ЛинПрог измененные полностью
.doc
|
Линейное программирование 34. Предмет ЛП. Матем модель эк зад Линейное программирование - техника поиска максимального значения функции, которое удовлетворяет системе ограничений. Математической моделью эк задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих рассматриваемый эк процесс. Найти экстремум целевой ф-ции задачи Z(x)=f(x1, x2,…, xn)→max(min) и соответствующие ему переменные, если они удовлетворяют системе ограничений φi (х1, х2,…, хn) = b (i=1,2…e) φi (х1, х2,…, хn) > < (или равно)0 (i=e+1, e+2 … m)
Z(x)=c1x1+c2x2+…+cnxn → max (min) a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 ……………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm xi ≥ 0
35. Общая задача линейного программ-ия Математическое программирование – это раздел высшей математики, занимающийся решением задач, связанных с экстремумом функции нескольких переменных при наличии ограничения на них. Построение экономико-математической модели состоит из следующих этапов: 1)выбор переменных задач 2)составление системы ограничений 3)построение целевой функции Переменными задачами наз величины х1, х2,…, хn, которые полностью характеризуют экономический процесс. Х=(х1,…,хn ) Х – переменные задачи Система ограничений включ в себя систему ур-ний и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других условий. Целевой ф-цией наз ф-цию переменных задач, которая характеризует качество выполненной задачи, и экстремум которой надо найти (должно удовл системе ограничений) Если целевая ф-я и сист ограничений линейны, то задача матем программ наз зад лин программ Допустимым решением(планом) задачи лин прогр-вания наз любой n-мерный в-р, удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицат. К=(k1,…,kn) Множество допустимых решений(планов) задачи образуют область определения допустимых решений(ОДР). Оптимальным решением(планом) задачи лин прогр-ния наз такое допустимое решение, при котором целевая ф-ция достигает экстремума.
36. Мат.модели эк.задач. 1) задача исп-я ресурсов; b – запасы ресурсов, aij – расход каждого i-ого вида ресурса на изготовление единицы j-ой продукции, сj – прибыль Z(x)=c1x1+c2x2+…+cnxn → max a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2 ……………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm xi ≥ 0 2) задача о составлении рациона питания; b- животные должны получать ежедневно не менее b, aij – содержание jого пит вещества в единице jого вида корма, cj – стоимость единицы jого вида корма. Z(x)=c1x1+c2x2+…+cnxn → min a11x1+a12x2+…+a1nxn≥b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn≥b2 ……………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn≥bm xi ≥ 0
3) транспортная задача.
37. Каноническая форма линейного прогр-ния Задача лин прогр-ния наз канонической, если все ограничения есть уравнения, а переменные неотрицательны. Различные формы записи задач лин прогр-ния: 1)Координатная форма записи задач: Z(x)=c1x1+c2x2+…+cnxn → max (min) a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 ………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm xi ≥ 0 Или: Z(x)=Σcixi → max(min) Σ aijxj=bi xj≥0
2)Векторная форма записи задач: Х=(х1, х2,…хn) C=(c1, c2,…cn) a11 b1 A1 = a21 ; B = b2 … … am1 bm
Z(x) = C*X → max (min) A1x1+A2x2+...+Anxn=B X ≥ Ø
3) Матричная форма записи: a11…a1n A= ……… am1…amn
Z(x) = C*X → max (min) A*X=B X ≥ 0
38. Приведение общей задачи ЛП к канон.форме: (1) a1x1+a2x2+…+anxn ≤ b1 прибвим xn+1 так, чтобы лев.часть стала равна пр.ч. a1x1+a2x2+…+anxn+ xn+1 = b1, где xn+1= b1 - a1x1 - a2x2 -…- anxn (xn+1-дополн.перем.)
Теорема. Каждому решению ß(β1…βn) нер-ва (1) соотв.единств.реш-е след.сис-мы: a1x1+a2x2+…+anxn+ xn+1 = b1 (2) xn+1≥ 0 Каждому реш-ю сис-мы (2) соотв.единств.реш-е нер-ва (1) Док-во:1) пусть ß – реш-е нер-ва a1β1+a2β2+…+anβn ≤ b1 (3) 0≤b1-a1β1-a2β2-…-anβn = βn+1 Если подст. βi в (2) вместо xi: a1β1+a2β2+…+anβn+(b1-a1β1-a2β2-…-anβn)=b1 b1=b1 2) a1β1+a2β2+…+anβn+ βn+1=b1 (4) βn+1≥0 Отбросим βn+1 из (4). Т.к. βn+1 – неотриц., отбросив ее, получим нер-во (3).
