2Л_Классические методы оптимизации

Двойственная задача

Задача поиска минимума функции Лагранжа F(X, λ) по при ограничении

xF(x, )=0 называется двойственной по отношению к прямой задаче нахождения максимума по Х.

Решение обеих задач прямой и двойственной достигается в одной и той же точке (x0; 0), которая является седловой точкой. Любую задачу математического программирования можно рассматривать как двойственную.

F(x, )

Х0

λ°

Теорема Куна-Таккера: Необходимым и достаточным условием оптимальности вектора Х° (оптимальным решением задачи), принадлежащего допустимой области, является существование такого вектора λ° , что для всех Х ≥0 и λ ≥0 имеет место неравенство:

F(X°, λ) ≤ F(X°, λ°) ≤ F(X, λ°)

где F(X, λ) – функция Лагранжа для этой задачи.

11

Связь прямой и двойственной задач

12

Пример построения двойственной задачи

13

Сформулируем двойственную задачу:

14

Множители Лагранжа

Неопределённый множитель Лагранжа λj указывает на степень изменения величины экстремума функции при изменении параметра bj на единицу.

Если величина b в задаче может меняться, то точка экстремума X0 и max(min) f(X0) станут зависимыми от b. Предположив, что f(X) и ограничения – линейные функции, вычислим их производные:

Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов

на основе уравнений с частными производными и задач динамической оптимизации. При этом вместо решения системы конечных уравнений для отыскания оптимума необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений.

Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе динамического программирования, где с их помощью иногда удается снизить размерность решаемой задачи.

15