UML_4822 дм практикум

Задача 137. Сколько разных чисел может содержать 10-разрядное слово в троичной системе счисления?

Решение. В первый разряд можно поставить один из трех символов (0, 1 или 2), во второй разряд – также один из трех символов и т.д. Всего получаем 310 чисел.

Задача 138. Кодовый замок имеет 5 одинаковых ячеек, каждая ячейка может быть установлена в одно из 6 устойчивых положений. Сколько различных комбинаций нужно перебрать (максимальное количество), чтобы, не зная кода, открыть кодовый замок?

Ответ. A56 5 56 .

Задача 139. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам?

Решение. Поскольку по условию задачи в один вагон могут сесть несколько человек, и поскольку рассадка зависит от того, кто в каком вагоне находится, то используем формулу размещения с повторениями, получаем

A97 9 97 .

Эту же задачу можно решить, применяя комбинаторный принцип умножения: действие – рассадить 7 человек распадается на 7 этапов: разместить первого пассажира, разместить второго пассажира, …, разместить седьмого пассажира. Первый этап – размещение первого пассажира можно выполнить 9 способами, второго пассажира тоже можно разместить 9 способами, и т.д.:

9 9 ... 9 97 4782969 .

7

Задача 140. Пятеро студентов сдают экзамен. Каким количеством способов могут быть выставлены оценки, если известно, что никто из студентов не получил неудовлетворительной оценки?

Решение. Первый студент может получить одну из трех оценок – 5, 4 или 3, второй студент – также одну из трех символов и т.д. Всего получаем 53 = 125 способов оценок.

Задача 141. На почте имеется 5 типов марок одинакового достоинства. На конверт нужно наклеить 3 марки. Сколько существует различных комбинаций наклейки марок на конверт, если порядок наклейки марок имеет значение?

Ответ. A35 3 35 243.

Задача 142. Частично определенная булева функция в таблице истинности (диаграмме Вейча) кроме 1 и 0 содержит 30 прочерков. На месте каждого прочерка при доопределении может быть поставлена 1 или 0. Сколько существует разных способов доопределения этой булевой функции?

61

Ответ. A302 30 302 900.

Задача 143. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.

Решение. Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно A104 10 104 10000 . Если учесть возможность того, что буквы в номере автомобиля могут повторяться, то количество комбинаций по две буквы равно A303 30 303 27000. Окончательно, так как

каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то по правилу произведения полное количество автомо-

бильных номеров равно 10000 27000 = 270.000.000.

Задача 144. Сколько существует 7 разрядных чисел, в первых трех разрядах которых нет цифр 0, 8, 9?

Решение. Такое число получают в два этапа: на первом этапе формируют первые три разряда из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (без 0, 8, 9). Число таких возможных вариантов равно A73 7 73 . На втором этапе формируют

оставшиеся 4 разряда, используя уже любую из 10 цифр. Число таких возможных вариантов равно A104 10 104 . Окончательно по правилу произ-

ведения имеем 73 104 чисел.

Задача 145. Сколько существует пятизначных чисел? Во скольких из них все цифры четны? Во скольких все цифры нечетны? Во сколько не входят цифры, меньше чем 6? Во скольких нет цифр, больших чем 3? Сколько из них содержат все цифры 1, 2, 3, 4, 5? Сколько содержат все цифры 0, 2, 4, 6, 8?

Ответ. Количество пятизначных чисел равно 90 000, из них каждая цифра является четным числом в 4 54 = 2500 случаях, нечетным – в 55 = 3125 случаях. Цифры, меньшие чем 6, не входят в 45 = 1024 случаях, а большие чем 3, в 3 44 = 768 случаях. Все цифры 1, 2, 3, 4, 5 содержат 5! = 120 чисел, а все цифры 0, 2, 4, 6, 8 содержат 4 4! = 96 чисел.

3.Алгебра логики

3.1.Формулы алгебры логики

Определение. Под булевской переменной понимают переменную, которая может принимать только два значения – 1 или 0 («истина» или «ложь», что иногда обозначается буквой И(Л)).

Будем обозначать булевские переменные малыми латинскими бук-

вами (p, q, x, y, z,...).

62

Отрицанием высказывания р называется высказывание р ( p), которое истинно, если р ложно, и ложно, если р истинно. Высказывание ð читается так: «не р». Таблица истинности для р имеет вид табл. 3.1.

Таблица 3.1

Таблица истинности ð

Конъюнкцией высказываний р, q называется высказывание p q (p&q), которое истинно, если р и q истинны, и ложно, если хотя бы одно из высказываний р или q ложно. Высказывание p&q читается : «р и q».

