Условие линейного разделения сигналов

Условие линейной независимости уравнений системы (1.2), определяющее возможность линейного разделения группового сигнала на индивидуальные, означает, что столбцы матрицы Е, соответствующей определителю Δ, линейно независимы. Это же относится и к строкам.

Условие линейной независимости столбцов соблюдается толь­ко тогда, когда выполняется тождество

что имеет место лишь при условии α₁ = α₂ = α₃=0. Если тождество выполняется хотя бы при одном α_n≠0, то система линейных уравнений (1.2) будет линейно зависимой, а следовательно, из группового сигнала {S₁, S₂, S₃} нельзя выделить первичные сигналы а₁ а₂ а₃. В курсе линейной алгебры одностолбцовые матрицы принято называть векторами. Поэтому тождество (1.3) целесообразно переписать в виде

(1.4)

При выявлении связи между cледует составить определитель Грама:

где γ_nk=- скалярное произведение векторов.

Т - означает знак транспонирования матрицы.

Напомним, что транспонирование матрицы означает поворот ее относительно главной диагонали, а транспонирование векто­ра-столбца переводит его в вектор-строку.

Если определитель Грама положителен, то векторы e_n линейно независимы. Если же G=0, то векторы будут линейно за­висимы.

Максимальное число линейно разделимых сигналов в n-мерном линейном пространстве

Напомним, что размерность линейного векторного простран­ства определяется числом координат используемых векторов. Пусть заданы N линейно независимых векторов в N-мерном ли­нейном пространстве. Тогда на основании (1.4) для этих векто­ров справедливо соотношение

(1.5)

Возьмем еще один вектор , в том же N-мерном простран­стве. Добавив его в уравнение (1.5), получим

Это уравнение перепишем в виде

где - матрица, составленная из линейно независи­мых векторов, - вектор коэффициентовα_N. Из этого уравнения находим, что

или

Матрица Е неособенная, поскольку ее столбцы линейно неза­висимы. Тогда если только е_N+1, не нулевой вектор, то и α также не нулевой вектор. Поэтому вектор е_N+1, является линейной ком­бинацией векторов е₁,...,e_N. Следовательно, в N-мерном про­странстве может быть лишь N линейно разделимых сигналов.

Рис. 1.6 К определению максималь­ного числа линейно-независимых сигналов

Формирование группового сигнала

С учетом введенных ранее обозначений перепишем систему линейных уравнений (1.2) в следующем виде:

(1.6)

где - вектор группового сигнала.

Соотношение (1.6) является алгоритмом формирования груп­пового сигнала. Векторы е₁, е₂,e₃ принято называть переносчи­ками, а векторы S₁,S₂,S₃ - канальными сигналами.

Уравнение (1.6) можно представить в более компактной форме

(1.7)

A=[a₁, ..., a_N]^T - вектор первичных сигналов, матрица была определена ранее.

Очевидным решением данного уравнения относительно А яв­ляется

(1.8)

Это уравнение правомерно тогда, и только тогда, когда матрица Е неособенная, т.е. ее определитель не равен нулю, а это имеет место, когда переносчики линейно независимы.

Таким образом, вновь убеждаемся, что линейная независи­мость переносчиков является необходимым и достаточным усло­вием разделимости группового сигнала.