Ортогональные переносчики. Разделение ортогональных сигналов

Как следует из (1.8), разделение группового сигнала на при­еме сопряжено с обращением матрицы Е. При большой размер­ности этой матрицы, т.е. при большом N, операция обращения чрезвычайно трудоемка. Решение задачи существенно облегчает­ся, если матрица ортогональна. Ортогональные матрицы облада­ют свойством Е^-1 = Е^T.

Если матрица Е ортогональна, то должно выполняться условие

E^-1E=E^TE=

где I - единичная матрица; е_n^T е_k— скалярное произведение век­торов.

Теперь видно, что для выполнения условия Е^TЕ=I необходи­мо одновременное выполнение следующих условий:

Из курса математики известно, что векторы, обладающие ука­занными свойствами, называются ортонормированными, т.е. ор­тогональными с единичной нормой (длиной) вектора. Свойство ортонормированности векторов-пере­носчиков обеспечивает разбиение векторного уравнения на N не связанных скалярных уравнений:

Разделение линейно независимых сигналов

Если переносчики не обладают свойством ортогональности, то разделение группового сигнала может быть выполнено не только, согласно алгоритму (1.8), связанному с обращением мат­рицы Е. На приемной стороне формируется совокупность линей­но независимых векторов {b_n}, взаимно ортогональных к совокуп­ности переносчиков {e_n}.

При формировании векторов b_n нужно руководствоваться алгоритмом:

Разделение сигналов с конечной энергией

Введенные ранее понятия линейной независимости и ортого­нальности (ортонормированности) в полной мере справедливы и для непрерывных во времени переносчиков е_n(t), обладающих конечной энергией, т.е.

Для таких переносчиков условие линейной независимости имеет место, когда тождество правомерно только при условии.

Ортогональными (ортонормированными на интервале 0…Δt) являются переносчики, для которых скалярные произведения удовлетворяют условиям

Такие переносчики, называемые иногда базисными функциями, широко применяются при организации многоканальной передачи дискретных сообщений. Алгоритм формирования группового сигнала на передаче с помощью таких переносчиков определяется аналогично (1.6), т.е.

S(t)=a₁ e₁(t)+...+a_N e_N(t)= (1.9)

где E(t) = [e₁(t),..., e_n(t)]^T - вектор переносчиков; А=[а₁,...,a_N]^T -вектор первичных сигналов.

Процедура выделения первичных сигналов на приеме здесь также определяется путем вычисления скалярных произведений, т.е.

(1.10)

Поскольку переносчики по предположению ортогональны на интервале интегрирования, то векторный алгоритм разделения (1.10) разбивается на N независимых скалярных алгоритмов:

Свойством ортогональности обладает множество функций, например отрезки тригонометрических функций кратных аргу­ментов, полиномы Чебышева, Лаггера, Эрмита, Лежандра, Уолша, Хаара и др.

На рис. 1.7 приведена структурная схема МСП дискретных сигналов a_n(iΔt) с ортогональными базисными функциями e_n(t).

Рис. 1.7. Структурная схема системы передачи с ортогональными переносчиками

Разделение сигналов с конечной мощностью

Рассмотренные до сих пор методы организации многоканаль­ной передачи применимы к передаче дискретных во времени первичных сигналов или же отсчетов непрерывных сигналов. Вместе с тем идея использования для многоканальной передачи линейно независимых или ортогональных переносчиков может использоваться и для передачи непрерывных во времени первич­ных сигналов с ограниченным спектром. Однако здесь следует употреблять функции-переносчики ортогональные или хотя бы ли­нейно независимые на бесконечном промежутке времени. Указан­ные свойства обеспечиваются за счет введения понятия ортого­нальности базисных функций с определенным весом g(τ), т. е.

а) 6)

Рис. 1.8. К понятию весовой функции

Приведенный алгоритм формирования группового сигнала (1.11) и алгоритм разделения (1.12) справедливы для всех типов МСП.

12