- •Глава IX Определённый интеграл
- •1. Конструкция определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •П 11. Дифференцирование определенного интеграла по верхнему (нижнему) пределу. Формула Ньютона-Лейбница
- •П 12. Замена переменной в определенном интеграле
- •П 13. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •П 14. Вычисление площадей плоских фигур
- •14.1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах
- •14.2. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах
- •П 15. Вычисление длины кривой
- •П 16. Несобственный интеграл первого рода. Критерий Коши. Признаки сравнения.
- •П 17. Условная сходимость несобственного интеграла. Признак Абеля-Дирихле.
- •§11. Несобственный интеграл и ряд. Интегральный признак Коши сходимости ряда.
- •§12. Несобственный интеграл второго рода.
- •П 18. Главное значение несобственного интеграла.
П 17. Условная сходимость несобственного интеграла. Признак Абеля-Дирихле.
Пусть ф-я f(x) интегрируема по Риману на любом конечном отрезке [a, x]. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл, и условно сходящимся, если интегралрасходится, а сам интегралсходится.
Теорема 1.Абсолютно сходящийся интеграл сходится.
Док-во.
Пусть
сходится. Тогда по критерию Коши<ε
для Vε>0
и для Vx’,
x”>A(ε).
Согласно свойствам интеграла (см §4)
≤.=><ε,
т.е. выполняется критерий Коши для
данного интеграла
,
=> он сходится. Теорема доказана.
Замечание 1. Признаки сравнения, рассмотренные в предыдущем параграфе, можно применить для исследования интегралов на абсолютную сходимость.
Пример 1. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл
Решение. ≤, а интегралсходится, то по признаку сравнения данный интеграл сходится абсолютно.
Теорема 2.(Абеля-Дирихле). Если
1)функция непрерывна на полуинтервале [a, ∞] и имеет на нем ограниченную первообразную F(x);
2)функция g(x) монотонно убывает, стремится к 0 при x→+∞ и имеет непрерывную производную g’(x), то несобственный интеграл сходится.
Док-во. Покольку функции f(x), g(x), f(x)g(x) непрерывны на [0, ∞), то они интегрируемы на любом конечном отрезке [a, x]. Рассмотим интеграл (x’<x”≥a) и проинтегрируем его по частям.
==g(x)F(x) -.(1)
По условию теоремы ≤M. Поскольку g(x)→0 при x→+∞ монотонно убывает, то g(x)>0, а g’(x)<0. Из (1) получим ≤+≤M(g(x’)-g(x”))+M=2M(g(x’)-g(x”)). (2)
Т.к.
g(x)→0
при x→+∞,
то по критерию Коши g(x’)-g(x”)<ε/2
для Vε>0
и для Vx’,
x”>A(ε),
т.е. выполняется критерий Коши сходимости
несобственного интеграла
.
Теорема доказана.
Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл .
Решение. Доопределим подынтегральную функцию, т.е. положим =1, и представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов
=+.
Поскольку 1-й интеграл (собственный) существует, то следует исследовать на сходимость только 2-й интеграл. По признаку Абеля-Дирихле интеграл сходится, следовательно сходится и данный интеграл. Позже мы докажем, что
=π/2. (3)
Покажем теперь, что интеграл расходится. Действительно,≥=(1-cos2x). Тогда ≥=-.(4)
Интеграл расходится и равен +∞. Интегралсходится по признаку Абеля-Дирихле. Поэтому переходя в (4) к пределу приx→+∞, получим, что правая часть (а => и левая) неравенства →∞. =>, интеграл расходится, а вместе с ним расходится и интеграл.
Вывод: интеграл условно сходящийся.
Замечание
2. Из
сходимости интеграла
следует сходимость интеграладляVx≥0.
Этот интеграл определяет неэлементарную
функцию six=,
о которой говорилось ранее (см. §9 гл.
7).
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл Френеля .
Решение. =+=+. => интеграл сходится по признаку Абеля-Дирихле.
Решение. Доказать, что интеграл Френеля сходится условно.
§11. Несобственный интеграл и ряд. Интегральный признак Коши сходимости ряда.
Между несобственными интегралами 1-го рода и числовыми рядамисущесвует глубокая аналогия. Если суммирование поn заменить интегрированием по x, то общему члену ряда будет соответсвовать подынтегральная функцияf(x). Частичной сумме ряда - собственный интеграл. Сумме ряда-несобственный интеграл. Остатку ряда=- интеграл.
Аналогичны и признаки сходимости для рядов и несобственных интегралов – критерий Коши, признаки сравнения, признак Абеля-Дирихле и др. Однако полной аналогии нет. Например, нет аналога необходимому признаку сходимости ряда – если ряд сходится, то→0 приn→∞. Если интеграл сходится, тоf(x) может и не →0. Например, интеграл Френеля сходится (см пр3 §10), ноне →0 приx→∞.
По определению несобственный интеграл сходится, если ф-яF(x)= имеет предел приx→+∞, если для любой б.б. последовательности {} соответствующая последовательностьF()=сходится.
С другой стороны вопрос о пределе последовательности F() тождественен вопросу о сходимости ряда
F()+(F()-F())+(F()-F())+…+(F()-F())+…==,
, т.к. F()-частичная сумма этого ряда.
Все выше сказанное сформируем в виде след. теоремы.
Теорема 1. Для сущ. Несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы ряд
, ,>a (1)
сходился к одной и той же сумме при любом выборе б.б. последовательности {}. Эта сумма и дает значение несобственного интеграла.
Замечание. Если подынтегральная ф-я f(x) неотрицательная на [a, +∞), то для сущ. интеграла достаточно сходимости рядя (1) при одном частном выборе б.б. последовательности {}. Действительно, в этом случае ф-яF(x)=монотонно возрастающая, а последовательностьF() ограничена суммой ряда (1) и => имеет предел.
Поскольку для рядов известны многочисленные признаки сходимости, то иногда удобнее вопрос о сходимости несобственного интеграла свести к вопросу о сходимости ряда.
Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл , α, β>0.
Решение. Если f(x)- интегральная ф-я, то при πn≤x≤π(n+1) имеем
≤f(x)≤.(2)
Найдем интеграл ====. Интегрируя неравенство (2) в пределах от πn до π(n+1), получим
≤≤. (3)
Суммируя неравенство (3) по n от 0 до ∞, получим
≤≤.
Оба крайних рядя в последнем неравенстве сходятся или расходятся одновременно с рядом =(предельный признак сравнения), который сходится прии расходится при. При этих же условиях сходится или расходится данный интеграл.
Теорема 2. Если подынтегральная ф-я f(x) непрерывная, неотрицательная и монотонно убывающая на [0, ∞), то несобственный интеграл и рядодновременно сходится или одновременно расходится.
Док-во. Пусть n≤x<n+1. Поскольку ф-я f(x) монотонно убывающая, то f(n+1)<f(x)≤f(n). Интегрируя эти неравенства в пределах от n до n+1, получим f(n+1)<≤f(n). Суммируя по n от 0 до ∞, получим =≤≤. Эти неравенства доказывают теорему.
Теорема 2 носит название интегрального признака Коши сходимости ряда.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Ф-я f(x)=удовлетворяет требованиям теоремы 2 на [3, ∞). Воспользуемся интегральным признаком Коши.
===
При α=1 =lnlnx- расходится.
Вывод: данный интеграл сходится при α>1 и расходится при α≤1.