Глава 5. Системы линейных уравнений.

5.1. 1) система совместна, х =1, у =1,z=1; 2) система совместна,x= -1,y= 0,z= 1;

3) система несовместна; 4) система несовместна; 5) система совместна, 6) система совместна,

5.2. 1) общее решение:,; частное решение:;

ФСР: ,;

2) общее решение: ; частное решение:; ФСР:,,;

3) общее решение: ; частное решение:; ФСР:n–r= 3-1=2,,:;,:,;

4) общее решение: ; частное решение:; ФСР:n–r= 3,,,:;,,:,,,:;+;

5) общее решение: ; частное решение:; ФСР:n–r= 4,,,,:;,,,:,,,,:;,,,:;

++;

6) общее решение: ; частное решение:; ФСР:n–r= 3-1=2,,,;

,,,.

5.3. 1) система совместная, неопределенная. Общее решение: х = (1, -С, С);

2) система совместная, неопределенная. Общее решение: .

5.4. 1) определена,,r(А) = 3; 2) несовместна, а= -3,;

3) неопределенна а= -3, .

5.5. 1) определена, при,r(А) = 3; 2) несовместна, при а= -2;

3) неопределенна, при а= 1.

Глава 6.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

6.1.1) ,,;

2) ,,;

3) ; 4) ;

5) , , ;

6) , , ;

7) , комплексные;

8) ; ;

9) ,

10) , , ;

11) , , ;

12) , , .

6.2.

собственные значения равны диагональным элементам.

6.4.

по аналогии с 6.2.

6.5. .

6.6. 1) является; 2) не является; 3) не является; 4) является; 5) является; 6) является;

7) не является; 8) является; 9) является; 10) не является; 11) не является; 12) является;

13) является; 14) является; 15) является; 16) является; 17) не является; 18) является;

19) не является; 20) является.

Глава 7.

БАЗИС. МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА. ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.

7.1.1) ненулевой вектор, лежащий на прямой;

2) любые два неколлинеарных вектора на плоскости;

3) две матрицы, например и;

4) три многочлена, например 1, х, .

7.2. 1) базис состоит из; 2) базис состоит из.

7.3. 1) Х(1/3,1/3,1/3); 2)X(0,-5,4).

7.4. 1)f(t) = (5,2,-1,1); 2)f(t) = (4,2,-1,1); 3)f(t) = (5,2,-1,-5).

7.5. 1) , базис, например,

7.6. 1); 2).

7.7. 1); 2).

7.8. 1) с = (2,2,1,0),d= (-5,2,6,1); 2) с = (1,-2,1,0),d= (17/6,-2/3,-25/6,1).

7.9. 1) один из векторов ;

2) , .

7.10. Процессом ортогонализации системы векторовназывается переход от этой системы к новой системе, построенной следующим образом:

гдееслии- любое число, если.

1) ,,;

2) ,.

Глава 8.

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ.

8.1. .8.2. 1); 2).

8.3. 1); 2); 3); 4);

5) .

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

8.5. 1), положительно определенная; 2), знакопеременная;

3) , положительно определенная; 4), знакопеременная;

5) , знакопеременная; 6), знакопеременная;

7) , положительно определенная; 8)знакопеременная.

Глава 9.

ЧИСЛО И ВЕКТОР ФРОБЕНИУСА. ПРОДУКТИВНОСТЬ МАТРИЦ.

ЧИСЛО И ВЕКТОР ФРОБЕНИУСА.

9.1. 1) С > 0; 2)С > 0;

3) С > 0; 4)С > 0.

9.2. 1) ; 2); 3)4).

ПРОДУКТИВНОСТЬ МАТРИЦ.

9.3. 1) да; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да.

9.4. 1) ; 2).

9.5. 1) ; 2)

Глава 10.

ВЕКТОРЫ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

ВЕКТОРЫ.

10.1. 1) ,,,;

2) ,,,;

3) ,,,.

10.2. 1) да; 2) нет. 10.3. М(3,3,3). 10.5. . 10.6. .

10.7. 1) векторы коллинеарны. Вектор длиннее в 3 раза. Векторы противоположно направлены;

2) векторы коллинеарны. Вектор длиннеев 3 раза. Векторы сонаправлены.

10.9. .10.10. ,,.

10.12. ,,,.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

10.13. 1) – 3; 2) 4; 3) 7; 4) 19; 5) -49; 6) -95.

10.14. Геометрический смысл: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

10.15. Векторы иколлинеарны.

10.16. 1) -1,5; 2) -1,5. 10.17. ,.

10.18. . 10.20. 1) 5; 2) 21; 3) 33; 4) 13; 5) 13; 6) 58; 7) -13.

10. 21. .10.22. . 10.23. . 10.24. .

10.25. .

Глава 11.

ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

11.1. 16.11.2. 12.11.3. 1) 24; 2) 36.11.4. 1) 3; 2) 75; 3) 192.

11.5. Векторы идолжны быть коллинеарны.

11.8. 1) (5,1,7); 2) (-5,-1,-7); 3) (10, 2,14); 4) (20,4, 28).

1.9. 1) 0; 2) (-12, 8, 12); 3) (-6, 4, 6).11.10. 14.11.11. 25.

11.12. .11.13. .11.14. -91.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

11.15. 1) правая; 2) левая; 3) левая; 4) правая; 5) левая; 6) левая.11.16. 24.11.20. -7.11.21.1) компланарны; 2) не компланарны; 3) компланарны.11.23. 11.

Глава 12.

УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

12.1. (3;-5).12.2. 2х+3у-7=0; 3х-2у-4=0.12.3. .12.4. Q(11;-11).

12.5. 2х+5у-29=0.12.6. 1) х+у-5=0; 2) 4х+3у-11=0; 3) х+у+2=0.12.7. М(3,4).

12.8. 4х+у-3=0.12.11. у= - 5х +3; у=.12.12. РК: 11х-у-28=0.12.13. К(-12;5).

12.14. М(10,-5).12.15. 1); 2); 3).

12.18.1) пересекаются в точке М (-5/11;7/11); 2) не пересекаются в одной точке.

12.19. 8х+4у-5=0.12.20. .

Глава 13.

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

13.1. х –у -3z+2=0.13.2. х +4у +7z+16=0.13.3. 3х+3у+z-8=0.

13.4. 1) параллельны; 2) перпендикулярны; 3) пересекаются; 4) пересекаются;

5) пересекаются; 6) пересекаются.

13.5. х +2z- 4=0.13.6. А(1,-2,2).13.9. 1) 2; 2) 3,5; 3) 6,5.

13.10. 1) 4х -5у +z-2=0; 2) 6х +2у -4z-2=0.13.11. -5х -5у+5z-10=0.

13.12. х +19у -7z+57=0.

13.13. 1) (х-2)/4=(у +1)/14=z/8; 2)x/(-5)=y/12=(z-2,5)/17; 3) (x+1)/5=y/10=z/5.

13.14. 1) не параллельны, не перпендикулярны; 2) перпендикулярны;

3) не параллельны, не перпендикулярны. 13.15. 4/21.13.19. A(2,-3,6).

13.20. P(3,-2,4).13.21. (1,4,-7).13.22. 7.13.23. 1) 13; 2) 3.