Матем_лекции_ 1сем_гр.,2621,2721
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
http://www.foxitsoftware.com |
For evaluation only. |
|
|||||||
|
В.3. Уравнения кривых 2-го порядка |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3.1. Уравнение окружности |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пусть дана окружность радиуса R с центром в т. О (хо, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
уо). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда нормальное уравнение окружности имеет |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О (хо, уо) |
|
|
|
|
|
(х-хо)2 + (у-уо)2 = R2 |
(15) |
|
|||||||
b |
|
|
|
|
|
|
В частности, если центр окружности совпадает с |
|||||||||
M(x,y) |
|
|
|
|
началом координат, то уравнение имеет вид: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 + у2 = R2 |
(16) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
a |
|
X |
|
|
Рассмотрим уравнение 2-й степени с двумя |
||||||||||
|
|
|
|
|
переменными в общем виде: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Ey + F = 0, |
(17) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в котором А, В и С не равны нулю одновременно, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т.е. А2 + В2 + С2 0. |
|
|
|
|
|
||||
|
Для того, чтобы уравнение (17) |
было уравнением окружности, необходимо, чтобы В=0, |
||||||||||||||
А=С 0, т.е. |
|
|
|
Ах2 + Ау2 + Dx + Ey + F = 0 |
(18) |
|
|
|||||||||
|
При этом действительная окружность получается, если |
D2 + E2 4AF. Центр такой |
|
|||||||||||||
окружности расположен в точке |
D |
E |
, а радиус равен |
R |
|
|
D2 E2 4AF |
. |
|
|
||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2A |
2A |
|
|
|
|
2A |
|
|
|
|
|
Уравнение (18) называется общим уравнением окружности.
Если разделить его на А 0 и дополнить члены, содержащие х и у до полного квадрата,
получим уравнение (15): х
D 2 |
|
|
|
|
y |
|
||
2A |
|
E |
2 |
D2 E 2 4AF |
. |
|
|
|
|
|
|
|
4A2 |
|||
2A |
|
|
Пример 6. Найти координаты и радиус окружности х2 у2 16у 9 0 .
3.2. Уравнение эллипса
Пусть в уравнении (17) В=0, но А С. Тогда (17) можно переписать в виде:
|
|
|
|
|
|
|
А(х-хо)2 + С(у-уо)2 = , |
(19) |
||||
где |
|
|
D |
|
|
E |
|
D2 |
|
E2 |
|
|
xo |
|
2A |
; yo |
|
2C |
; |
4A2 |
4C2 F; |
|
|||
|
|
Если при этом А и С имеет одинаковые знаки, то уравнение (19) есть уравнение кривой, которая называется эллипсом (кривой эллиптического типа) с центром в точке с координатами
(хо, уо).
Если центр эллипса находится в начале координат, то
Если А 0, C 0, 0. |
|
|
|
Ах2 + Су2 = |
(20) |
||||||||||
Получается каноническое уравнение эллипса |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y2 |
|
|
(21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
с полуосями a |
|
|
;b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A |
C. |
х2 + у2 = а2. |
|
||||||||||
При a = b - это уравнение окружности |
|
(Если < 0, то кривая не имеет действительных точек; если =0, то кривая представляет собой одну точку (0;0)).
