Матем_лекции_ 1сем_гр.,2621,2721

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Замечание. Если =0 и все j =0, то система является совместной и неопределенной. Если же =0 и хотя бы один из определителей j 0 , то система уравнений несовместна.

Недостаток формул Крамера и метода обратной матрицы – их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных задач.

2.3. Метод Гаусса

Метод Гаусса- метод последовательного исключения неизвестныхзаключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводиться к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находят все остальные переменные.

С помощью элементарных преобразований с системой (1) после (r-1)- го шага получим систему:

противоречиво, и система (1) несовместна. Для любой совместной системы (m-r) уравнений в системе (6) являются тождествами, и их можно не принимать во внимание при решении системы

(1). После отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая:

А) число уравнений системы (6) совпадает с числом переменных, т.е. r=n, и в этом случае система (6) имеет треугольный вид;

Б) r<n, и система (6) имеет ступенчатый вид.

Переход системы (1) к равносильной системе (6) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (6)- обратным ходом .

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы (1), в которую, кроме матрицы А, дополнительно включен столбец свободных

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

х1 2х2 х3 8,

2х1 3х2 3х3 5,

3х1 4х2 5х3 10.

правых частей уравнений. Тогда система представима в матричном виде: АХ=В.

11

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Для нахождения Х необходимо умножить матричное уравнение на А-1 слева: Х = А-1∙В. Матрицу А-1 найдем по алгоритму, приведенному в примере 5. Получим:

заключается в последовательном исключении переменных.

Составим расширенную матрицу системы, которая включает в себя матрицу системы и столбец свободных членов.

Произведем элементарные преобразования со строками матрицы, приведя ее к треугольному виду, т.е. к матрице, в которой все элементы, ниже главной диагонали равны нулю (при этом диагональные элементы не равны нулю).

Шаг 1. Если в матрице элемент а11 = 0, то перестановкой строк нужно добиться того, чтобы элемент а11≠ 0. В нашем примере а11≠ 0.

Сначала обнулим элементы первого столбца ниже главной диагонали. Для этого поочередно

12

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Шаг 2. Если в полученной матрице а22 ≠ 0, то обнулим элемент второго столбца ниже главной диагонали. Для этого умножим вторую строку на число а32 10 10 и прибавим к

третьей строке:

Полученная матрица имеет треугольный вид. Т.о. получили систему уравнений:

х1 2х2 х3 8,

7х2 х3 11,

В. 3. Система m линейных уравнений с n переменными

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1.Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (1) имеет единственное решение.

2.Если r<n, то система (1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Пусть r<n. Тогда r переменных x1 , x2 ,..., xr называются основными, или базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них, т.е. базисный минор, отличен от нуля. Остальные (n-r) переменных называются неосновными, или свободными.

Базисное решение системы (1) – это решение, в котором все свободные переменные равны нулю. Каждому разбиению переменных на базисные и свободные соответствует одно базисное

Таким образом, совместная система с m<n имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее C r n , где r m.

Метод Гаусса позволяет установить совместность системы, а в случае совместности найти ее решения, единственное или бесконечное множество. Он также дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений - ранг матрицы системы.

Пример 2. Методом Гаусса решить систему: 2x1 x2 x3 x4 5,

x1 2x2 2x3 3x4 6, 3x1 x2 x3 2x4 1.

Решение. Составим расширенную матрицу системы:( предварительно переставим местами первое и второе уравнение)

13

перенесем в правую часть в качестве свободных переменных. Получаем систему: x1 2x2 6 2x3 3x4 ,

5x2 17 5x3 7x4 ,

Откуда

177

x2 5 x3 5 x4 ,

Задавая свободным переменным произвольные значения x3 c1 , x4 c2 ,

Найдем бесконечное множество решений системы:

Найдем все базисные решения этой системы. Поскольку r=2, одно из уравнений системы, например, третье, можно отбросить. Общее число групп базисных переменных не более чем

Поэтому возможны следующие группы базисных переменных:

x1 , x2 , x1 , x3 , x1, , x4 , x2 , x3 , x2 , x4 , x3 , x4 .

Выясним, могут ли x1 , x2 быть базисными. Определитель матрицы из коэффициентов при

2 1

этих переменных: =5≠ 0, эти переменные могут быть базисными. 1 2

Аналогично найдем, что из всех возможных групп базисных переменных только x2 , x3 не

Получим первое базисное решение. Приравняем свободные x3 , x4 нулю, решение имеет

вид:

Аналогично можем получить все остальные базисные решения:

14

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

В.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой однородных линейных уравнений, если все их свободные члены равны нулю:

Если m=n, а определитель системы отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы Крамера.

Поэтому ненулевые решения возможны лишь для таких систем линейных однородных

каждое решение (7) является линейной комбинацией решений e1 , e2 ,...,ek .

Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов системы (7) меньше n, то всякая фундаментальная система решений системы (7) состоит из (n-r) решений.

Общее решение системы m линейных уравнений с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородных линейных уравнений и произвольного частного решения этой системы.

В.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)

Предположим, что рассматриваются n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции потребляется данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для конечного личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Обозначим:

xi ---общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли (i 1, n );

xij объем продукции i-ой отрасли, потребляемой в процессе производства j-ой отраслью

( i, j 1, n );

yi объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.

Валовой объем продукции любой i-ой отрасли равен сумме объема продукции, потребляемой n отраслями, и объема конечного продукта:

j 1

Уравнения (8) называются соотношениями баланса.

Рассмотрим стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины в (8) имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

показывающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли.

15

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Можно считать, что в некотором промежутке времени aij const, зависящими от

сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

Выясним экономический смысл элементов матрицы S (sij ).

sij валовой выпуск продукции I-ой отрасли, необходимой для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой отрасли.