Замечание. Дополн.неизвест.не влияют на цел.ф-ю (т.е.вводятся с коэф-м 0). Замечание. В зав-ти от знака нер-ва дополн.перем.надо либо прибав., либо вычит.
48. Правила составления двойственной задачи 1)Во всех ограничениях основной задачи неизвестные стоят слева,а свободные переменные справа 2)В ограничениях-неравенствах знаки должны быть направлены в одну сторону 3)Если в исходной задаче в ограничениях стоят знаки ≤,то целевая ф-ия максимизируется, если ≥,то-минимизируется. 4)Каждому ограничению исходной задачи соответствует неизвестная в двойственной задаче,при этом неизвестная,соответствующая ограничению-нер-ву,должна соответствовать условию неотрицательности,а неизвестная,соответствующая ограничению-равенству может быть любого знака. 5)Целевая ф-ия двойственной задачи имеет вид F(Y)=Σbi*yi+C0, где yi–неизвестные двойственной задачи,bi–свободные члены в ограничениях основной задачи, С0–свободный член целевой ф-ии основной задачи Z(x)= Σ cj*xj +C0 6)Целевая ф-ия F должна оптимизироваться с противоположным по сравнению с Z смысле(если ф-ия Z максимизируется,то F-минимизируется и наоборот) 7)Каждому неизвестному в исходной задаче соответствует ограничение в двойственной(n). Все ограничения двойственной задачи имеют вид неравенств,в к-ых свободные члены находятся справа,а неизвестные y-слева. Все знаки нер-в-ограничений имеют вид ≥,если ф-ия F минимизируется,все знаки имеют вид ≤,если ф-ия F максимизируется.
49. Первая теорема двойственности 1) Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение,то и двойственная к ней имеет оптимальное решение,причём значения целевых ф-ий на своих оптимальных решениях совпадают. 2)Если одна из пары двойственных задач не имеет решения ввиду неограниченности целевой ф-ии,то и другая не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений. Док-во:
50. Вторая теорема двойственности Для того,чтобы допустимые решения X=(x1 ,x2 ,xn ) и Y=(y1 ,y2 ,yn ) являлись оптимальными решениями пары двойственных задач необходимо и достаточно,чтобы выполнялись следующие равенства: Xj(Σ aij yi – cj)=0 j=1,2….,n Yi(Σ aij xj – bi)=0 i=1,2….,m Другими словами: Если при подстановке оптимального решения в систему ограничений i-е ограничение выполняется как строгое неравенство,то i-ая координата двойственной задачи=0 и наоборот если i-ая координата оптимального решения положительна,то i-ое ограничение двойственной задачи удовлетворяется оптимальным решением как равенство.
|
39. Графический метод решения ЗЛП. ЗЛП нзв плоской, если кол-во перем-ых равно 2. ОДР имеет вид многоуг-ка, т.к. кажд.нер-во – полуплоскость. Цел.ф-я – прямая. Прямая линия, ур-е кот.получ.из цел.ф-и, если приравнять ее константе, нзв линией уровня. Лин.ур-ня, имеющая общ.точки с ОДР и располож.так, что ОДР наход.в одной из полуплоскостей, нзв опорной прямой. ОДР любой задачи имеет не более двух опорных прямых, на одной из которых может находиться оптимальное решение.
Алгоритм реш-я плоской ЗЛП граф.методом: *Строим обл.допуст.реш-й; *Строим в-р n(c1;c2) с началом в т.(0;0); *Строим лин.ур-ня, соотв.ур-ю с1х1+с2х2=0; *Лин.ур-ня перемещаем || самой себе до полож-я опор.прямой. На этой прямой и будут наход.знач-я max и min в зав-ти от вида ОДР и цел.ф-и кол-во решений может быть различно.(если одр явл пустым множеством след реш нет, если линия уровня уходит в бесконечность, то задача не имеет решений ввиду неограниченности цел ф-ии, если целевая функция достигает экстремума в двух угловых точках, то бесконечное множ-во решений. Опт решением явл любая выпуклая линейная комбинация этих точек) *после нахожд опт реш вычислить значение целевой ф-ии.