Дизъюнкцией высказываний р, q называется высказывание p q, которое истинно, если бы хотя бы одно из высказываний р или q истинно, и ложно, если оба они ложны. Высказывание p q читается: «р или q».

Импликацией высказываний р или q называется высказывание p q, которое ложно, если р истинно и q ложно, и истинно во всех остальных случаях. Высказывание p q читается так: «если р, то q».

Эквивалентностью (или эквиваленцией) высказываний р, q называется высказывание p q, которое истинно, если оба высказывания р и q одновременно истинны или ложны, и ложно во всех остальных случаях. Высказывание p q читается «р тогда и только тогда, когда q».

Неравнозначностью (или сложением по модулю два) высказываний р, q называется высказывание p q, которое ложно, если оба высказывания р и q одновременно истинны или ложны, и истинно во всех остальных случаях. Высказывание p q читается «р неравнозначно q».

Таблица истинности для этих логических операций имеет вид табл.

3.2.

Таблица 3.2 Таблица истинности основных логических операций

Все высказывания можно разделить на простые (или элементарные) и составные (или сложные). Всякое сложное высказывание, которое мо-

63

жет быть получено из элементарных высказываний посредством применения определенных выше пяти логических операций, называется формулой алгебры логики.

Формулы алгебры логики будем обозначать большими математическими буквами. Логические значения формулы при различных комбинациях значений входящих в нее высказываний можно описать посредством таблицы, которая называется таблицей истинности формулы.

Формула А, принимающая истинное значение при любых комбинациях значений входящих в нее высказываний, называется тождественно истинной формулой (ТИФ) или тавтологией и записывается А 1. Формула В, принимающая ложное значение при любых комбинациях значений входящих в нее высказываний, называется тождественно ложной формулой (ТЛФ) и записывается В 0.

Ниже приводятся примеры к этому разделу.

Пример 146. Среди следующих предложений выделите высказывания и установите, истинны они или ложны:

1)река Волга впадает в озеро Ильмень;

2)всякий человек имеет брата;

3)да здравствуют наши спортсмены;

4)существует человек, который моложе своего отца;

5)который час?

6)ни один человек не весит более 1000 кг;

7)23<5;

8)для всех действительных чисел x и y верно равенство x + y = y + x;

9)x2 – 7x + 12;

10)x2 – 7x + 12 = 0.

Решение. Легко видеть, что высказывания 4), 6), 8) – истинны, а высказывания 1), 2), 7) – ложны. Предложения 3), 5), 9), 10) не являются высказываниями.

Пример 147. Пусть р – высказывание «Студент N изучает французский язык», q – «Студент N успевает по математической логике (МЛ)». Необходимо привести словесную формулировку высказываний:

Решение.

а) «Студент N изучает французский язык и не успевает по МЛ»;

б) «Если студент N изучает французский язык, то он успевает по математической логике»;

в) «Студент N не успевает по МЛ тогда и только тогда, когда он не изучает французский язык».

Задача 148. Из элементарных высказываний: р – «это число целое»; q – «это число положительное»; r – «это число простое» и s – «это число

64

делится на 3» – составлены следующие сложные высказывания, заданные логическими формулами:

Необходимо прочесть все эти сложные высказывания на русском языке.

Задача 149. Какие из следующих предложений являются высказываниями?

1)Москва – столица России;

2)студент факультета автоматики и вычислительной техники;

3)3 27 28;

4)Луна является спутником Марса;

5)а > 0.

Применение логических операций позволяет формализовать любые высказывания, представленные предложениями естественного языка. Частица «не» соответствует логической операции отрицания, союзы «и», «а»

– логической операции конъюнкции, «или» («либо – либо») – логической операции дизъюнкции. Условному предложению вида «если – то» соответствует логическая операция импликации (условное предложение), сло- ва-связки «тогда и только тогда» равносильны логической операции эквивалентности (биусловное предложение).

Например, предложение: «2 есть простое число и 6 есть составное число» символически можно записать так: p&q.

Рассмотрим более сложное высказывание: «Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы или возникнет безработица. Если правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возникнет». Обозначим простые высказывания: a – «капиталовложения останутся постоянными», b – «правительственные расходы возрастут», c – «возникнет безработица», d – «налоги будут снижены». Первое предложение соответствует импликации, причем антецедентом является a («капиталовложения останутся постоянными»), консеквент состоит из дизъюнкции предложений b («правительственные расходы возрастут») и c («возникнет безработица»). Второе и третье предложения также представляют собой импликации, причем в третьем предложении антецедент состоит из конъюнкции высказываний d («налоги будут снижены») и a («капиталовложения останутся постоянными»). Все три предложения сложного высказывания следует рассматривать как конъюнкцию. Символическая запись имеет вид:

(a (b c)) & (b d ) & ((d & a) c ) .

