UML_4822 дм практикум

1) Множество Е1 задает полубесконечный интервал x < 8, а множество Е2 – полубесконечный интервал x > 2. Таким образом, их объединение образует множество целых чисел E1 E2 C .

Поскольку множества представляют собой числовые интервалы, хорошо знакомые из школьного курса алгебры, то их изображение не должно составить затруднений и поэтому в качестве примера на рис. 9, а, б, в представлены объединения и пересечения только для заданий 1) – 3) соответственно.

21

Рис. 9. Графическое решение задачи 30

Теперь не составит никаких трудностей решить задачу 31.

Задача 31. Пусть А и В – конечные множества. Докажите с использованием кругов Эйлера следующие соотношения:

3) | A B | | A | | B | 2 | A B |.

Использование кругов Эйлера и диаграмм Венна позволяет решать некоторые задачи логически без составления систем уравнений, что в ряде случаев значительно упрощает вычисления. Покажем это на примере решения задачи 32. Задачи 33-37 предлагается решить самостоятельно с последующей сверкой ответов.

Задача 32. Из 100 студентов второго курса: 6 отличников, 20 спортсменов, 25 участников самодеятельности; 3 являются отличниками и спортсменами; 6 спортсменами и участниками самодеятельности; 2 отличниками и участниками самодеятельности, а 1 студент является отличником, спортсменом и участником самодеятельности.

а) Сколько студентов не является ни отличниками, ни спортсменами, ни участниками самодеятельности?

б) Сколько студентов является только отличниками?

в) Сколько студентов является отличниками или спортсменами (хотя бы одно из двух)?

г) Сколько студентов является спортсменами или участниками самодеятельности (хотя бы одно из двух)?

д) Сколько студентов является или отличниками, или спортсменами (только одно из двух)?

Решение. Из условия следует, что в задаче в качестве универсума выступает 100 студентов второго курса, которых можно разделить на три

22

основные множества – множество отличников, множество спортсменов и множество участников самодеятельности. Эти множества можно отобразить в заданном универсуме кругами Эйлера, при этом из условия задачи ясно, что множества пересекаются попарно и все три сразу, как это показано на рис. 10.

100

участники отличники самодея- 2 6

тельности 3 1

спортсмены

Рис. 10. Отображение условия задачи 32 кругами Эйлера

а) Для определения количества студентов, не являющихся ни отличниками, ни спортсменами, ни участниками самодеятельности, необходимо найти разность универсума с множествами отличников, спортсменов и участников самодеятельности. Если бы указанные множества не пересекались, то достаточно было бы вычислить 100 – 25 – 20 – 6. Однако при этом необходимо учитывать, что множества пересекаются, и подмножества их пересечений при таком вычислении будут вычтены дважды, а подмножество пересечения всех трех множеств – трижды, то, вычитая очередное множество, из него необходимо удалить подмножество пересечения с уже вычтенным подмножеством, то есть 100 – 6 – (20 – 3) – (25 – 2 – 6 + 1) = 59;

б) Для определения количества студентов, являющихся только отличниками, необходимо найти разность множества отличников с множествами участников самодеятельности и спортсменов. При этом, вычитая подмножества пересечений, отметим, что подмножество пересечений всех трех множеств будет вычтено дважды, и поэтому его необходимо вновь прибавить, то есть 6 – 3 – 2 + 1 = 2;

в) Количество студентов, являющихся отличниками или спортсменами (хотя бы одно из двух), определяется путем объединения этих множеств, то есть как сумма множеств за вычетом их пересечения: 20 + 6 – 3 = 23;

г) Количество студентов, являющихся спортсменами или участниками самодеятельности (хотя бы одно из двух), определяется аналогично, как объединение этих множеств: 20 + 25 – 6 = 39;

23

д) Количество студентов, являющихся или отличниками, или спортсменами (только одно из двух), определяется как симметрическая разность соответствующих множеств, то есть как сумма множеств за вычетом удвоенного пересечения: 20 + 6 – 3 – 3 = 20.

Задача 33. При опросе 100 студентов были получены следующие данные о числе студентов, изучающих различные языки: только немецкий

–18, немецкий, но не испанский – 23, немецкий и французский – 8, немецкий – 26, французский – 48, французский и испанский – 8, никакого языка – 24.

а) Сколько студентов изучают испанский язык?

