Линал экзамен 1курс(2)

1 Линейные ур-ия. Системы лин.ур.

Имеет вид a1x1+a2x2+…+anxn=b

• Тривиальное 0x1+0x2+…+0xn=0 имеет бесконечное мн реш, подходит любой вектор

• Противоречивое 0x1+0x2+…+0xn= b не имеет ниодного решения, никакой вектор ему не может удовл

• Один из коэф не=0можно решить отн х

Любой и-мерный векторХ = (X1, Х2 ... , Х_n) называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Системы лин уравнений

а₁₁Х₁ +а₁₂Х₂ + …+а_1nх_n =b₁,

a_2jX₁ +а₂₂Х₂ + +а_2nх_n =b₂,

ai1x1 + a_i2x₂ + ... + ainx_n = b_i,

аm1x₁ +а_т2Х₂ + ... +атnх_n =b_m,

Решением системы уравнений называется такой n-мерный вектор Х = (Х1,Х2 ... , х_n), который является решением каждого из уравнений системы.

Система является разрешенной,если каждое уравнение системы является разрешенным относительно своей неизвестной,которая не повторяется.

Общее решение с-мы-выражение разреш неизвестных через b и свободные неизв. Частное решение-общее при подстановке значений своб переменных; Базисное-частное, соответствующее нулевым значениям своб.переменных

Преобразования

Разрешение основывается на 2 элементарных преобразованиях- преобр Жордана

1)если обе части системы увеличить на число не =0 – равносильность не нарушится.

2)2 уравн можно сложить и 1 заменить суммой

Классификация систем л ур

Совместные: определенные единственное решение, неопределенныемножество; несовместныенет решений

Если число резреш неизв в разреш системе совпадает с числом уравнений, то система определенная; если неизв меньше, то система неопределенная

Метод Жордана Гаусса

1)Проверяем не является ли система несовместной(есть противоречивые ур-иянеовместна)

2)сокращение числа уравнений. Есть тривиальное-вычерк

3) если система разрешена- пишем общее решение и част

4)если нет, разрешаем.выбираем разрешающий элемент

Лин зависимость

Линейная комбинация векторов а1 а2 аn c коэфф  -- 1a1+2a2+…+nan=

Сист векторов (A1,a2,..an) лин независима, если ее линейная комбинация = только при нулевом наборе коэффиц. Система лин зависима, если лин комбинация= и существует ненулевой набор коэфф

Нашли ненулевойX, подставили в систему, она =0завис

Свойства

1)Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.

2)Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

3)Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

4)Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

5)Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)

Базис системы векторов-такая ее подсистема B1 B2 Bn которая линейно независима и по которой разлагается любой вектор системы.

Алгоритм нахождения базиса:

1)соствить систему уравнений

2)привести к равносильной разрешенной системе

3)составить базис Б,включив в него векторы соответствующие разрешенным неизвестным

4)записать разложение по базису( коэффициентами будут координаты вектора)

5)система может иметь несколько базисов. вместо к будет r

Теорема Кронекера Капелли о совместности.

Для того,чтобы система была совместна,необхдимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу матрицы

Фундаментальная система решений для однородной системы уравнений .

1.Если имеется некоторое К решений однородной системы, то К, где  некоторое число, так же является решением этой системы. Действительно, так как АК = , А(К) = (АК) =  = .

2.Если векторы К1, К2 являются решением однородной системы уравнений, то К1 +К2 так же являются её решением. Т.к. АК1 = , АК2 = , то А(К1+К2) = АК1 +АК2=  +  = 0

Следствие, если векторы К1, К2, …, Кn являются решениями однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинация, так же является решением этой системы.

Фунд. Сист. Реш. Однор. Сист. Ур–ий. Называется линейной независимая система векторов – решений системы F1,F2,…,Fk, по которой разлагается любое решение системы, т.е. любое решение системы уравнений равно X=F1t1+F2t2 + … +Fktk. Где t – вещественные числа.

Теорема, если ранг матрицы системы однородных уравнений R меньше числа неизвестны N, то система уравнений имеет фундаментальную систему решений, состоящую из N-R векторов – решений.

МАТРИЦЫ.

Матрицей размерности n на m, называется таблица чисел (элементов)содержащая n строк и m столбцов. Транспонированная матрица – матрица А, с переставленными соответствующими строками и столбцами местами.

Любую матрицу можно умножить на любое число,при этом все элементы матрицы умножатся на это число.

Две матрицы одной размерности можно сложить

A+B =B+A; (µ+)A=A+µA; (A+B)=A+B; (µA)=(µ)A

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если АА^-1 = А^-1А=Е. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц, т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадает.

Теорема. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы, является её не вырожденность. Матрица называется невырожденной если её система векторов столбцов линейно независима, то есть r = n.