31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точки F1 (-c; 0) и F2 (c; 0), где c |
a2 |
b2 , |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называются фокусами эллипса, |
а отношение |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
- его эксцентриситетом. |
|
|
|
|
|||||||
M(x,y) |
|
|
В1 |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Он характеризует форму эллипса. Очевидно, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
А1 |
|
|
А2 |
|
X |
|
|
что 0 1, причем для окружности ε=0. |
||||||||||||||||||||
F1 |
|
|
F2 |
|
|
|
Точки |
А1(-а;0), |
А2(а;0), В1(0;b), |
В2(0;-b) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
называются вершинами эллипса. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
В2 |
|
|
|
|
|
Характеристическое свойство эллипса: для |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
любой точки эллипса сумма расстояний от |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этой точки М(х,у) до фокусов F1 |
и F2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
постоянна и равна 2а. (МF1 + MF2 = 2a) |
|
|
|
|||||||||||||
Пример 7. Определить вид и расположение кривой |
х2 + 2у2 – 4х + 16у = 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3.3. Гипербола |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Кривая второго порядка (20) называется гиперболой (кривой гиперболического типа), |
||||||||||||||||||||||||||||
если коэффициенты А и С имеют разные знаки, т.е. АС 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пусть для определённости А > 0, С <0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Возможны случаи: А) δ > 0; Б) δ = 0; |
В) δ ˂ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
А) В случае 0: каноническое уравнение гиперболы имеет вид: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
(22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где a |
|
- действительная полуось, b |
|
|
|
|
|
- мнимая полуось. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Фокусы гиперболы – точки F1 (-c; 0) и F2 |
(c; 0), где c |
a2 |
b2 |
, а ее эксцентриситет |
c принимает любые значения, большие 1. Вершины гиперболы точки – А1 (а; 0) и А2 (-а; 0). a
Характеристическое свойство гиперболы: для любой точки гиперболы абсолютная
величина разности ее расстояний до фокусов постоянна и равна 2а: d F2 M MF1 2a
Это часто принимается за определение гиперболы.
|
M(x,y) |
А2 |
А1 |
F2 |
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(22) |
=> |
у |
|
x2 |
|
a 2 |
. |
При |
больших х |
||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. |
при х , |
ветви |
|||||||||||||
|
|
x2 a 2 |
|
|
x2 x . |
||||||||||||||||||||
|
гиперболы как угодно близко подходят к |
||||||||||||||||||||||||
|
прямым |
|
|
|
|
|
|
y |
|
b |
х |
(23) |
– |
асимптотам |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a=b) |
|||||||
|
Для |
равносторонней |
гиперболы |
||||||||||||||||||||||
X х2 у2 а 2 |
|
|
асимптоты |
|
y |
х взаимно |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
являются биссектрисами |
|||||||||||||||||||
|
перпендикулярны |
||||||||||||||||||||||||
|
координатных углов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Б) При δ = 0 уравнение Ах2 + Су2 = 0. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
x2 |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
, |
|
|
|
т.е. |
получили |
пару |
||||||||||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|||||
|
пересекающихся |
|
прямых |
|
|
0 |
и |
||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
32
|
|
|
|
|
|
|
|
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
0 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|||
В) При 0 каноническое уравнение гиперболы имеет вид: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
1. |
(24) |
||||||
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Она имеет полуоси a |
|
|
и |
b |
|
|
и называется сопряженной гиперболой |
||||||||
A |
|
C |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(изображена на рисунке пунктиром).
Рассмотрим обратную пропорциональную зависимость:
y |
m |
|
(25) |
|
x |
||||
|
|
|
Её графиком является
равносторонняя гипербола, в которой
асимптотами являются оси координат. При m 0 ветви гиперболы
расположены в I и III квадрантах,
при m 0 – во II и IV квадрантах. Координаты любой вершины гиперболы равны по абсолютной величине, т.е.
х у т , а их знаки определяются в
зависимости от квадранта, в котором расположена каждая вершина.
График дробно-линейной функции
y |
ax в |
, |
(26) |
|
|||
|
сх d |
|
где с 0, bс–ad 0,
также представляет собой равностороннюю гиперболу, полученную параллельным
переносом |
осей |
координат с новым |
центром в точке |
|
d |
|
а |
|
. Асимптотами такой |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O ( |
c |
с |
|
|
|||
|
|
|
|
|
d |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|||
гиперболы являются прямые x |
; у |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
с. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
Пример 8. |
Написать уравнение гиперболы с асимптотами |
y |
х и проходящей через |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точку |
6; |
|
. Найти расстояние между её вершинами. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2
Пример 9. Найти координаты центра, вершин и уравнения асимптот гиперболы у 3 2х .