б) Сколько студентов изучают немецкий и испанский языки, но не французский?

Ответ. а) 18; б) 41.

Задача 34. 80 человек знают хотя бы один из трех языков, причем 10 знают только английский, 14 – только немецкий, 20 – только французский, а число знающих все три языка на 2 меньше числа знающих только немецкий и французский и на 6 меньше числа знающих только английский и немецкий. Сколько человек знают:

а) все три языка?

б) французский и немецкий?

в) французский или немецкий (хотя бы один из них)?

г) или французский, или немецкий (только один из них)?

Ответ. а) 1; б) 4; в) 50; г) 34.

Задача 35. Контрольную работу, содержащую одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии, писали 105 учащихся. задачу по алгебре решили 70 человек, по геометрии – 59, по тригонометрии

–62. 90 учащихся решили задачи по алгебре или геометрии, 89 – по геометрии или тригонометрии. По алгебре или тригонометрии задачи были решены 91 учащимся, 6 школьников не решили ни одной задачи. Сколько учащихся решили все три задачи?

Ответ. Все три задачи решили 20 учащихся.

Задача 36. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 знают английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский. Один человек знает все три языка.

а) Сколько человек работает в отделе?

б) Сколько из них знают только английский? в) Сколько из них знают только французский?

Решение. Обозначим множество сотрудников, знающих английский язык буквой А, знающих немецкий – Н, французский – Ф. Тогда графиче-

24

ское решение а)-в) с использованием кругов Эйлера представлено заштрихованной фигурой на рис. 11, а – 11, в соответственно.

Рис. 11 Решение задачи 36 при помощи кругов Эйлера

а) A H Ф 6 (6 4) (7 3 2 1) 11; б) A \ H Ф 6 (4 2 1) 1;

в) Ф \ H A 7 (3 2 1) 3.

Задача 37. В результате опроса 80 человек выяснили: 45 знают английский, 31 – немецкий, 52 – французский. Три языка знают 8 человек, английский и французский – 28, а английский и немецкий – 16, немецкий и французский – 20. Сколько из опрошенных не знают ни одного языка?

Решение. В качестве универсума здесь выступает множество всех опрошенных людей. Обозначим, как и в предыдущей задаче, множество людей, знающих английский язык, буквой А, знающих немецкий – Н, французский – Ф. Решение с использованием кругов Эйлера изображено

80

ФА

Н31

Рис. 12 Решение задачи 37 при помощи кругов Эйлера

Задача 37. Определите фактор-множество Р(А), разность А\В, симметрическую разность А С, дополнение СВС для множеств А, В, С, если:

1)A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = {7, 9, 10};

2)A = {j, u, n, e}, B = {m, o, u, n, t, h}, C = {y, e, a, r};

25

3)A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, C = { };

4)A = , B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 0}, C = {7, 9, 0};

5)A = {1, c, 3, d}, B = {3, a, 5, d, 7, 0, 9}, C = {a, 9, d};

6)A = {a, 2, b, 4}, B = , C = {e, 9, 2}.

Решение. Поскольку задания 1) – 6) аналогичны, то приведем реше-

ние 1) Р(А) = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, },

А\В = {1, 2}; А С = {1, 2, 3, 4, 7, 9, 10}, СВС = {3, 4, 5, 6, 8}.

При решении 2) – 6) следует понимать разницу между и { }, первое из которых – пустое множество, а второе одноэлементное множество.

1.4.Тождества и основные свойства операций над множествами

Спомощью операций объединения, пересечения и дополнения из множеств можно составить алгебраические различные выражения.

Обозначим через Q(A, B, C) некоторое алгебраическое выражение, составленное из множеств A, B, C и представляющее некоторое множество.

Пусть N(A, B, C) - другое алгебраическое выражение, составленное из тех же множеств. Если оба выражения представляют одно и то же множество, то их можно приравнять друг другу, получая алгебраическое тождество вида

Q(A, B, C) = N(A, B, C).

Далее приведем основные свойства операций над множествами.

Тождества (1.9, а – 1.11, а) выражают соответственно коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы для объединения множества, а тождества (1.9, б – 1.11, б) – те же законы для пересечения мно-

Соотношения (1.12, а – 1.15, а) определяют свойства пустого множества и универсума U относительно объединения, а соотношения (1.12, б

– 1.15, б) – относительно пересечения. Из симметрии этих формул относительно А и A следует не только то, что A является дополнением А, но и что А является дополнением A .