65

Задача 150. Формализуйте следующие высказывания: 1) 2 простое число и 3 простое число;

2) Число n делится на 2 или на 3;

3) Высказывание a истинно или ложно;

4) Неверно, что две стороны трапеции конгруэнтны и параллельны; 5) Две стороны трапеции не конгруэнтны или не параллельны; 6) Неверно, что 100 делится на 3 и на 7; 7) 100 не делится ни на 3, ни на 7;

8) Если число четно и больше 2, то оно равно сумме двух простых чисел;

9) Если с >0, с>b и c2 a2+b2, то неверно, что треугольник со сторонами a,b,c – прямоугольный;

10) Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда они не имеют общих точек или совпадают.

Пример 151. Является ли высказыванием следующее предложение: «Это предложение ложно»? Поскольку решение примера может вызвать затруднения, приведем пояснения.

Итак, ответом будет: «Нет, так как предположение об истинности или ложности данного предложения приводит к противоречию».

Еще один классический пример – «Парадокс критянина». Критский философ Эпименид сказал: «Все критяне – лжецы». Если то, что он сказал верно, то, поскольку Эпименид сам критянин, сказанное им есть ложь. Следовательно, то, что он сказал, есть ложь. Тогда должен быть такой критянин, который не лжет. Последнее не является логически невозможным, и здесь нет настоящего парадокса. Тем не менее, тот факт, что произнесение Эпименидом этого важного высказывания может повлечь за собой существование критянина, который не лжет, до некоторой степени обескураживает.

Задача 152. Пусть p и q – высказывания: p – «я учусь в радиотехническом университете», q – «я люблю математическую логику». Прочтите следующие сложные высказывания: 1) p ; 2) p ; 3) p&q; 4) p & q ;

5) p & q ; 6) p & q ; 7) p & q .

Задача 153. По мишени произведено 3 выстрела. Пусть Аk мишень поражена при k-ом выстреле}, k=1,2,3. Что означают следующие высказывания?

1)A1 A2 A3;

2)A1&A2&A3;

3)( À1 & À2 & À3 ) ( À1 & À2 & À3 ) (À1 & À2 & À3 );

4)( À1 & À2 ) ( À1 & À2 & À3 ) ( À1 & À2 & À3 ) .

66

Задача 154. 1) Известно, что импликация p q истинна, а эквиваленция p q ложна. Что можно сказать о значении импликации q p?

2) Известно, что эквиваленция p q истинна. Что можно сказать о значениях эквиваленций q p и q q , о значениях импликаций ð q и

q p?

Задача 155. Проверить, не составляя таблиц истинности, являются

Ответ. Тождественно истинными являются формулы 1); 2); 3); 6)

10); 13); 14).

Пример 156. Составить таблицу истинности составного высказыва-

ния а&(b c) (b c&a) b . Вначале необходимо определить приоритет (последовательность) выполнения логических операций. Для данного примера приоритет определится так, как это показано ниже.

5 2 7 4 3 6 1

a &(b c) (b c & a) b

Определяют количество переменных, входящих в высказывание, и выписывают всевозможные наборы значений этих переменных. Количество наборов переменных определяет число строк таблицы истинности и для бинарных переменных оно равно 2n, где n – число различных переменных. Количество столбцов таблицы истинности определяется количеством последовательно выполняемых операций. Для данного примера таблица истинности имеет вид таблицы 3.3.

67

Задача 157. Составьте таблицы истинности для формул:

1)(x y) (x & y x y) ;

2)(x1 & x2 ) x3 ;

3)x & y ( y x x) ;

4)(x1 x2 ) (x1 x2 x3 ) ;

5)(a b) (a c b) (b & c & a) (a & b);

6)(a d b) (a b c) b ;

7)d & c (a b & c d) & (b & d a);

8)(a b c) a & (a b) d & b;

9)(a b c) .

10)p q & p p q ;

11)p & q p p ;

12)p & q q p q ;

13)x & y y x z ;

14)x1 x2 x1 x2 & x3 ;

16)x z & y 1 x ;

17)x1 x2 ... xn ... ;

18)x1 x2 ... xn y1 & y2 &...& yn .

Задача 158. Полиция задержала четырех гангстеров, подозреваемых в краже автомобиля: Анри, Луи, Жоржа и Тома. При допросе они дали следующие показания.

Анри: «Это был Луи». Луи: «Это сделал Том». Жорж: «Это не я».

Том: «Луи лжет, говоря, что это я».

Дополнительное расследование показало, что правду сказал только один из них. Кто украл машину?