х 1
3.4. Парабола
Пусть в уравнении (17) В=0, а также один из коэффициентов А или С равны нулю. Пусть
А=0, С 0, тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
Су2 + Dx + Ey + F = 0 |
(27) |
|||
При D=0 (27) дает две прямые у=у1 |
и у=у2, где у1, у2 –корни квадратного уравнения |
|||||||||||
Су2+Еу+F=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При D 0, дополнив члены, содержащие у, до полного квадрата, получим уравнение кривой, |
||||||||||||
которая называется параболой: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у у0 2 |
2 р х х0 |
(28) |
||
где x |
F |
|
E2 |
; у |
|
Е |
;2р |
D |
|
|
|
|
|
4DC2 |
2С |
C. |
|
|
|||||||
o |
D |
о |
|
|
|
|
|
Точка О (хо, уо) называется вершиной параболы, число р – параметром параболы.
33
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
При р 0 ветви параболы направлены вправо, при р 0 – влево. Прямая у = уо является осью симметрии параболы. Если вершина параболы находится в начале координат, то уравнение (28) принимает вид:
у2 = 2рх |
(29) |
p |
|
|
|
||
Точка F |
|
;0 |
|
называется |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
фокусом параболы, а прямая x p
2
- ее директрисой.
Парабола представляет множество всех точек плоскости, равностоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).
Если в уравнении (29)
поменять местами х и у, то получим:
х2=2ру
–уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ординат.
Его обычно записывают в виде |
|
|
|
у=Ах2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где А= |
1 |
При А 0 ветви параболы направлены вверх, при А 0 – вниз. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 p. |
|
|
|
|
|
|
трехчлен у=Ах2 + |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Квадратный |
|
Вх |
+ |
С (А 0) |
||||||||||
|
у |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
преобразуется |
в уравнение |
параболы: |
у =Ах 2 |
в системе |
||||||||||||||
|
|
А>0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
координат |
x x |
B |
, y y |
4AC B2 |
|
с |
центром |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B |
|
4АС В2 |
|
2A |
|
|
4A |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
О |
|
|
; |
|
|
. Эта парабола имеет вершину в точке |
||||||||||
|
|
|
|
2A |
4А |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
||||||
х |
|
О |
с осью симметрии x |
, параллельной оси Оу. |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2A |
|
|
|
|
|||
|
|
A<0 |
|
|
|
Пример 10. Построить кривую у 3х2 10х 3. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
|
|
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software |
|
||||||||
|
|
http://www.foxitsoftware.com |
For evaluation only. |
|
|||||||
|
Тема 2. Уравнения плоскости и прямой в пространстве |
|
|
|
|
||||||
Z |
В.1. Общее уравнение плоскости |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Пусть плоскость Q проходит через точку Мo(хo, |
|||||||||
|
уo, zo) перпендикулярно вектору n = (A, |
B, C). Этими |
|||||||||
|
|
||||||||||
Мo |
|
условиями определяется |
единственная |
плоскость |
в |
||||||
М |
пространстве Охуz. Вектор |
n называется нормальным |
|||||||||
|
вектором плоскости Q. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Возьмем на плоскости Q произвольную точку М |
||||||||
|
Q |
(x, y, z). |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Тогда |
вектор |
M 0 M =(х-хo, у-уo, |
z-zo) будет |
||||||
|
|
|
|||||||||
n |
|
перпендикулярен вектору |
n =(А, |
В, С). Скалярное |
|||||||
|
|
произведение |
этих |
векторов |
равно |
нулю, |
т.е. |
||||
|
|
n, M 0 M =0. Это уравнение в координатной форме имеет |
|||||||||
|
|
вид: |
|
А (х-хo) + В (у-уo) + С (z-zo) = 0 |
(1) |
|
|||||
Это уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору n (A, B,C) и проходящей |
|
||||||||||
через данную точку Мo (хo, уo, zo). |
Ах + Ву + Сz + D = 0 |
(2) |
|
|
|
|
|
||||
Уравнение плоскости в виде: |
|
|
|
|
|
(где D= – Ax0 – By0 – Cz0) называется общим уравнением плоскости.
