12. Уравнения прямой на плоскости
12.1 Найти точку пересечения двух прямых 3х-4у-29=0 и2х+5у+19=0.
12.2 Дана прямая 2х+3у+4=0. Составить уравнение прямой, проходящей через т.М(2,1):
1) параллельно данной прямой;
2) перпендикулярно данной прямой.
12.3. Найти проекцию точки Р(-6,4) на прямую4х-5у+3=0.
12.4. Найти точку Q, симметричную точкеР(-5,13) относительно прямой2х-3у-3=0
12.5. Составить уравнение прямой, если точка Р(2,5) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую.
12.6. Даны вершины треугольника А(2,1), В(-1,-1), С(3,2). Составить уравнения высот.
12.7. Даны стороны треугольника уравнениями 4х-у-7=0, х+3у-31=0, х+5у-7=0. Найти точку пересечения высот.
12.8. Даны вершины треугольника А(1,-1), В(-2,1), С(3,5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершиныА на меридиану, проведенную из вершиныВ.
12.9. Доказать, что условие, при котором
три точки
лежат на одной прямой,
,
может быть записано в виде
= .0
12.10. Доказать, что уравнение прямой,
проходящей через две точки
и
,
может быть записано в виде
= 0
12.11. Даны вершины треугольника
(1,-2),B(5,4),C(-2,0). Составить уравнения биссектрис ею
внутреннего и внешнего углов при вершине
.
12.12. Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
на
одинаковых расстояниях от точек
и
.
12.13. Найти проекцию точки
на прямую, проходящую через точки
,
и
12.14. Найти точку
симметричную точке
(8,-9)
относительно прямой, проходящей через
и
12.15. Определить угол между прямыми:
;
;
3)
.
12.16. Доказать, что условие перпендикулярности
двух прямых
и
можно записать в виде
=0.
12.17. Доказать, что формула для определения
угла между прямыми
и
может быть записана в виде
12.18. Установить, пересекаются ли в одной точке три прямые:
1)
,
2)
.
12.19. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми 3х-у-4=0 и2х+6у+3=0, в котором лежит начало координат.
12.20. Найти расстояние от точки М(2,1)до прямой2х+3у-5=0.
13. Уравнение плоскости. Уравнения прямой в пространстве.
. Даны две точки
и
.
Составить уравнение плоскости
перпендикулярной прямой
,
проходящей через
.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно двум векторам
и
.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
,
и
.Определить взаимное расположение следующих пар плоскостей (перпендикулярны, параллельны, пересекаются): 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
13.5. Составить уравнение плоскости,
которая проходит через т.
перпендикулярно двум плоскостям 2х-z+1=0 иу=0.
13.6. Установить, что три плоскости х-2у+z-7=0, 2х+у-z+2=0, х-3у+2z-11=0,
имеют одну общую точку и найти ее.
Доказать, что три плоскости 7х+4у+7z+1=0, 2х-у-z+2=0, х+2у+3z-1=0, проходят через одну прямую.
Доказать, что три плоскости 2х-у+3z-5=0, 3х+у+2z-1=0, 4х+3у+z+2=0, пересекаются по трем различным параллельным прямым.
Найти расстояние между параллельными плоскостями: 1)
;
2)
;
3)
.
13.10. Составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы,
образованные пересекающимися
плоскостями: 1)
;
2)
.
13.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения
плоскостей 2х-у+3z-5=0
и х+2у-z+2=0параллельно вектору
13.12. Составить уравнение плоскости,
проходящей через прямую
перпендикулярно плоскости х+19у-7z-11=0.
13.13. Дана прямая, составить канонические и параметрические уравнения прямой:
1)
;
2)
;
3)
.
13.14. Определить взаимное расположение прямых (перпендикулярны, параллельны):
1)
,
;
2) x=2t,
y=3t-2,
z=-6t+1
и
;
3)
и
.
13.15. Определить косинус угла между прямыми:
и
.
13.16. Доказать, что прямые, заданные параметрически
и
,
пересекаются.
13.17. Доказать, что прямая x=3t-2, y=-4t+1, z=4t-5 параллельна плоскости
4x-3y-6z-5=0.
13.18. Доказать, что прямая
лежит в плоскости4x-3y+7z-7=0.
13.19. Найти точку пересечения прямой
и плоскости2x+3y+z-1=0.
13.20. Найти проекцию точки Р(2,-1,3) на прямуюx=3t, y=5t-7, z=2t+2.
13.21. Найти проекцию точки Р(5,2,-1) на плоскость2x-y+3z+23=0.
13.22. Найти расстояние от точки Р(1,-1,-2)до прямой
.
13.23. Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми:
1)
и
;
2) x=2t-4, y=-t+4, z=-2t-1 и x=4t-5, y=-3t+5, z=-5t+5 .