В соответствии с экономическим смыслом xi 0, yi 0, aij 0, (i, j 1, n).

Матрица А≥0 называется продуктивной, если для любого Y≥0 существует решение (12) Х≥0. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности А, например, такой:

Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт энергетической отрасли должен увеличится в 2 раза, а машиностроения – сохранится на прежнем уровне.

16

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Решение. Обозначим: х1 = 100 – общий валовой объем продукции первой отрасли, х2 = 100 – второй отрасли. х11 = 7 - объем продукции первой отрасли, потребляемой первой же отраслью в процессе производства, х12 =21 – объем продукции первой отрасли, потребляемой второй отраслью, х21 = 12 – объем продукции второй отрасли, потребляемой первой отраслью в процессе производства, х22 = 15 – объем продукции второй отрасли, потребляемой второй отраслью; у1 = 72 - объем конечного продукта 1-й отрасли для непроизводственного потребления, у2 = 73 - объем конечного продукта 2-й отрасли для непроизводственного потребления.

Матрица А имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности: max{0,07+0,12; 0,21+0,15} = max{0,19; 0,36} = 0,36 < 1 (максимальная из сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы).

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле: Х = (Е – А)-1∙Y.

Ответ: Если конечное потребление энергетической отрасли увеличится в два раза, а машиностроительной – не изменится, то валовой выпуск энергетики должен увеличится до 180 усл.ед., а машиностроения – до 111 усл.ед.

17

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

ТЕМА 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

В.1. Векторы и операции над ними

Вектор - направленный отрезок AB с начальной точкой А и конечной точкой В. B

a

A

Его можно обозначить: a АВ .

Длина (модуль) вектора АВ - это число, равное длине отрезка АВ.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются

коллинеарными.

Нулевой вектор (нуль-вектор) - это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, направление произвольно, и он считается коллинеарным любому вектору.

Произведение вектора a на число -это вектор b a длиной b a , направление

которого совпадает с a , если 0 , и противоположно ему, если 0. Противоположный вектор a -это произведение a на (-1).

Сумма двух векторов a и b определяется по правилу треугольника: c a b

b

a

c

Сумма нескольких векторов – результат последовательного применения правила треугольника, т.е. правило многоугольника.

Разность векторов a и b - это сумма вектора a и вектора b

В параллелограмме, построенном на векторах a и b , одна диагональ представляет сумму

a

b

Перенесем вектор a параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координатами вектора a называются координаты его конечной точки. Тогда вектор можно записать в координатной форме:

-на плоскости a (a1 , a2 );b (b1 , b2 );

-в пространстве a (a1 , a2 , a3 );b (b1 ,b2 ,b3 ).

Можно показать, что

c a b (a1 b1; a2 b2 ); d a b (a1 b1 ; a2 b2 );

c a b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 ); и т.д. b a ( a1 , a2 , a3 );

18

В координатной форме

a,b) a1b1 a2b2 a3b3 ,

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Если a b, то 0, cos 1, и получаем скалярный квадрат вектора:

(a, a) a 2 a 2 a21 a2 2 a2 3 ,

который равен квадрату его длины.

Расстояние между двумя точками плоскости А( x1 , y1 ) и В ( (x2 , y2 ) можно рассматривать как длину вектора АВ = (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ) :

d (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2

Угол между векторами a и b определяется по формуле:

В.2. n-мерное векторное пространство

n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x (x1 , x2 ,..., xn ), где xi - i-ая компонента вектора x.

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е.

x y xi yi , i 1, n.

Сумма двух векторов:

z x y zi yi , i 1, n.

Произведение вектора на действительное число :

u x ui xi , i 1, n.

Свойства операций над векторами:

1.x+y= y+x;

2.( x+y)+z=x+(y+z);

3.( x) ( )x;

4.(x y) x y;

5.( )x x x;

6.Существует нулевой вектор 0=(0,…,0) такой, что х+0=х, x;

7.Для любого х существует (-х) такой, что х+(-х)=0;

8.1 x x, x.

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющих приведенным выше свойствам, называются векторным пространством.

Пример: множество алгебраических многочленов степени не выше n

19

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

В.3. Размерность и базис векторного пространства

Вектор am называется линейной комбинацией векторов a1 , a2 ,...,am 1 векторного пространства R, если он равен следующей сумме:

am 1a 1 2 a2 ... m 1am 1 , где 1 ,..., m 1 произвольные действительные числа.

Векторы a1 ,...,am векторного пространства R называются линейно зависимыми,

если существуют такие числа 1 , 2 ,..., m , не равные одновременно нулю, что их линейная комбинация равна нулевому вектору:

1a1 2 a2 ... m am 0

В противном случае (т.е. когда нуль-вектор получается только при

векторы a1 , a2 ,...,am называются линейно независимыми.

Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые (n+1) векторов уже являются линейно зависимыми.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Обозначается размерность dim (R).

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется

базисом.

и любой вектор а в нем линейно выражается через e1 , e2 ,...,en , то пространство R является n-мерным, а векторы e1 , e2 ,...,en его базисом.

В.4. Переход к новому базису

Пусть в пространстве R имеются 2 базиса:

Старый e1 , e2 ,...,en и новый e 1 , e 2 ,...,e n . Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

e 1 a11e1 ... a1n en ,

противном случае ее строки (а значит, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от нового базиса к старому осуществляется с помощью обратной матрицы A 1 .

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть х имеет координаты:

x x 1e 1 ... x n e n x1e1 ... xn en .

Подставим значения e 1 , e 2 ,...,e n . из системы ( ) в левую часть последнего равенства, получим:

20