Всякое уравнение 1-й степени с тремя переменными есть уравнение плоскости.
В.2. Неполные уравнения плоскости
Общее уравнение плоскости (2) называется полным, если все его коэффициенты А, В, С,
D≠0.
Если же хотя бы один из коэффициентов равен 0, то уравнение называется неполным. Виды неполных уравнений:
1.Если D=0, то Ах + Ву + Сz = 0 – плоскость проходит через начало координат.
2.если А = 0, то плоскость Ву + Сz + D = 0 параллельна оси Ох;
3.если В = 0, то Ах + Сz + D = 0 – параллельна оси Оу;
4.если С = 0, то Ах + Ву + D = 0 – параллельна оси Оz;
5.если А=D=0, то плоскость Ву + Сz = 0 проходит через ось Ох;
6.если В=D=0, то плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу;
7.если С=D=0, то плоскость Ах +Ву = 0 проходит через ось Оz;
8.если А=В=0, то плоскость Сz + D = 0 параллельна плоскости Оху; в частности, если и D=0, то плоскость Сz=0 (или z=0) есть плоскость Оху;
9.если А=С=0, то плоскость Ву + D = 0 параллельна плоскости Охz; в частности, если D=0, то плоскость Ву = 0 (или y=0) есть плоскость Охz;
10.если B=С=0, то плоскость Ах + D = 0 параллельна плоскости Оyz; в частности, если D=0, то плоскость Ах = 0 (или x=0) есть плоскость Оyz.
В.3. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве
Рассмотрим |
в |
пространстве |
две |
плоскости: |
A1 x B1 y C1 z D1 |
0 |
и |
A2 x B2 y C2 z D2 0 .
Условия параллельности и перпендикулярности плоскости определяются условиями
коллинеарности и ортогональности их нормальных векторов n1 =(А1, В1, С1) и n2 =(А2, В2, С2). Условие параллельности – пропорциональность коэффициентов при одноименных
переменных (т.к. координаты нормальных векторов д.б. пропорциональны):
A1 |
|
B1 |
|
C1 |
(3) |
|
A2 |
B2 |
C2 |
||||
|
|
|
Условие перпендикулярности (скалярное произведение n1 ; n2 = 0):
А1А2+В1В2+С1С2=0 (4)
35
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Угол между плоскостями можно найти как угол между их нормальными векторами:
cos |
|
|
A1 A2 B1 B2 |
C1C2 |
|
|
(5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A2 |
B2 |
C 2 |
|
A2 |
B2 |
C 2 |
|||||
|
|
|
|||||||||
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
В.4. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой
Уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (x1 , y1 , z1 ) , М 2 (x2 , y2 , z2 ) и М 3 (x3 , y3 , z3 ) , не принадлежащие одной прямой:
|
|
x x1 |
y y1 |
z z1 |
0 (6) |
||||||||||
|
|
x |
2 |
x |
y |
2 |
y |
z |
2 |
z |
1 |
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
x3 |
x1 |
y3 |
y1 |
z3 z1 |
|
||||||||
В. 5. Расстояние от точки до плоскости |
|||||||||||||||
Расстояние от точки М 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax By Cz D 0 : |
|||||||||||||||
|
d |
|
Ax0 |
By0 Cz0 |
D |
|
|
|
(7) |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
A2 B2 |
C 2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В. 6. Уравнение прямой в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих систему уравнений:
A x B y C z D 0, |
(8) |
||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
A2 x B2 y C2 z D2 0. |
|
||||
Если прямая проходит через точку М 0 (x0 , y0 , z0 ) , |
параллельно направляющему вектору |
s =(l; m; n), то ее уравнение может быть получено из условия коллиниарности векторов M 0 M =(х-
хo, у-уo, z-zo) и s = (l; m; n): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
y y0 |
|
z |
z0 |
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||||||||||
(9) называется каноническим уравнением прямой в пространстве. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Параметрическое уравнение прямой в пространстве: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x l t x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y m t y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z n t z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Уравнение |
прямой, |
проходящей |
|
через |
|
две |
различные |
точки |
М1 (x1 , y1 , z1 ) , |
||||||||||||||||||||||||||
М 2 (x2 , y2 , z2 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x1 |
|
|
y y1 |
|
z z1 |
|
|
(11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x1 |
|
z2 z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
В.7. Взаимное |
расположение прямой и |
плоскости в пространстве |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Прямая |
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
и плоскость Ax By Cz D 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
- параллельны (или прямая лежит на плоскости): |
|
Al Bm Cn 0 |
|
|
|
(12) |
|||||||||||||||||||||||||||||
- перпендикулярны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
В |
|
С |
|
|
(13). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
m n |
|
|
М (х, у, z)
S=(m;n;p)
М (х1, у1, z1)
36
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Тема 3. Комплексные числа В.1. Основные понятия
Для решения многих задач физики, электротехники и др.наук возникла потребность
расширения понятия числа. Например, уравнение х2 1 0 не имеет решения в действительных числах.
