LabTAU1-3

1. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

1.1. Методические указания

Рассмотрим систему автоматического управления (САУ), описываемую линейным дифференциальным уравнением следующего вида:

Здесь u(t) – входное воздействие; y(t) – выходная функция; a; b – постоянные коэффициенты; n; m (n m) – постоянные числа.

Уравнение (1.1) удобно представить, введя обозначение p опера-

Запишем отношение выходной функции к входному воздействию:

где A(p) и B(p) – соответствующие полиномы из формулы (1.2). Нельзя не заметить тот факт, что формула (1.2) по своему ви-

ду совпадает с определением передаточной функции (ПФ) как отношения преобразования по Лапласу выходной переменной к преобразованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных

условиях:

y(s) = B(s) = W (s) ; u(s) A(s)

где s – комплексная переменная.

Нулями и полюсами ПФ называются комплексные числа, представляющие собой корни многочленов B(s) и (s) соответственно.

Более подробная классификация типовых динамических звеньев приведена в табл. 1.1

3

Таблица 1.1

Традиционно принято исследовать реакцию выхода системы на единичный скачок (функция Хевисайда) и импульсную функцию (функция Дирака или – функция). Данные временные характеристики отражают законы изменения регулируемой (выходной) величины САУ (элемента) при изменении внешнего воздействия во времени по определенному закону и при нулевых начальных условиях.

4

Единичный скачок 1(t) определяется условиями:

(

0; t 0;

1(t) =

1; t > 0:

Переходная функция системы (h(t)) есть реакция САУ на единичный скачок. В случае неединичного ступенчатого воздействия g(t) = N1(t), где N = const, в соответствии с принципом супер позиции выходная реакция системы будет

y (t) = Nh (t) :

Импульсную функцию (t) определяют следующими условиями:

(

1; t = 0;

(t) =

0; t 6= 0:

Здесь (t) = 10 (t) :

Импульсной переходной функцией системы (функцией веса) принято называть реакцию САУ на импульсную функцию и обозначать w(t). Импульсная и переходная функции системы связаны между собой следующим соотношением:

Z t

h (t) = w( )d :

0

1.2. Использование пакета MatLab

Для исследования динамических звеньев и моделирования САУ в пакете MatLab удобно использовать два основных подхода:

–использование команд пакета расширения Control System Toolbox;

–использование пакета Simulink.

Комплект инструментальных средств Control System Toolbox – это набор функций MATLAB для моделирования, анализа и проектирования автоматических систем управления. Функции в этом комплекте инструментальных средств работают с широко распространенными классическими передаточными функциями (Linear Time

5

Invariant Models (LTI) – линейные модели с постоянными параметрами) и ¾современными¿ методами управления в пространстве состояний. С помощью этих инструментальных средств можно моделировать и анализировать системы как в дискретной, так и в непрерывной областях. Графики временных характеристик и корневого годографа могут быть быстро вычислены и построены.

Команда, создающая LTI-систему с одним входом и одним выходом в виде передаточной функции, имеет следующий синтаксис:

T F ([bm; : : : ; b1; b0 ] ; [am; : : : ; a1; a0 ]) ;

где bm; : : : ; b1; b0 am; : : : ; a1; a0 – значения коэффициентов полиномов В и A в (1.3).

Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется описать ПФ ви-

да

s + 1

W=3s2 + 7s + 1

иузнать значения ее нулей и полюсов.

Введем в окне команд MatLab следующие команды:

>>w=tf([1 1],[3 7 1])

>>zero(w)

>>pole(w)

Для исследования реакции LTI-модели на типовые входные воздействия используются команды:

>>step(w)

>>impulse(w)

Для того чтобы получить на одном графике реакцию сразу нескольких динамических звеньев, необходимы команды:

>>step(w,w1,w2)

>>impulse(w, w1,w2)

В приведенных выше примерах время моделирования выбирается автоматически.

Если необходимо его указать в явном виде, используются команда >> step(w, w1, w2, t),

где t – время моделирования в секундах.

На рис. 1.1 показан пример моделирования динамики колебательного звена при различных параметрах:

6

Рис. 1.1. Исследование реакции колебательного звена

>>w=tf([1],[2 0.3 1]);

>>w1=tf([1],[2 0.5 1]);

>>w2=tf([1],[2 0.1 1]);

>>step(w,w1,w2,50).

