LabTAU7-9

использует линейную интерполяцию:

u (t) = u [k] + t kTs (u [k + 1] u [k]) ; kTs t (k + 1) Ts: Ts

Этот метод является более точным, чем ZOH, для систем, управляемых гладкими входами.

Преобразование Тастина

Преобразование Тастина или билинейное преобразование описывается формулой

z= esTs 1 + sTs=2 1 sTs=2

ииспользуется для соотнесения передаточных функций в областях z

иs. В преобразовании с2d дискретизация Hd(z) непрерывной функ-

ции H (s) получается

Hd (z) = H (s0) ; где s0 = 2 z 1 :

Ts z+1

Аналогично преобразование полагается на обратное соответствие

H (s) = Hd (z0) где z0 = 1+sTs=2 :

1 sTs=2

Устойчивость и переходная характеристика

Для непрерывных систем поведение определяется расположением полюсов на s-плоскости. Например, система неустойчива, если полюса расположены в правой полуплоскости. Поведение дискретных систем можно анализировать, исходя из расположения полюсов на плоскости z. Характеристики плоскости z могут быть соотнесены с характеристиками плоскости s в соответствии с выражением:

z = esT ;

где T – время выборки; s – место на плоскости S; z – место на плоскости Z.

Мнимая ось (граница области устойчивости на плоскости S) переходит в окружность единичного радиуса (граница области устойчивости на плоскости Z) jzj = l. Система будет устойчивой, если все полюса расположены внутри единичной окружности, и неустойчивой, если хотя бы один полюс расположен вне ее.

Для анализа переходной характеристики применяются те же три уравнения, которые используются и для непрерывных систем:

4

где – скорость затухания; !n – собственная частота (радиан/сек); Ts – время стабилизации; Tr – время нарастания; Mp – максимальное перерегулирование.

Собственная частота (!n) на плоскости z-plane измеряется в радиан/выборка, но при использовании приведенных выше уравнений в качестве единицы измерения Wn нужно брать радиан/с.

7.2. Использование MatLab

Использование функции c2d

ВMatlab существует функция c2d, отвечающая за преобразование заданной непрерывной системы в дискретную систему. В качестве моделей могут быть указаны TF, SS, или ZPK-модели. Функция d2c осуществляет обратное преобразование. Команда поддерживает несколько методов дискретизации, включая экстраполятор нулевого порядка (ZOH), экстраполятор первого порядка (FOH), а также приближение Тастина. Синтаксис:

1. Sysd = c2d (sysc, Ts), где Ts = период выборки; 2. Sysc = d2c (sysd).

Втаком виде команда выполняет ZOH-преобразование по умолчанию. Чтобы использовать альтернативные конверсионные схемы, следует определить желаемый метод как дополнительный параметр:

1. Sysd = c2d (sysc, Ts, ’foil’), где ’foil’ экстраполятор первого порядка;

2. Sysc = d2c (sysd, ’tustin’), где ’tustin’ приближение Тастина. Следующий пример иллюстрирует свойство d2c с реальными от-

рицательными полюсами. Рассмотрим модель ZPK: >> hd = zpk([], -0.5, 1, 0.1)

Zero/pole/gain:

1

5

(Z+0.5)

Sampling time: 0.1

Применим d2c для преобразования этой модели в непрерывную: >> hc = d2c(hd)

В результате получим модель второго порядка. Zero/pole/gain:

4.621(s+149.3)

(Sˆ2+13.86s+1035)

Если снова провести дискретизацию: >> c2d(hc, 0.1)

Получится оригинальная дискретная система (с сокращаемой парой полюс/нуль в z =-0.5):

Zero/pole/gain:

(Z+0.5)

(Z+0.5)ˆ2 Sampling time: 0.1

Можно изменить время квантования TF, SS, или ZPK-модели sys1, используя команду: Sys2 = d2d (sysl, Ts).

Новый период квантования Ts не должен быть кратным предыдущему. Реакцию на единичный скачок для систем с различным периодом квантования можно получить следующим образом:

>>h1 = tf ([1 0.4], [1 -0.7], 0.1);

>>h2 = d2d (hl, 0.25) ;

>>step (h1, ’–’, h2, ’–’)

Чтобы дискретизировать передаточную функцию

с использованием экстраполяции нулевого порядка и интенсивности замеров 10 Гц, следует выполнить:

>>h = tf (10 [, 1 3 10], ’inputdelay’, 0.25);

>>hd = c2d (рука, 0.1)

Это позволит получить дискретную передаточную функцию Transfer function:

6

0.01187 zˆ2 + 0.06408 z + 0.009721 z^(12)*

zˆ3 - 1.655 zˆ2 + 0.7408 z Sampling time: 0.1

Здесь входная задержка в H (s) в 2.5 превышает период квантования в 0.1 секунды. Соответственно дискретизированная модель hd наследует входную задержку в два периода квантования, что подтверждается значением hd. Остаточная задержка размером в полупериод разделена в коэффициентах hd алгоритмом дискретизации. Реакции на скачок непрерывных и дискретизированных моделей сравниваются командой:

>> step(h, ’–’, hd, ’–’)

График приведен ниже на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Реакции на скачок непрерывных и дискретизированных ПФ

Следует отметить, что преобразование Тастина только для задержек, которые кратны периоду квантования. Поэтому для моделей с задержками предпочтительно использовать zoh и foh методы дискре-

7

тизации.

Использование функции c2dm

Для построения дискретной модели заданной (в пространстве состояний или в форме передаточной функции) системы можно также использовать команду c2dm, записанную одним из следующих способов:

[numDz,denDz] = c2dm (num,den,Ts,’zoh’) [F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,’zoh’)

Время Ts должно быть меньше 30BW1 , где BW – полоса частот замкнутой системы.

Пример: Пусть есть непрерывная передаточная функция

где M = 1; b = 10; k = 20 F (s) = 1.

Приняв BW >1 рад/с, выберем Ts = 1=100 с. Теперь выполним следующие команды:

М=1;

b=10;

k=20;

num=[1]; den=[M b k]; Ts=l/100;

[numDz,denDz]=c2dm(num,den,Ts,’zoh’)

Получим следующие матрицы для числителя и знаменателя дискретной передаточной функции:

numDz = 1.0е-04 * 0 0.4837 0.4678 denDz =

1.0000 -1.9029 0.9048 Исходя из вида этих матриц, можно записать передаточную функ-

8

Таким образом, была получена передаточная функция в дискретной форме.

Пример. Пусть есть следующая модель в пространстве состоя-

ний:

Все константы те же, что и раньше.

Приведенные ниже команды преобразовывают непрерывную модель в дискретную:

М=1;

b=10;

k=20;

А=[0 1;-к/М -b/М]; В=[0;1/М]; С=[1 0];

D=[0];

Ts=l/100;

[F,G,H,J] = c2dm(A,B,C,D,Ts,’zoh’)

Запуск этого кода в командном окне Matlab приведет к получению следующих матриц:

F =

0.9990 0.0095 -0.1903 0.9039 G = 0.0000 0.0095

H = 1 0 J = 0

Исходя из вида матриц, можно получить дискретную форму модели:

9

Таким образом, получена дискретная модель в форме пространства состояний.

Устойчивость и переходная характеристика

Пусть есть дискретная передаточная функция:

Запишем команды: numDz=[l]; denDz=[l -0.3 0.5]:

pzmap(numDz.denDz) axis([-l 1 -1 1])

zgrid

Рис. 7.3. Отображение нулей и полюсов ПФ

Запуск этого кода в командном окне приведет к отображению графика, изображенного на рис. 7.3:

10