Комплексными числами называются числа вида z x yi , где х и у – действительные
числа, а число i , определяемое равенством i2 |
1, называется мнимой единицей. |
Действительное число х называется |
действительной частью комплексного числа |
( x R(z)), у - мнимой частью ( y I (z) ). |
|
Выше приведённая запись комплексного числа называется алгебраической формой записи. Любое действительное число х содержится в множестве комплексных чисел: х x 0 i . Т.о.
множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных. Множество комплексных чисел обозначается C (т.е. можно записать R C ).
Два комплексных числа z1 x1 y1i и z2 x2 y2i равны ( z1 z2 ) x1 x2 , y1 y2 . Число 0 можно записать: 0 0 0 i .
При х =0 комплексное число обращается в чисто мнимое y i .
Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Комплексное число z x yi можно изобразить точкой на плоскости с координатами
(x, y) .
y
у M (x; y)
|
|
х |
О |
х |
|
|
Плоскость |
xOy , на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной |
плоскостью. При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую называют
мнимой осью.
Между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости xOy существует
взаимно-однозначное соответствие: каждому комплексному числу соответствует
единственная точка плоскости (x, y) , и наоборот, каждой точке соответствует единственное комплексное число.
Комплексное число z x yi можно геометрически изобразить в виде вектора OM z с
началом в точке О(0,0) и концом |
в точке М (x, y) . Каждой точке М (x, y) |
(каждому |
|||
комплексному числу z x yi ) будет соответствовать один и только один вектор. |
|
||||
|
Два комплексных числа z x yi |
и |
z |
x yi называют взаимно сопряжёнными, если их |
|
действительные части равны, а мнимые имеют противоположные знаки. (Например, |
z 2 3i и |
||||
z |
2 3i .) |
|
|
|
|
При решении квадратного уравнения z2 2z 2 0 получаем два взаимно сопряжённых корня: z1 1 i и z2 1 i .
Сопряжённые числа расположены симметрично относительно действительной оси. Комплексные числа z x yi и z x yi называются противоположными.
Противоположные числа симметричны относительно начала координат.
Модулем комплексного числа z x yi называется действительное число r x2 y2 .
37
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В геометрической |
интерпретации модуль – |
это длина вектора |
OM : |
OM |
r |
x2 y2 . |
||||||||||
r 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Модуль комплексного числа также называется абсолютной величиной этого числа. |
|
|
||||||||||||||
|
Причём модуль |
действительного числа |
есть абсолютная |
величина этого |
числа: |
||||||||||||
|
x 0 i |
|
|
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол между действительной осью Ох и вектором OM , отсчитываемый от положительного направления оси Ох, называется аргументом комплексного числа. Он определяется из соотношения:
|
y |
y |
n ,n Z . Для числа z 0 аргумент не определен. |
||
tg |
|
arctg |
|
|
|
x |
|
||||
|
x |
|
Используя приведённые выше понятия, комплексное число можно записать в тригонометрической форме:
z r(cos isin ) .
