LabTAU1-3
.pdf
ного по фазе на величину (фазовый сдвиг): y = A1 sin(!t + ):
Тогда можно рассчитать усиление по амплитуде
A = Aa1 :
Для каждой частоты входного сигнала ! будут свои A и . Если изменять частоту входного сигнала ! в широком диапазоне,
можно получить зависимость А(!) – амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и (!) – фазовую частотную характеристику (ФЧХ).
АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспериментально, что, безусловно, является достоинством метода частотных характеристик. С этой целью генератор гармонических колебаний подключается ко входу объекта и измеряется амплитуда и фазовый сдвиг колебаний на выходе объекта.
Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ W (s). Для того чтобы определить реакцию звена на синусоидальный сигнал, достаточно исследовать его реакцию на гармонический сиг-
нал вида
x(j!) = ej!t:
Выходной сигнал определяется выражением
y(j!) = A(!)ej(!t+ (!));
тогда частотная ПФ получается равной
W (j!) = y(j!) = A(!)ej (!): x(j!)
Аналитическая процедура нахождения АЧХ и ФЧХ звена состоит в подстановке s = j! в выражение W (s), получив комплексное выражение W (j!), которое можно представить в виде
W (j!) = a1(!) + jb1(!): a2(!) + jb2(!)
21
Умножив числитель и знаменатель на сопряженную знаменателю величину, находятся вещественная и мнимая части частотной пере-
даточной функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W (j!) = |
a1(!) + jb1(!) |
= |
(a1(!) + jb1(!))(a2(!) jb2(!)) |
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a2(!) + jb2(!) (a2(!) + jb2(!))(a2(!) jb2(!)) |
|
|||||||||||||||
= |
a1(!)a2(!) + b1(!)b2(!) |
+ j |
a2(!)b1(!) a1(!)b2(!) |
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
a2 |
(!) + b2(!) |
|
a2(!) + b2(!) |
|
||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= U(!) + jV (!) = A(!)ej'(!); |
||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A(!) = jW (j!)j = U2(!) + V 2(!) = p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a22 |
+ b22 ; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
+ b2 |
|
|||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
(!) = arg(W (j!)) = arctg U(!) |
= arctg a1 |
arctg a2 |
: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
V (!) |
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
b2 |
|
|||
Графики функции U(!) и V (!) называют соответственно вещественной и мнимой частотной характеристиками.
В практических расчетах удобно применять графики частотных характеристик, построенных в логарифмическом масштабе – логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ).
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ) определяется следующим выражением:
L(!) = 20 lg A(!):
Логарифмической фазовой частотной характеристикой
(ЛФЧХ) называется график зависимости (!), построенный в логарифмическом масштабе частот.
Единицей L(!) является децибел (дБ), а единицей логарифма частоты – декада. Декада – интервал частот, на котором частота изменяется в 10 раз. Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через точку ! = 0. Частоте ! = 0 соответствует бесконечно удаленная точка: lg! ! 1 при ! ! 0.
Пример.
Построим ЛЧХ апериодического звена первого порядка.
22
Передаточная функция звена |
|
|
|
|
|
|
||||
|
W (s) = |
|
k |
: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
T s + 1 |
|
|
||||||||
Частотная передаточная функция |
|
|
|
|||||||
W (j!) = |
k |
= |
k(1 T j!) |
; |
|
|||||
T j! + 1 |
(T !)2 + 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
U = |
k |
|
; V = |
kT ! |
|
: |
||||
|
|
|||||||||
(T !)2 + 1 |
(T !)2 + 1 |
|||||||||
Следовательно, АЧХ описывается формулой
A(!) = |
|
k |
; |
p |
|
||
(T !)2 + 1 |
|||
ФЧХ строится по формуле |
|
||
(!) = arctg(T!): |
|
||
ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка
p
L(!) = 20 lg k 20 lg (T!)2 + 1:
По этой формуле можно построить две асимптоты – прямые, к которым стремится ЛАЧХ при ! ! 0 и при ! ! 1. Так, при ! ! 0 второе слагаемое близко к нулю, и этот участок ЛАЧХ представляет собой горизонтальную прямую
L(!) = 20 lg k:
При ! ! 1 получаем наклонную прямую
p
L(!) 20 lg (T!)2 + 1 ! 1:
Для определения наклона этой прямой можно рассмотреть гра-
ницы декады:
! = T1 и ! = 10T :
23
Изменение ЛАЧХ между этими точками:
ss
|
|
10 |
|
2 |
1 |
|
2 |
||
L(!) 20 lg |
T |
|
|
|
+ 1 + 20 lg |
T |
|
|
+ 1 20(4=45 :): |
T |
T |
||||||||
ЛЧХ часто называют диаграммами Боде.
3.2. Использование пакета MatLab
В пакете MatLab ЛЧХ объекта, заданного с помощью ПФ, можно получить командой bode (рис. 3.1).
Рис. 3.6. ЛЧХ колебательного звена
Пример.
>>w=tf([1 2],[3 4 5]) >> bode(w)
Для нескольких вариантов передаточной функции можно использовать вариант команды вида:
24
>> bode(w,w1,w2)
Например, построим диаграмму Боде при различных параметрах колебательного звена (рис. 3.1):
>>w=tf([1],[2 0,3 1]);
>>w1=tf([1],[2 0,5 1]);
>>w2=tf([1],[2 0,1 1]);
>>bode(w,w1,w2)
3.3. Задание к лабораторной работе
Используя пакет MatLab, построить ЛЧХ каждого типового звена (см. табл. 1.1 лабораторной работы №1).
Определить влияние коэффициентов, входящих в описание каждого звена, на параметры ЛАЧХ и ЛФЧХ, в том числе:
–на изменение ширины асимптотических участков ЛАЧХ и ЛФЧХ;
–на изменение положения точек пересечения осей ЛАЧХ. Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1) Краткие теоретические сведения.
2) Экспериментально полученные характеристики при вариации
параметров каждого звена.
3) Выводы, обобщающие проделанные эксперименты по каждому звену.
Контрольные вопросы
1.Как определить частотную характеристику динамического звена, если известна его передаточная функция?
2.Какие виды частотных характеристик вы знаете?
3.Как определить амплитуду и аргумент частотной характеристики?
4.Перечислите основные этапы экспериментального снятия частотной характеристики устройства.
5.Поясните физический смысл частотной характеристики линейного динамического звена.
25
Мотиенко Татьяна Александровна Радионов Иван Алексеевич
Методические указания к выполнению лабораторных работ №1–3 по дисциплине
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Ответственные за выпуск Мотиенко Т.А, Радионов И.А. Редактор Кочергина Т.Ф.
Корректор Надточий З.И.
ЛР 020565 от 23.06.1997 г. Подписано к печати
Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. п.л. – 1,6. Уч.-изд.л. – 1,5
Заказ № Тираж 100 экз.
С
Издательство ЮФУ ГСП 17А, г. Таганрог, Некрасовский, 44
Типография ЮФУ ГСП 17А, г. Таганрог, Некрасовский, 44