UML_4822 дм практикум

x, y – подформулы третей глубины.

Задача 166. Выпишите все подформулы формул (здесь и далее знак конъюнкции, если это не вызывает неоднозначности, опускается по аналогии с тем, как в алгебре опускается знак умножения):

1)x x & z x yz xy z y & xz .

2)a & c a & c ab ac & b a c ;

3)a b c ab abc ab c a a ab b ;

4)x xy y & xy xyz z x ;

5)b & a c a b & b c & a b ;

6)xy & xy y xyz x xz y ;

7)a & b c c d a bc & a & c b c ;

8)y & x z y z x & y x & z y z ;

9)ab bc & a b c & abc ac b ;

10)z x z y z x & y x ;

11)x & y z x & y y x & z ;

12)x xz xy & z y x yz .

3.2. Равносильные формулы алгебры логики

Определение. Две формулы А и В логики высказываний называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в них высказываний.

Иначе, две формулы логики высказываний, определяющие одну и ту же функцию, называются равносильными. Равносильность обозначают знаком (А В).

Важнейшие равносильности можно разбить на три группы.

I.Основные равносильности.

1)х & x x (x & x & ... & x x)

- законы идемпотентности;

2)x x x (x x ... x x)

3)х&1 x;

4)х 1 1;

5)х&0 0;

6)х 0 x;

71

7)x & x 0 – закон противоречия;

8)x x 1 – закон исключенного третьего;

9)x x – закон снятия двойного отрицания;

10)x & ( y x) x

законы поглощения.

11)x ( y & x) x

II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

1)х y (x y) & (x y);

2)х у х у ;

3)х & у х y

закон де Моргана ;

4)x y x & y

5)х &y x y ;

6)х y x & y .

III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

1)х &y y & х – коммутативность конъюнкции;

2)х y y х – коммутативность дизъюнкции;

3)х&(y&z) (х&y)&z – коммутативность конъюнкции;

4)х (y z) (х y) z – ассоциативность дизъюнкции;

5)х&(y z) (х&y) (х&z) – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

6)х (y&z) (х y)&(х z) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

Очевидно, что отношение равносильности формул логики высказываний (так же как отношение тождественности алгебраических выражений) является:

1)рефлексивным А А для любой формулы А.

2)симметричным, то есть если А В, В А для любых формул А и В.

3)транзитивным, то есть если А В и В С, то А С для любых формул А, В, С.

Используя равносильности I, II, III и их свойства, можно часть формул алгебры логики или всю формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования называют равносильными. Равносильные преобразования формул применяются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.

В качестве примера преобразования формулы логики высказываний

сиспользованием некоторых из перечисленных выше свойств приведем

преобразование формулы pq r в формулу рr q .

В скобках будут указаны используемые свойства логических опера-

ций:

72

(II.2).

Отношение равносильности этих формул pq r и ðr q докажем посредством таблиц истинности.

Так как столбцы 5 и 9 значений анализируемых формул совпадают, то есть эти формулы принимают одинаковые значения (обе – И, или обе – Л) при любом наборе значений переменных p, q, r, то они определяют одну и ту же функцию логики высказываний (в данном случае – одну и ту

Рассмотрим некоторые наиболее распространенные соглашения о записи формул.

При решении задач, примеров необходимо помнить следующее:

1. Не заключать в скобки формулу или часть ее, стоящую под знаком отрицания, то есть писать p q & r вместо ( p q) & r .

Операция инверсии является наиболее приоритетной среди основных операций.

2. Считать, что знак конъюнкции связывает аргументы формулы «сильнее» знаков дизъюнкции, импликации и эквиваленции, то есть писать

p & q r вместо ( p & q) r ; p q & r вместо p (q & r) ;

73

p & q r & s вместо ( p & q) (r & s) .

3. Считать, что знак дизъюнкции связывает сильнее, чем знак эквиваленции, то есть писать

p q r вместо ( p q) r ; p q r вместо p (q r) .

4.Считать, что знак импликации связывает сильнее, чем знак экви-

валенции, то есть писать

p q r вместо ( p q) r .

5.Опускать внешние скобки, то есть скобки, которые заключают

внутри себя все остальные символы, составляющие формулу. Так, формулу ( p & (q r)) писать p & (q r) .

Соглашения 1-5, а также опускание знака конъюнкции, значительно упрощают запись формул.

Например, формула

((( p & q) r) (( p q) r )) ,

записанная с учетом этих соглашений будет выглядеть так: pq r ( p q r ) .