Аргумент определён неоднозначно: вместо можно использовать n,n Z . Всю бесконечную совокупность значений аргумента комплексного числа z обозначают Arg(z).
Однако называется главным значением аргумента и обозначается
В.2. Действия с комплексными числами
Действия с комплексными числами удовлетворяют основным законам действий над рациональными числами. Между комплексными числами не существует понятий «больше» или «меньше».
Представление комплексного числа в алгебраической форме и рассмотрение мнимой единицы в качестве множителя, квадрат которого равен 1, позволяет производить операции с комплексными числами так же, как и с алгебраическими многочленами.
1. Сложение и вычитание комплексных чисел
Сложение двух комплексных |
чисел z1 x1 y1i |
и |
z2 x2 y2i , записанных в |
|||||||||
алгебраической форме, выполняется по формуле: |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
z1 z2 x1 y1i (x2 y2i) (x1 x2 ) (y1 y2 )i |
||||||||
Сумма двух сопряжённых чисел равна z |
z |
(x x) (y y)i 2x . |
||||||||||
Пример 1. Найти сумму чисел z1 |
|
|
|
|
|
|||||||
3 4i , и z2 5 3i . |
|
|
|
|||||||||
Решение. |
z z1 z2 (3 5) (4 3)i 2 7i . |
|
|
|
|
|||||||
Число z1 |
z2 геометрически изображается вектором, |
построенным по правилу сложения |
||||||||||
векторов (правило параллелограмма), соответствующих точкам z1 |
и z2 . |
|||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 z2 |
|
|
|
|
||||
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1
О
х
Вычитание двух комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению. Разность двух комплексных чисел находится по формуле:
z1 z2 x1 y1i (x2 y2i) (x1 x2 ) ( y1 y2 )i .
Разность двух сопряжённых чисел z z (x x) (y y)i 2yi .
Пример 2. Найти разность z1 3 4i и z2 5 3i .
Решение. z z1 z2 (3 5) (4 3)i 8 i .
38
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2. Умножение комплексных чисел
Умножение двух комплексных чисел z1 x1 y1i и z2 x2 y2i выполняется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 z2 x1 y1i (x2 y2i) (x1 x2 у1 у2 ) (х1 y2 х2 y1 )i |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Правило умножения распространяется и на большее число сомножителей. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 3. Найти произведение комплексных чисел z1 3 4i |
и z2 5 3i . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
z1 z2 |
(3 4i)( 5 3i) 3( 5) 3 3i 4i( 5) 4i 3i 15 9i 20i 12i2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
15 12 9i 20i 27 11i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
При |
|
умножении двух |
|
комплексных |
чисел, |
|
записанных |
в |
|
тригонометрической |
форме, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 |
r1 (cos 1 isin 1 ) |
и |
|
z2 r2 (cos 2 |
isin 2 ) , |
их |
|
модули |
|
умножаются, а аргументы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
складываются: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 z2 |
|
r1r2 (cos( 1 2 ) isin( 1 2 )) |
|
yi , получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
При умножении двух |
сопряжённых чисел z x yi и |
z |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
z |
(x yi)(x yi) x2 y2 i2 x2 |
y2 |
r2 , где r - модуль каждого из сомножителей. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Т.о. произведение двух сопряжённых комплексных чисел является действительным числом, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равным квадрату их модуля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3. Деление комплексных чисел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Деление комплексных чисел рассматривается как действие, обратное к умножению: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
x1 y1i |
|
x1 x2 y1 y2 |
|
x2 y1 x1 y2 |
i |
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
x2 y2i |
x22 y22 |
x22 y22 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 4. Найти частное от деления числа z1 |
3 4i |
на число z2 2 3i . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое к знаменателю: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z1 |
|
3 4i |
|
(3 4i)(2 3i) |
|
|
6 9i 8i 12i2 |
|
|
6 17i |
|
6 |
|
|
17 |
i . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z2 |
|
|
(2 3i)(2 3i) |
|
|
4 9i2 |
|
|
|
|
4 9 |
|
|
13 |
13 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
При |
|
делении |
двух |
|
комплексных |
чисел, |
записанных |
в |
тригонометрической |