40. Графический метод решения задачи лин прогр-ния с n переменными(неизвестными). Данным методом могут решаться задачи только имеющие каноническую форму и удовлетворяющ условию: n-r≤2, где n-число неизвестных; r-ранг системы в-ров-условий. *методом жордана-гауса приведем сист уравнений-ограничений задачи к равносильной разрешенной. Одновременноисключим разрешенные неизвестные из целевой ф-ии *запишем в преобразованном виде *отбросим в уравнениях-ограничениях неотриц разрешенные неизвестные и заменим знак равенства на знак ≤, получим вспомогат задачу ЛП с двумя перменными *решаем графически *находим оптимальное решение *вычисляем мин значение цел ф-ии *находим опт решение исходнойзадачи. Для этого используем систему ограничений в разрешенном виде
41. Вид ОДР плоской задачи. Оптим.реш-я плоской задачи. Для плоской ЗЛП ОДР – это выпуклый многоугольник, кот.может быть как замкнут., так и незамкнут.
Оптим.реш-е плоской задачи. Лемма: пусть задана ЗЛП. Возьмем произвольн.т. А и В ОДР. Известно, что n – нормальный в-р цел.ф-и. Построим отрезок АВ и совместим начало n с т.А. Обознач. угол между отрез.АВ и в-ром n.
OA=OB-AB Z(A)= n OA=n(OB-AB)=nOB - nAB = Z(B) - |n||AB|cos; т.к. |n||AB|>0, лемма доказана.
Теорема: Если плоская ЗЛП имеет оптим.реш-е, то одно из них нахож.в вершине многоуг-ка ОДР => опт.реш-е будет вершиной. Доказательство: 1) Докажем, что оптимальное решение не может находиться внутри ОДР(от противного). Z(A) – max
2) Докажем, что оптимальное решение не принадлежит стороне многоугольника, если угол между норм в-ром и стороной не равен 90 градусов
3) Если нормаль перпендикулярна стороне, то любая точка этого отрезка есть оптимальное решение.
Вывод: оптим.реш-е будет как минимум в одной вершине.
42. Опорное реш-е ЗЛП Опор. (базис.) реш-ем нзв такое допуст.реш-е Х=(х1, х2,…,хм, 0,…,0), для кот.в-ра условий, соотв.положит.коорд-там А1, А2, … , Ам, явл.лин.независ.системой в-ров («допуст.базисное реш-е») Базисом опор.реш-я нзв базис системы в-ров-условий (А1-Ам), влюч.в свой состав в-ра, соотв.отличным от 0 коорд-там опор.реш-я. Теорема: любое опор.реш-е есть угловая точка ОДР. И наоборот: любая угловая точка ОДР есть опор.реш-е. Каждое опорное решение явл базисным, но не каждое базисное явл опорным.
51. ТЗЛП.
52. Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи Для того,чтобы транспортная задача лин.программирования имела решение необходимо и достаточно,чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей. ai= bj –задача с правильным балансом
Ранг системы в-ров-усл-й ТЗЛП равен m+n-1/
53. Понятие цикла.Условие опорности допустимого решения. Метод вычёркивания проверки опорности решения задачи. Циклом называется такая последовательность клеток таблицы (I ;j ), (I ; j ), (I ; j )…..(I ;j ) в к-й 2 и только 2 соседние клетки цикла расположены в одной строке или столбце,причём первая и последняя тоже находятся в одной строке или столбце. Цикл-замкнутая ломаная линия. Допустимое решение транспортной задачи-X является опорным т/т/т,когда из занятых клеток таблицы нельзя составить ни одного цикла. Метод вычёркивания: для проверки возможности образования цикла используется так называемый метод вычёркивания,к-й состоит в следующем. Если в строке или столбце таблицы одна занятая клетка,то она не может входить в какой-либо цикл,т.к цикл имеет 2 и только 2 клетки в каждой строке или в столбце. След-но,можно вычеркнуть все строки таблицы,содержащие по одной занятой клетке,затем вычеркнуть все столбцы,содержащие по одной занятой клетке,далее вернуться к строкам и продолжить вычёркивание строк и столбцов. Если в результате вычёркиваний все строки и столбцы будут вычеркнуты,значит,из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть,образующую цикл,и система соответствующих векторов условий является лин.-независимой,а решение-опорным. Если же после вычёркиваний останется часть клеток,то эти клетки образуют цикл,система соответствующих векторов условий линейно зависима,а решение не является опорным.