С помощью операции дополнения можно в удобном виде представить разность множеств

26

Законы (1.17, а) и (1.17, б) называют законами идемпотентности и позволяют записывать формулы с множествами без коэффициентов и по-

Соотношение (1.19) выражает закон де Моргана.

Соотношения (1.20 - 1.29) отражают свойства дополнения, разности,

Принцип двойственности

Соотношения (1.9)-(1.15), (1.17)-(1.19) представлены парами двойственных (дуальных) соотношений, одно из которых получается заменой в другом символов: ( на ) и ( на ), а также ( на U) и (U на ). Соответствующие пары символов ( , ) и ( на U) называются двойственны-

27

ми (дуальными) символами. Согласно закону (принципу) двойственности, из равенства двух множеств, справедливого для любых множеств, являющихся подмножествами универсума U, и составленного с помощью операций , , , получается еще одно равенство заменой в левой и правой

частях этого равенства каждого вхождения на , на , на U и U на

.

Принцип дуальности можно распространить на разность и дизъюнктивную сумму, если использовать тождества (1.23) и (1.24).

Аналогично в соответствии с соотношением (1.31) можно заменить А В, на А B А или на А B В , то дуальным А В следует считать В А. Поэтому, расширяя принцип дуальности на выражения, в которые входит символ включения, необходимо при переходе к дуальному выражению все знаки заменять на , и обратно.

Обобщение операций над множествами

Из коммутативности и ассоциативности операции объединения (пересечения) следует, что объединение (пересечение) нескольких множеств можно выполнить, последовательно объединяя (делая пересечение) эти множества, причем порядок следования множеств не влияет на результат.

Объединение совокупности множеств представляет собой множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.

Имеют обобщение и формулы де Моргана для совокупности множеств:

разность А\В множеств А и В через следующие операции:

1)симметрическую разность и объединение;

2)симметрическую разность и пересечение;

3)симметрическую разность и разность.

Решение.

28

Однако не следует думать, что каждую операцию можно выразить через любые другие (или другую) с сохранением объема понятий, то есть так, чтобы в каждом определении одной и той же операции получалось одно и то же множество. Например, нельзя определить разность через объединение и пересечение (с сохранением объема понятия «разность»). Действительно, если А=В , то, согласно определению разности, в этом случае имеем A\B= ; любое же множество, образованное из А и В, когда А=В , с помощью операций и , равно А .

1.5. Способы доказательства на множествах

Существует три основных метода доказательства на множествах:

1.Метод включения.

2.Метод доказательства от противного.

3.Метод эквивалентных преобразований.

Рассмотрим каждый из методов более подробно с примерами доказательств.

Метод включения. Доказательство методом включения основывается

на соотношении (1.5), то есть

A B & B A A B .

Таким образом, доказательство проводится в два этапа: вначале необходимо показать A B , а затем B A . Для доказательства каж-

дого из включений достаточно доказать, что из истинности высказывания х А (х В) для произвольного х следует истинность высказывания х В

(х А).

Пример 39. Доказать методом включения тождество

A B C A B A C .

Решение. Согласно методу включения необходимо доказать, что

29

определению пересечения получаем x A (x B & x C) . Используя за-

зом, доказано первое включение.

Аналогично доказывается обратное включение, то есть предполо-

нения (x A x B) & (x A x C) . Используя закон дистрибутивности, приходим к соотношению x A (x B & x C) . Далее по определению

включение, и в соответствии с определением равенства множеств приходим к требуемому тождеству A B C A B A C .

Важно отметить, что любая теорема алгебры множеств и, в частности, соотношения (1.15)-(1.32), выводима из пяти свойств (1.9)-(1.13), которые в свою очередь доказываются только в терминах принадлежности. Это можно рассматривать как иллюстрацию аксиоматического подхода к алгебре множеств.

Например, соотношение A A A доказывается следующими преобразованиями с использованием тождеств (1.12, б), (1.13, а), (1.11, а),

(1.13, б) и (1.12, а):

A A A A U A A A A A A A.

Задача 40. Используя метод включения, докажите для произвольных множеств А, В, С справедливость следующих равенств:

30