форме, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 |
r1 (cos 1 isin 1 ) и z2 |
|
r2 (cos 2 isin 2 ) , их модули делятся, а аргументы вычитаются: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
r1 |
(cos( 1 2 ) isin( 1 |
2 )) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
4. Возведение комплексных |
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
чисел в степень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Возведение комплексного числа z x yi |
в степень n (n N) можно рассматривать как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частный случай умножения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn z z ... z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
раз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для чисел, записанных в тригонометрической форме:
zn rn (cos(n ) isin(n ))
Пример 5. Вычислить z4 |
(1 i)4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 способ. z (1 i)4 (1 i)2 (1 i)2 |
|
(1 2i i2 )(1 2i i2 ) 2i 2i 4i2 4. |
|||||||||||||||||||||||||
2 способ. Запишем комплексное число в тригонометрической форме: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
r 1 |
1 |
|
2 , arctg |
|
|
|
|
|
z |
|
2 cos |
|
isin |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||
Тогда z ( |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4( 1) 4 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) |
|
|
cos4 |
|
isin 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Корень степени n из комплексного числа z r(cos isin ) , не равного нулю, имеет точно n
значений:
n |
|
|
n |
|
|
arg z 2 k |
|
arg z 2 k |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
|
r cos |
|
isin |
|
, |
k 0,1,...,n 1 |
|||
|
|
n |
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Пример 6. Вычислить 1 .
Решение. Полагаем z 1 0i . В тригонометрической форме: z 1 cos isin .
1 |
|
|
|
1 |
|
2 k |
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(z)2 |
( |
1)2 |
cos |
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
, |
k 0,1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
3 |
|
||
При k 0: (z)2 |
|
|
|
i . |
При k 1: (z)2 |
i sin |
i . |
|||||||||||||||||||
cos |
|
|
isin |
|
|
cos |
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Раздел 3. Математический анализ и дифференциальные уравнения Тема 1. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ
В.1. Понятие множества
Множество – совокупность (собрание, набор) некоторых объектов.
Объекты, образующие множества, называются элементами (точками) данного множества.
Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С…, а элементы – строчными а, b, c… Принадлежность элемента а множеству А записывается следующим образом: а А . Запись b A означает, что элемент b не принадлежит множеству А.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. (например, множество действительных корней уравнения х2+4=0 – пустое множество).
Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то В называется подмножеством множества А (обозначается В А ).
Равные множества состоят из одних и тех же элементов. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы
одному из данных множеств ( А В).
А В
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих
каждому из данных множеств ( А В ).
А В
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, которые не принадлежат В
(А \ B).
А \ B
Дополнением множества А, являющегося подмножеством В ( А В ), называется множество АС, состоящее из всех элементов В, которые не принадлежат А.
|
|
|
АС |
Пример 1. а) Пусть даны два множества: А = {1, 2, 3, 4} и В = {2, 4, 5, 6}. Тогда их |
|||
объединением будет множество А В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; пересечением – |
А В = {2, 4}; |
||
разностью А \ B = {1, 3}, В \ А = {5, 6}. |
|
|
|
б) Даны множества А = {1, 2, 3} и В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Очевидно, что А является |
|||
подмножеством В ( А В ). Тогда: |
|
|
|
А В = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = В; |
А В = {1, 2, 3} = А; |
В \ А = {4, 5, 6}; |
АС = {4, 5, 6}. |
Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Например, числовыми являются множество натуральных чисел N, множество целых чисел Z, множество рациональных чисел Q, иррациональных I и множество
действительных чисел R, которые |
связаны между собой следующим образом: |
N Z Q R , I R , R = Q I. |
|
40