|
43. Допустимые преобразования канонической задачи
Элементарные преобразования канонической задачи Элемент преобраз канонич зад лин прогр-ния наз следующие преобразования: 1)умножение любой строки системы уравнений на число, не равное 0 2)прибавление к любой строке сист ур-ий другой строки, умноженной на число не равное 0 3)прибавление к целевой строке любой строки систему ур-ий, умноженной на число не равное 0 4)вычеркивание нулевой строки в системе уравнений Теорема. Элементарные преобразования явл допустимыми, т.е. переводят канонич задачу в эквивалентную ей каноническую задачу. Доказательство: а11 а12… а1n b1 k ………… ... am1 am2… amn bm -c1 -c2… -cn 0
а11 а12 … а1n b1 ………… ... am1 am2 … amn bm ka11-c1 ka12-c2 … ka1n-cn kb1
Z’(x)=(c1- ka11)*x1 + (c2- ka12)*x2 +…+(cn- ka1n)*xn+ kb1=c1x1+ c2x2+ …+ cnxn+ k(b1– a11x1– a12x2- … -a1nxn)=Z(x) + k(a11x1+ a12x2+ …+ a1nxn– a11x1– a12x2 - … - a1nxn)=Z(x)
44. Разрешенная каноническая задача лин прогр-ния Канонич задача лин прогр-ния наз разрешенной, если выполняются следующие условия: 1)свободные коэффиц системы ур-ий неотрицательны 2)система ур-ий явл разрешенной 3)разрешенные неизвестные не входят в целевую строку а11 а12 … а1n-m 1 0 … 0 b1 a21 a22 … a2n-m 0 1 … 0 b2 ……… …………..………….. (2) аm1 аm2 … аmn-m 0 0 … 1 bm -c’1 -c’2… -c’n-m 0 0 … 0 C’0 bi≥0; i=1,2…m
Задача: Имеется канонич задача (1), необходимо получить (2). Если в правой части системы (1)имеются отрицательные коэффиц, необходимо умножить эти строки на (-1), надо воспользоваться методом Жордана Гаусса. 1)Выбираем столбец, в котором присутств хотя бы один положительный коэффициент. 2) Матрицу расширяем еще на один столбец 3) Запишем в этом столбце отношение коэфф выбранного столбца 4) Те отношения, для которых значение 0, вычеркнем. Оставшиеся отношения назовем допустимыми. 5)Наименьшее допустимое значение указывает на строку, в которой выбираем разрешающий элемент. Преобразование Жордана Гаусса с разрешающ элементом, выбранным по выше изложенной схеме для всей таблицы наз симплексным преобразованием. Теорема. Симплексное преобразование разрешенную канонич задачу переводит в эквивалентную разреш канонич задачу.
Базисным решением разрешен канонич задачи наз базисное решение системы уравнений (2). Xб=(0: 0…0; b1,b2,…bm) Z(xб)=c1*0+c2*0+….+cn-m*0+0*b1+0*b2+….+0*bm+C0=C0
Преобразование целевой ф-ции при переходе от одного опорного решения к другому. а11 а12 … а1n-m 1 0 … 0 b1 a21 a22 … a2n-m 0 1 … 0 b2 ……… …………..………….. аm1 аm2 … аmn-m 0 0 … 1 bm -c1 -c2 … -cn-m 0 0 … 0 C0
1) –с1< 0 => Z’>Z 2) –с1> 0 => Z’<Z 3) –с1= 0 => Z’=Z
45. Симплексный метод решения задач Симплексный метод основывается на след:
Основное содержание симплексного метода: Найти нач опорн реш; Осущ переход от опорного к оптимальному; Определить критерии завершения процесса решения задачи, позволяющие своевременно прекратить перебор решений на оптимальном или сделать заключение об отсутствии реш-я
*привести к канонич виду при необходимости *найти начальное опорное решение. Если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решений ввиду несовместности сист огранич *если выполняется признак единственности опт решения, то решение зад закончено *если выполняется условие сущ бесконечности опт решений (в цел ф-ии есть 0 в столбце, соттв векторам не вошедших в базис), то выбираем в этом столбце разреш эл и решаем методом жордана-гауса *если есть условия отсутствия опт решения(при выборе разреш элемента в столбце все эл ≤ 0), ввиду неограниченности целевой ф-ии *если пункты 3-5 алгоритма не выполняя, то находим новое опорное решение и возвр к пункту 3
54. Метод минимальной стоимости. Позволяет построить опорное решение, которое достаточно близко к опт. Состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы , соотв мин стоимости, и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы заканчиваются. Потребитель исключается если его запросы удовлетворены. На каждом шаге искл либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик еще не исключен, но его запасы равны 0, то на том шаге, когда от него требуется поставить груз, в ссотв клетку ставим базисный ноль и лишь затем поставщик искл из рассмотрения.