Решение примера произвести на основе пояснения. Обозначим утверждение вида «N украл машину» первой буквой имени, стоящего на месте N, тогда результат допроса и дополнительного расследования можно выразить так: дизъюнкция показаний Л Т Ж Т истинная, и если истинно одно из показаний, то ложны все остальные. Согласно закону исключенного третьего Т истинно либо Т истинно, значит Л ложно и Ж ложно, откуда следует, что Ж истинно, то есть машину украл Жорж.

Задача 159. Пусть x = 0, y = 1, z = 1. Определите логические значения нижеследующих сложных высказываний:

68

1)x & y & z ;

2)x & y & y ;

3)x y z ;

4)x & y z ;

5)x & y z y ;

6)x y & z x & z z & y .

Задача 160. Даны следующие элементарные высказывания a число 3 является делителем числа 171}, b Петров - отличник}, c число 2 больше числа 3}, d идет дождь}. Определите их истинность. Применяя к данным высказываниям операции отрицания, дизъюнкции, эквивалентности и импликации, можно получить 34 сложных высказывания. Сколько среди них истинных, если a и b истинны, а c и d ложны?

Решение осуществите самостоятельно, а затем проверьте его правильность в соответствии с приведенными рассуждениями.

Для отрицания имеем 4 высказывания – a, b, c, d, из которых 2 истинны. Дизъюнкция даст 6 высказываний – a b, a c, a d, b c, b d и c d – первые 5 истинны. Конъюнкция даст 6 высказываний a b, a c, a d, b c, b d, c d, из которых истинно только первое. Эквивалентность дает 6 высказываний – a b, a c, a d, b c, b d, c d – истинными являются 2 (первое и последнее). Импликация дает 12 высказываний: a b=1, a c=0, a d=0, b c=0, b d=0, b a=1, c d=1, c a=1, c b=1, d a=1, d b=1, d

c=1, среди которых истинны 8. Всего получаем 2+5+1+2+8=18 истинных высказываний.

Задача 161. Определить истинность высказываний:

1)a & (a & b c ) a & b , если a=0, b=1, c=0;

2)b (d a b c) c , если a=0, b=0, c=1, d=1;

3)b (d a b c) c , если a=1, b=0, c=1, d=0;

4)a b & (d b c a d ) c , если a=0, b=1, c=0, d=1;

5)a & (b c & a d c & a) , если a=1, b=1, c=0, d=0;

6)a & (b c & a d c & a) , если a=1, b=0, c=0, d=1;

7)(a d c) (b c a & b ) , если a=0, b=1, c=0, d=1;

8)(a d c) (b c a & b ) , если a=1, b=0, c=1, d=0;

9)(b c (a b)) (c a d), если a=1, b=0, c=0, d=1;

10)(b c (a b)) (c a d), если a=0, b=1, c=0, d=0.

Задача 162. Как объяснить, что загадка «Хожу на голове, хотя и на ногах, хожу я без сапог, хотя и в сапогах» имеет решение-отгадку (гвоздь в подошве сапога). Не нарушен ли здесь закон противоречия?

69

Приобретенные навыки позволят Вам без особых затруднений выполнить задачу 18.

Задача 163. Установите, какие из следующих формул являются тождественно истинными, тождественно ложными:

1)x y x & y ;

2)x y y x ;

3)p1 p2 p1 ;

4)p1 p1 p2 ;

5)p & q q q p ;

6)p q & q r p r ;

7)x z y z x y z ;

8)p1 p2 p1 p p2 p ;

9)p1 p2 p3 p1 p2 p1 p3 ;

10)p1 p2 p1 & p p2 & p .

Результаты доказательств можно сверить с ответами: 1) ТИФ; 2)

ТИФ; 3) ТИФ; 4) ТЛФ; 5) ТЛФ; 6) ТИФ; 7) ТИФ; 8) ТИФ; 9) ТИФ; 10) ТИФ; 11) ТЛФ; 12) ТИФ; 13) ТИФ; 14) ТЛФ.

Задача 164.

1)Постройте с помощью отрицания и дизъюнкции формулу, таблица истинности для которой совпадала бы с таблицей для импликации.

2)Аналогично п.1 с помощью отрицания и импликации постройте формулу, таблица истинности для которой совпадает с таблицей для дизъюнкции, и вторую формулу с таблицей, совпадающей для конъюнкции.

Понятие подформулы

1.Если формула А есть переменная х, то ее подформулой является х.

2.Если Ā – формула, то ее подформулами являются Ā, А и все подформулы формулы А.

3.Если А*В – формула (под знаком * подразумевается любая из операций ,&, , , ), то ее подформулами являются А*В, А, В и все под-

формулы формул А и В.

Пример 165. Выписать все подформулы формулы А x y & x y . Формула А – подформула нулевой глубины;

x y, x y – подформулы первой глубины; x y, x, y – подформулы второй глубины;

70