10.2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

.

Доказательство. Используем соотношение (9.2) . По формуле Ньютона – Лейбница,

.

Таким образом,

.

Так как , то окончательно получим

. (10.2)

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(х) и прямыми х = а и х = b.

Рис. 10.2

Замечание. В частности, если f(х) – четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. f(х) неотричательная, то есть f(х)  0.

Доказательство. Функция распределения F(x) – неубывающая функция, следовательно ее производная F’(x)  0, то есть f(х)  0. Геометрически это означает, что график плотности f(х), называемый кривой распределения, не ниже оси абсцисс; плотность может принимать сколь угодно большие значения.

2. В соответствии с доказанной теоремой вероятность попадания н.с.в в промежуток [a, b] равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от а до b (10.2).

3. Функция распределения н.с.в. может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле

. (10.3)

Действительно, мы обозначили через F(x) вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х, т.е. F(x) = P(X < x). Очевидно, неравенство X < х можно записать в виде двойного неравенства -  < X < х, следовательно,

F(x) = P(- < X < x). (10.4)

Полагая в формуле (10.3) а = -, b = х, имеем . Наконец, заменивP(- < X < x) на F(x), в силу (10.4), окончательно получим

,

кли кратко

.

(буква t для ясности)

Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения, а именно:

f(х) = F’(x).

4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности н.с.в. в бесконечных пределах равен единице, то есть

.

Действительно, полагая в формуле (10.2) а = -  и b = +, получаем достоверное событие Х  (-; +). Следовательно,

.

Несобственный интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (-; +). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице.

Геометрически свойство нормировки означает, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения f(х) и осью абсцисс, равна единице. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то

.

Пример. Плотность распределения случайной величины X задана:

.

Найти постоянный параметр а.

Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию , поэтому потребуем, чтобы выполнялось равенство

.

Отсюда

.

Найдем неопределенный интеграл:

.

Вычислим несобственный интеграл:

Таким образом, искомый параметр .

Можно дать такое определение непрерывной случайной величины: случайная величина Х называется непрерывной, если существует неотрицательная функция f(х) такая, что при любом х функцию распределения F(x) можно представить в виде (10.3)

.

А затем получить, что f(х) = F’(x). Отсюда следует, что F(x) и f(х) являются эквивалентными обощающими характеристиками с.в. Х.

Как отмечалось ранее, для н.с.в. Х, вероятность события {X = c}, где с – число, равна нулю. Действительно,

.

Отсюда также следует, что

.

Пример. Задана плотность вероятности случайной величины X

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Решение. Искомая вероятность

.

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Построить график найденной функции.

Решение. Воспользуемся формулой . Еслих  а, то f(х) = 0, следовательно, F(х) = 0. Если а < х  b, то f(х) = 1/(b – а), следовательно,

.

Если x > b, то

.

Итак, искомая функция распределения

График этой функции изображен на рис. 10.3.

Рис. 10.3