55. Переход от одного опорного решения к другому. Означенный цикл. Сдвиг по циклу. В транспортной задаче этот переход осуществляется с помощью цикла. Теорема: Если таблица ТЗ содерж.опор.реш-е, то для люб.свобод.клетки таблицы сущ.единств.цикл, содерж.эту клетку и часть клеток, занятых опор.реш-ем. Сдвигом по циклу на величину θ называют увеличение объёмов перевозок во всех нечётных клетках, отмеченных знаком “+” и уменьшение на ту же величину θ во всех чётных клетках,отмеченных знаком “-”. Если таблица ТЗ содержит опорное решение,то при сдвиге по любому циклу,содержащему одну пустую клетку,на величину θ (θ =min“-“(xij)),снова получаем опорное решение.
56. Распределительный метод решения ТЗ. Была пустая клетка (l;k). С этой клеткой построим цикл. Тогда для этой клетки можно построить некую величину ∆lk=ΣCij-Σ Cij Из суммы стоимостей под знаком “+”вычитаем сумму стоимостей под знаком “-”.Если ∆lk<0,то введение этой пустой клетки в базис позволит уменьшить целевую ф-ию на величину ∆Z=θ*∆lk Вывод: (признак оптимальности реш-я ТЗ) В кажд.пустой клетке оценка ∆lk неотрицательна. Алгоритм: 1) Находим нач.опорное решение 2) Выбираем пустую клетку (l;k) и строим для неё означенный цикл 3) Вычисляем оценку для этого цикла (∆lk) 4) Если оценка ≥0,то переходим к следующей пустой клетке; если оценка отрицательна производим сдвиг по циклу на величину θ(θ=min(x )) и получаем новое опорное решение. 5) далее опять пункт 2 6) повторяем этот пункт до получения оптимального решения.
57. Метод потенциалов.Его алгоритм. Суть метода заключается в том,чтобы упростить нахождение оценок для пустых клеток. Рассматривается группа неравенств u +v =c при положит.значениях объёмов перевозок,получаем систему уравнений. m+n-1 уравнений,m+n неизвестных Для того,чтобы найти решение системы одной из неизвестных присваиваем значение 0. Группа нер-в u +v ≤c u +v -с=∆ij Алгоритм: 1) Строим нач.опорное решение 2) Проверяем его опорность методом вычёркивания 3) Строим систему потенциалов,соответствующих этому опорному решению для чего составляем и решаем систему ур-й для всех занятых клеток,при этом присваивая одному из потенциалов значение 0(как правило тому,к-е чаще всего встречается) 4) Вычисляем оценки свободных клеток и отрицат.оценки записываем в левый верхний угол(если все оценки неотриц.,то решение опорное) 5) Для всех клеток с отриц.оценками строим цикл и определяем параметр θ 6) Строим новый цикл с началом в той пустой клетке,где ∆ik*θik=max(по модулю) 7)Далее см.пункт 3 И так продолжаем до получения оптимального опорного решения. Замечание: если при сдвиге по циклу 0 образуется в нескольких клетках,то одну из них оставляем пустой,а в остальных ставим базисные нули,чтобы число занятых клеток было m+n-1.
