминируемая стратегия.

Смысл этого состоит в том, что доминирующая стратегия никогда не хуже, а в некоторых случаях лучше, чем доминируемая стратегия. Из этого следует, что игрок может исключить из рассмотрения доминируемую стратегию, так как вероятность ее использования будет равна нулю. То есть доминируемые стратегии могут быть исключены из платежной матрицы, что позволит уменьшить ее размерность.

Например, рассмотрим игру со следующей платежной матрицей П:

Третья строка доминирует вторую, исключение второй строки приводит к матрице П:

методы решения, например, графические.

31

Лекция 4.3.4. Графические методы решения игр двух лиц с нулевой суммой

Для игр, в которых хотя бы один игрок имеет только две чистые стратегии, используется графический метод решения для поиска оптимальных смешанных стратегий.

Игрок 1 выбирает свою первую стратегию

Рис. 4.3.4. Графическое решение игры для игрока 1

Здесь по оси абсцисс откладывается значение р12 - вероятность того, что игрок 1 избирает вторую стратегию (вторую строку матрицы). Так как р12 = 1 - р11 , то точки 0 и 1 соответствуют двум чистым стратегиям – выбору соответственно стратегии (строк) 1 и 2. По оси ординат откладывается величина выигрыша игрока 1, а каждая из проведенных линий соответствует некоторой чистой стратегии, выбранной игроком 2. Например, если игрок 2 выбирает первый столбец, то выигрыш игрока 1 равен либо 6 при выборе им первой строки ( р12 = 0), либо – 4, если он избирает вторую строку ( р12 = 1). Вели-

32

чина выигрыша, равная 6, отложена по вертикальной оси в левой части чертежа, а величина выигрыша, равная – 4, представлена отрезком, отложенным по вертикали в правой части. Выигрыши, которые можно получить при любой из смешанных стратегий, соответствуют точкам прямой, соединяющей концы этих отрезков. Поскольку игрок 1 рассматривает прежде всего наихудшие для себя варианты, то единственным геометрическим местом точек, которое соответствует осуществимым стратегиям, являются два отрезка, сходящиеся в форме перевернутой буквы V. Это геометрическое место точек показано линией со штрихом. Точки этих отрезков отвечают наименьшим значениям ожидаемых выигрышей игрока 1, которые он может получить при той или иной вероятности выбрать вторую строку. Максимальному выигры-

шу соответствует р12* = 178 . Это можно показать либо геометрически, либо решая алгебраическое уравнение

Графическое решение данной игры относительно игрока 2 дано на рис.

4.3.5.

Выигрыш игрока 2

П

Рис. 4.3.5 Графическое решение игры для игрока 2

33

Исходя из решения игры относительно игрока 1, мы можем исключить третью стратегию второго игрока, тогда платежная матрица будет иметь

Решая алгебраическое уравнение

В общем случае решение игр с размерностью платежных матриц (2 х n) либо (m х 2) сводится к решению игры размерности (2 х 2) следующим образом:

1)Строится графическое решение игры для игрока с двумя стратегиями. Выделяется нижняя граница игры (в случае размерности игры (2 х n). Либо выделяется верхняя граница для игры (в случае размерности (m х 2)).

2)Устанавливается наибольшая ее ордината, которая равна цене игры V (в случае размерности (2 х n)) либо наименьшая ордината (в случае игры

(m х 2)).

3)Находится пара стратегий, пересекающихся в точке с наибольшей ординатой для игрока 2 (размерность (2 х n)), либо с наименьшей ординатой для игрока 1 (размерность игры (m х 2)). Выбирается данная пара стратегий и этим игра сводится к игре с размерностью (2 х 2).

4)Для выбранных стратегий решаются алгебраические уравнения для определения смешанных стратегий игроков.

34