При чтении формула может быть названа по «последней» операции, знак которой слабее всех остальных знаков операций, входящих в формулу. Так, записанная выше формула представляет собой импликацию.

Для закрепления этого материала рассмотрим несколько примеров. Пример 167. Записать нижеследующие формулы с учетом принятых

выше соглашений об опускании скобок:

1)((( p q) & r ((q r) ( p q))) ;

2)((( p (q r)) q) ((q q) ( p q))) ;

3)( p & (q (r ( p q))).

Ответ. 1) ( p q)r q r ( p q) .

Пример 168. Доказать, что формула А х (у х) – ТИФ.

Решение. Произведем над формулой А равносильные преобразова-

ния:

А х (у х) x ( y x) x (x y) (x x) y È y È 1

В примерах будем использовать И 1; Л 0.

Пример 169. Доказать равносильность p q p & q .

Решение. Для доказательства равносильности подвергнем левую

B ( p q p q) & q .

74

Решение. Используя формулы равносильных преобразований, получим следующий результат:

B( p q p q) & q ( p q p q) ( p q p q) & q

(( p p) (q q)) & q (1 q) & q 1& q q.

Задача 171. Докажите равносильность:

1)x y x y ;

2)x (x & y) x y ;

3)xy xy x y x y ;

4)x y y x ;

5)x ( y z) x dy z ;

6)(x y) & (z t) y z xt y t .

Задача 172. Необходимо упростить формулу:

1)(x x) x ;

2)(x x) y ;

3)x y (x y) & x ;

4)(x y) & (x y) ;

5)(x y) & ( y z) (z x) ;

6)(x y (z y y x)) & (x x (x x)) y ;

7)(x & x & x y & y z) x ( y & z) ( y & z) ;

8)(x & ( y z y z)) ( y & x & y) x ( y & x & x) ;

9)(x y) & ( y z) (x z) ;

10)(x z) (x z ) ( y z) (x y z) .

Ответ. 1) х; 2) x y ; 3) x y; 4) x&y; 5) x z ; 6) x y; 7) 1; 8) x y; 9)

1; 10) x yz.

Пример 173. Студент решил в каникулы прочитать не менее двух книг, сходить в театр или на концерт и, если выпадет снег, съездить за город на лыжную прогулку. В каком случае можно считать, что он свое решение не выполнил?

Составьте формулу, соответствующую решению студента. Отрицание этой формулы преобразуйте так, чтобы знаки отрицания были только над элементарными формулами. Полученную формулу переведите на естественный язык.

Решение. Прежде всего, формализуем задачу, обозначив соответствующие высказывания формулами:

a – прочитать не менее 2 книг; b – сходить в театр;

c – сходить на концерт; d – выпадение снега;

75

e – съездить за город на лыжную прогулку.

Тогда решение студента запишется в виде a&(b c)&(d e). Возьмем отрицание этой формулы и, используя равносильные преобразования, получим: a b c de , то есть студент не выполнил свое решение, если он за

каникулы прочитал менее двух книг или не сходил ни в театр, ни на концерт, или выпал снег, а он не съездил за город на лыжную прогулку.

Задача 174. В одном спортивном клубе были приняты такие правила: а) члены волейбольной секции обязаны заниматься и в секции плавания; б) нельзя состоять одновременно в шахматной секции и в секции плавания, не занимаясь в волейбольной секции; в) ни один член шахматной секции не может состоять в волейбольной секции. Упростите эти правила.

Пример 175. Выразите: а) конъюнкцию, импликацию и эквивалентность через дизъюнкцию и отрицание; б) конъюнкцию, дизъюнкцию и эквивалентность через импликацию и отрицание.

Решение.

а) x & y x y ; x y x y ; x y x y y x ;

в) x & y x y ; x y x y ; x y x y y x .

Пример 176. Обвиняемые А, В и С дали следующие показания: А: «В виновен, а С невиновен»; В: «А невиновен или С виновен»; С: «Я невиновен, но хотя бы один из А и В виновен». Совместимы ли эти показания? Предполагая, что все показания правдивы, определите, кто виновен.

Решение. В соответствии с условием необходимо высказывание формулировать в виде следующей логической записи:

ÂÑ(À Ñ)Ñ(ÀÂ ÀÂ ÀÂ) .

Пожалуйста, преобразуйте и упростите эту формулу, в результате должна получиться формула: ÂÑÀ . А это значит, если перевести на естественный язык, что виновен обвиняемый В.

Пример 177. Можно ли одновременно удовлетворить пожелания преподавателей, если при составлении расписания на понедельник были высказаны пожелания, чтобы математика была первым или вторым уроком, физика – первым или третьим, литература - вторым или третьим.