58. Особенности реш-я ТЗ с неправ.балансом. 1) Если суммарные запасы поставщиков превосходят сум.запросы потреб-лей, в сис-ме ограничений первую группу ур-й Σxij=ai следует заменить нерав-ми: Σxij≤ai. Для приведения к канон.форме вводят дополнительные перем-е. =>чтобы задача имела реш-е, необходимо ввести фиктивного потребителя с запросами bn+1, равными разности сум.зап.пост.и запр.потр., и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза. 2) Если суммарные запросы потребителей превышают сум.запасы поставщиков, вторая группа ур-й сис-мы ограничений Σxij=bj заменяется неравенствами: Σxij≤bj =>чтобы задача имела реш-е, необходимо ввести фиктивного поставщика с запасами аm+1, равными разности сум.зап.пост.и запр.потр., и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза.
Замеч.: при составлении нач.опор.реш-я в послед.очередь следует распред.запасы фиктивного поставщика/удовл.запросы фикт.потреб., несмотря на то, что им соотв.мин.стоимость перевозок.
|
46. Теорема (об улучш.опор.реш-я). Если в задаче лин прогр-ния на max(min) хотя бы один из коэфф-ов целевой строки (-ck) явл отрицательным (положительным), то опорное решение может быть улучшено, т.е. можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой ф-ции будет больше (меньше). Следствие №1(условие наискорейшего нахождения оптимума): Для обеспечения изменения целевой ф-ции в сторону оптимальности при переходе от одного опорного решения к другому, необходим ыбор в-ра, вводимого в базис опорного решения, производить из условия: 1) в задаче на max => - ck <0. 2) в задаче на min => - ck>0. В случае нескольких вариантов выбираем столбец из условия: |min θk*ck| = max Следствие №2 Признак оптимальности опорного решения: Опорное решение задачи лин прогр-ния на max (min) явл оптимальным, если все коэф-ты в целевой строке разрешен канонич задачи неотрицательны (неположительны). Следствие №3 Признак единственности оптимал решения: Оптимал решение задачи лин прогр-ния явл единственным, если все коэф-ты в целевой строке разрешен канонич задачи положительн (отрицательны). Следствие №4 Признак существования бесконечного множ-ва оптимальных решений: Задача лин прогр-ния имеет бескон множество решений, если в целевой строке есть коэф-ты=0 в столбцах, соответствующих векторам, не входящим в базис. Следствие №5 Признак отсутствия оптимальности решения ввиду неограниченности целевой функции: Задача лин прогр-ния не имеет решения ввиду неогранич целевой ф-ции, если при выборе разрешающего столбца, соответствующего обеспечению оптимальности решения все коэф-ты вектора условий отрицательны 47. Понятие о двойств.задачах. Мат.модель 2-ной ЗЛП. Имеется m-видов сырья b1,……bn, к-ые используются для производства n-видов продукции. Введём переменную aij-расход i-го сырья на изготовление единицы j-й продукции. Сj–прибыль от реализации единицы i-го вида продукции, Xj–объём выпуска j-й продукции Z(x)=c1x1+c2x2+…+cnxn →max a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2 ………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm xj≥0 Предположим, что имеется 2-й производитель(2-я фирма) тоже производит какую-то продукцию и ей требуется то же сырьё, что и для 1-й. Рассматриваем задачу условий продажи сырья 1-й фирмы 2-й Y=(y1,y2,…ym)-вектор цен единицы i-го вида сырья F(Y)=b1y1 +b2y2+….+bmym →min a11y1+a21y2+…+am1ym≥c1 a12y1+a22y2+…+am2ym≥c2 ………………………… a1ny1+a2ny2+…+amnym≥cn yi≥0 Мы построили двойственную или сопряжённую исходной задачу. Матрица коэффициентов сопряжённой задачи является транспонированной матрицей коэффициентов исходной задачи. Математические модели двойственных задач Симметричные пары 1) Z(x)=C*X=> max F(y)=Y*B=>min A*X≤B Y*A≥С x≥Ø Y≥Ø 2) Z(x)=C*X=>min F(y)=Y*B=>max A*X≥B Y*A≤C X≥Ø Y≥Ø Несимметричные пары 1) Z(x)=C*X=>max F(y)=Y*B=>min A*X=B Y*A≥C X≥Ø 2)Z(x)=C*X=>min F(Y)=Y*B=>max A*X=B Y*A≤C X≥Ø
C=(c1,c2,…..,cn) Y=(y1,y2,….,yn)
x1 b1 X = x2 ; B = b2 … … xn bm a11 a12 ... a1n A= a21 a22 ... a2n .................... am1 am2 ... amn
|