Описание ПФ системы в Simulink MatLab можно выполнить с помощью блока Transfer fcn в разделе библиотеки Continuous. Для формирования типовых воздействий необходимо использовать блок Step из раздела Sources. Импульсную переходную характеристику звена можно получить, подавая на вход импульс маленькой длительности и большой амплитуды (приближение -функции) при нулевых начальных условиях.

1.3. Задание к лабораторной работе

Необходимо с помощью пакета Simulink MatLab построить реакцию каждого типового звена из табл. 1.1 на ступенчатое и импульсное входное воздействия при помощи стандартных наборов функций. Помимо этого, необходимо определить влияние коэффициентов, входящих в описание каждого звена на параметры переходного процесса.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1)Передаточные функции и схемы моделирования исследуемых звеньев.

2)Экспериментально полученные характеристики при вариации параметров каждого звена.

7

3) Выводы, обобщающие проделанные эксперименты по каждому звену.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение типового динамического звена.

2.Почему типовые динамические звенья так подробно изучают?

3.Перечислите динамические звенья, которые относят к типовым (элементарным).

4.Как по передаточной функции определить импульсную характеристику динамического звена?

5.Как по передаточной функции определить переходную характеристику динамического звена?

6.Как по передаточной функции определить частотную характеристику динамического звена?

7.Какое типовое звено не изменяет фазу гармонического сигнала любой частоты?

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

2.1. Методические указания

Удобно использовать структурные схемы для наглядного представления сложной системы в виде совокупности элементов и связей между ними.

Структурной схемой системы управления называют графическое представление ее математической модели в виде соединений звеньев, изображаемых в виде прямоугольников или круга (для сумматора), с указанием входных и выходных переменных. Обычно внутри прямоугольника указывается условное обозначение оператора изображаемого им звена, а сам оператор в виде передаточной функции или дифференциального уравнения задается вне структурной схемы.

Структурная схема отображает строение автоматической системы, а также наличие внешних возмущающих воздействий и точки их

8

приложения, пути распространения воздействий и выходную величину.

На динамическое звено может воздействовать лишь одна входная величина, поэтому используются блоки суммирования и сравнения сигналов. Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы одной и той же физической природы.

Изображение САУ структурными схемами дает возможность получить общую методику исследований для всех систем независимо от их конструкции, физической природы и т.д.

Различные способы преобразования структурных схем облегчают определение ПФ сложных САУ и дают возможность привести сложную многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме.

Преобразование структурной схемы должно осуществляться на основании специальных правил. Правила преобразования структурных схем можно найти в справочной литературе.

Главное правило при выполнении преобразований можно сформулировать следующим образом.

Каждое имеющееся в схеме типовое соединение следует заменить эквивалентным звеном. Затем можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров таким образом, чтобы в преобразованной схеме образовались новые типовые соединения звеньев. Эти соединения опять заменяются эквивалентными звеньями, затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и сумматоров и т. д.

Основные правила преобразования структурных схем приведены в табл. 2.1.

При структурных преобразованиях бывает необходимо поменять местами узлы суммирования или точки ветвления, либо перенести какую-то из этих точек через звено. Идея заключается в том, чтобы при таких преобразованиях не изменились входные и выходные сигналы.

Последовательное соединение. Так называется соединение, при котором выход предыдущего звена является входом последующего. При последовательном соединении передаточные функции отдельных звеньев перемножаются и при преобразовании структурных схем цепочку из последовательно соединенных звеньев мож-

9

но заменить одним звеном с передаточной функцией W (s) =

W1 (s) W2 (s) : : : Wn(s).

Параллельное соединение. Так называется соединение, при котором на вход всех звеньев подается одно и то же воздействие, а их выходные переменные складываются. При параллельном соединении звеньев передаточные функции складываются и при преобразовании их можно заменить одним звеном с передаточной функци-

Pn

ей W (s) = i=1 W1(s). Если выход какого-либо звена поступает на сумматор с отрицательным знаком, то передаточная функция этого звена складывается с отрицательным знаком, т.е. вычитается.

Обратное соединение или звено, охваченное обратной связью. Так называется соединение двух звеньев, при котором выход звена прямой цепи подается на вход звена обратной связи. Если сигнал обратной связи (выход звена обратной связи) вычитается (т.е. складывается с отрицательным знаком), то обратная связь называется отрицательной; в противном случае – положительной. Когда передаточная функция звена обратной связи равна единице (W(s) = 1).

10