Решение. Необходимо обозначить элементарные высказывания: Уроки математики: М1, М2– соответственно первый и второй. Уроки физики: Ф1, Ф3 – соответственно первый и третий. Уроки литературы: Л2, Л3 – соответственно второй и третий.

Итак, желаемое расписание предварительно может быть отображено логической формулой сложного высказывания:

(М1 М2) (Ф1 Ф3) (Л2 Л3).

76

После преобразования и с учетом того, что на одном и том же по порядку уроке не могут быть разные предметы, ответ будет таким: М1Л2Ф3

Ф1М2Л3.

В задачах 178 и 179 самостоятельно без подсказок установите совместимость сложных рассуждений. Алгоритм их решения аналогичен алгоритму предыдущих примеров.

Задача 178. Либо свидетель не был запуган, либо, если Генри покончил жизнь самоубийством, записка была найдена. Если свидетель был запуган, то Генри не покончил жизнь самоубийством. Если записка была найдена, то Генри покончил жизнь самоубийством.

Задача 179. Если курс ценных бумаг растет или процентная ставка снижается, то либо падает курс акций, либо налоги не повышаются. Курс акций понижается тогда и только тогда, когда растет курс ценных бумаг и налоги растут. Если процентная ставка снижается, то либо курс акций не понижается, либо курс ценных бумаг не растет. Либо повышаются налоги, либо курс акций понижается и снижается процентная ставка.

Пример 180. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике»; Джонс сказал, что это был черный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только ее цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?

Решение. Знание математического аппарата логики высказываний позволит следователю разрешить этот криминальный пример. Он предварительно обозначил элементарные высказывания (показания обвиняемых):

a - машина синего цвета;

b- машина марки «Бьюик»;

c- машина черного цвета;

d- машина марки «Крайслер»;

e- машина марки «Форд Мустанг».

Поскольку либо цвет машины, либо марка автомобиля каждым соучастником ограбления были названы верно, тогда

показания Брауна: a b=1; показания Джонса: c d=1; показания Смита: a e 1.

Объединяя конъюнкцией эти показания, следователь получил логическую модель раскрытия преступления:

(a b)&(c d)&( a e) = 1&1&1 = 1.

77

Используя первый дистрибутивный закон, можно заменить конъюнкцию трех дизъюнкций на восемь конъюнкций:

(a b)&(c d)&( a e) = (ac ad bc bd)&( a e) = aca ada

преобразованию в обычной алгебре чисел:

(a + b) (c + d) (f + e) = acf + ace + adf + ade + bcf + bce + bdf + bde.

Анализируя выражение (1.1), получаем aca =0; ada =0 – по закону противоречия; bda =0, ace=0, ade=0, bce=0, bde=0 – по условию задачи, поскольку машина не может быть одновременно двух разных марок или цветов, следовательно, bca . А это значит, что преступники скрылись на черном «Бьюике».

Задача 181. Четыре студентки, имена которых начинаются буквами А, Е, С, Р, посещают институт по очереди и ведут общий конспект лекций. Необходимо составить график посещения на ближайшую неделю, учитывая, что:

1)понедельник - день самостоятельной работы на курсе, и в институт не ходит никто, а в субботу необходимо быть всем;

2)С и Р не смогут пойти на занятия во вторник в связи с большой загруженностью в понедельник;

3)если С выйдет в среду или Р - в четверг, то Е согласится побывать на занятиях в пятницу;

4)если А не пойдет в вуз в четверг, то Е позволит себе сходить туда

всреду;

5)если А или Р будут в институте в среду, то С сможет пойти в пят-

ницу;

6)если Р в пятницу вместо института пойдет на соревнования, то А придется сходить в институт во вторник, а С – в четверг.

Ответ. График посещений такой: А – во вторник, Е – в среду, С – в четверг, Р – в пятницу. Для получения графика посещения необходимо составить формулы, отображающие элементарные высказывания в соответствии с днями недели, используя логические операции.

Задача 182. Четыре друга - Антонов (А), Вехов (В), Сомов (С) и Деев (Д) решили провести каникулы в четырех различных городах - Москве, Одессе, Киеве и Петербурге. Определите, в какой город должен поехать каждый из них, если имеются следующие ограничения:

1)если А не едет в Москву, то С не едет в Одессу;

2)если В не едет ни в Москву, ни в Петербург, то А едет в Москву;

3)если С не едет в Петербург, то В едет в Киев;

4)если Д не едет в Москву, то В не едет в Москву;

5)если Д не едет в Одессу, то В не едет в Москву.

78

Ответ. С учетом обозначения ХY – «Х должен уехать в город Y» от-

вет запишется так: АМВКСПДО АМВОСПДК АМВКСОДП.

Задача 183. После обсуждения состава участников предполагаемой экспедиции было решено, что должны выполняться два условия:

а) если поедет Арбузов, то должны поехать еще Брюквин или Вишневский;

б) если поедут Арбузов и Вишневский, то поедет и Брюквин. Требуется составить логическую формулу, упростить ее и дать более

простую формулировку принятого решения о составе экспедиции. Комментарии к решению задачи. Назначение в экспедицию Арбузо-

ва, Брюквина и Вишневского обозначим буквами А, Б, В соответственно. Условие а) запишется А Б В, б) А&В Б. Так как оба условия должны выполняться одновременно, то они должны быть соединены логической связкой «и». Поэтому принятое решение можно записать в виде следующей символической формулы:

(А Б В) (А&В Б)= (А Б В)(А В Б)=(А Б) ВВ=А Б –

если поедет Арбузов, то поедет и Брюквин. Это и есть наиболее простая словесная формулировка принятого решения о составе экспедиции.

Задача 184. Определите, кто из четырех студентов сдал экзамен, если известно:

1)Если первый сдал, то и второй сдал.

2)Если второй сдал, то и третий сдал или первый не сдал.

3)Если четвертый не сдал, то первый сдал, а третий не сдал.

4)Если четвертый сдал, то и первый сдал.

Ответ. Экзамен сдали все студенты.

Задача 185. На вопрос: «Кто из трех студентов изучал математическую логику?» получен верный ответ: «Если изучал первый, то изучал и третий, но неверно, что если изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал математическую логику?

Ответ. Математическую логику изучал второй студент.

В задачах 184 и 185 необходимо доказать достоверность ответов. Пример 186. Для полярной экспедиции из восьми претендентов A,

B, C, D, E, F, G, H надо отобрать 6 специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанности биолога могут выполнять E и G, гидролога - В и F, синоптика - F и G, радиста - С и D, механика - С и Н, врача - А и D. Хотя некоторые претенденты владеют двумя специальностями, в экспедиции каждый сможет выполнять только одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если F не может ехать без В, D без Н и без С, С не может ехать одновременно с G, а А не может ехать вместе с В?

Решение. Рассмотрим 8 высказываний:

79

А {претендент А взят в экспедицию}; В {претендент В взят в экспедицию};

..................................................................

Н {претендент Н взят в экспедицию}.

Так как для двух претендентов, владеющих одной специальностью, необходимо взять, по крайней мере, одного, то E G=1, B F=1, F G=1, C D=1, C H=1, A D=1. Помимо этого в условии задачи сказано, что

B F=1, CH D=1, G C=1, B A=1. Выпишем конъюнкцию всех десяти высказываний и упростим получившееся выражение:

( B F )( CH D )( G C )( B A )(E G)(B F)(F G)(C D) (C H) (A D) =1, (B F)(HC D)(G C)(B A) (E G) (B F) (F G) (C D) (C H) (A D) =1.

Учитывая, что BA(A D)=ABA ABD=ABD , В (B A) = BB BA=BA ,

(B F) (B F) = В, получаем

ABD(HC D)(G C) (E G) (F G) (C D) (C H)= = ABDHC(G C)(G EF)(C DH)=1.

Упрощая далее, получим

ABDHCG(G EF)(C DH)=

(ABDHCGG ABDHCGEF)(C DH)=ABCDEFGH , т.е. в экспедицию следует взять всех, кроме А и G. Но если А не едет, то D должен ехать в качестве врача. Поскольку не едет G, то Е обязан ехать в качестве биолога и F в качестве синоптика, но тогда В будет выполнять обязанности гидролога. Так как D едет врачом, то С должен работать радистом, а следовательно, Н – механиком.

Задача 187. Докажите тождественную истинность или тождественную ложность формул:

1)x y x y x ;

2)x y z x & y z ;

3)x x y & y ;

4)x & y z x y z .

Ответ. 1) 1; 2) 1; 3) 0; 4) 1.

Задача 188. Найдите х, если x a x a b .

Ответ. х b .

Задача 189. Однажды следователю пришлось одновременно допрашивать трех свидетелей: Клода, Жака и Дика. Их показания противоречили друг другу, и каждый из них обвинял кого-нибудь во лжи:

1.Клод утверждал, что Жак лжет.

2.Жак обвинял во лжи Дика.

3.Дик уговаривал следователя не верить ни Клоду, ни Жаку.

80